2021年上海市高三数学竞赛试卷答案

1、1 2 1 2 上海市高三数学竞赛试卷2016 年 3 月 27 日上午 9：3011：30【说明】解答本试卷不得使用计算器解答请写在答题纸上 .一、填空题 （本大题满分 60 分，前 4 小题每小题 7 分，后 4 小题每小题 8 分）1 已知函数 f(x)=ax2+ bx+c(a0，a、b、c 均为常数),函数 f (x)的图像与函数 f(x)的图像关于 y 轴对称，函数 f (x)的图像与函数 f (x)的图像关于直线 y=1 对 称，则函数 f (x)的解析式是 2复数 z 满足|z|=1, w=3z22z 2在复平面上对应的动点 W 所表示曲线的普通方程为 3.关于 x 的方程 ar

2、ctan 2x arctan 2x 6的解是 4. 红、蓝、绿、白四颗骰子，每颗骰子的六个面上的数字为 1,2,3,4,5,6；则同时掷这四颗骰子使得四颗骰子向上的数的乘积等于 36 ，共有 能种可5. 已知函数 f(x)= cos(x), g(x)=2xa 12(a 0); 若存在 x 、 x 0,1, 使 f( x )1 2 1=f( x )成立，则实数 a 的取值范围为 26. 如图，有 16 间小三角形的房间.甲、乙 两人被随机地分别安置在不同的小三角形的 房间，那么他们在不相邻（指没有公共边）房 间的概率是 （用分数表示）7.在空间，四个不共线的向量 OA 、OB 、OC 、 OD

3、, 它们两两间的夹角都是 ，则 的 大小是 8.已知 a0,b0,a3+b3=1,则 a+b 的取值范围为 二、解答题 （本大题满分 60 分）1 11 1 11 1 1 1 1n 9 （本题满分15 分）如图，已知五边形A B C D E 内接于边长为 1 的正五边形 ABCDE； 求证：五边形 A B C D E 中至少有一条边的E1ED1长度不小于 cos5ADA1C1BB1C10（本题满分 15 分）设 p ，q 和 r 是素数，且 p | qr 1( p | qr 1表示 qr 1 能被 p 整除)， q | rp 1和 r | pq 1;求 pqr 的所有可能的值11（本题满分 1

4、5 分）已知数列 a满足递推关系 a n n 11 1 a （ n N 2 3n*）;求所有 a 的值，使 a为单调数列，即 a为递增数列或递减数列. 1 n n12（本题满分 15 分）已知等边三角形 ABC 的边长为 5，延E长 BA 至点 P，使得|AP|=9. D 是 线段 BC 上一点（包括端点），直 线 AD 与 BPC 的外接圆交于 E、 F 两点，其中|EA|ED|.(1) 设 |BD|=x, 试将 |EA| |DF|表示为关于 x 的函数 f(x);ADP(2)求 f(x)的最小值.BFC一、填空题 2 1 1 1 1 1f ( x ) ax2 bx 2 c .2x2y 22

5、5 1.3x log23.4485. 1 3 17 1 ,0) (0, . 6. 7. arccos( )2 2 20 38.(1,34二、解答题9 、已知五边形 A B C D E1 1 1 1 1内接于边长为 1 的正方形 ABCDE；求证：五边形A B C D E 1 1 1 1 1中至少有一条边的长度不小于cos5。证明：AE , AA , BA , BB , CB , CC , DC , DD , ED , EE 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1的长分别为a , a , b , b , c , c , d , d , e , e 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2。于是(

6、a a ) (b b ) ( c c ) ( d d ) ( e e ) 5 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2由平均数原理，( a a ),( b b ),( c c ),( d d ),( e e ) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2必有一个大于等于1。不妨设a a 1 1 2，故a 1 a 2 1。A E 2 a 2 a 2 2 a a cos 1 1 1 2 1 23 2 a 2 1 a 2 a 1 a cos5 52a 2 (1cos 125) 2 1 cos 25a 112 1 n n 12 1 1 22(1cos ) a 1 cos5 2 2 5(cos )5210解：

7、由题设可知 pqr | ( qr 1)( rp 1)( pq 1)；( qr 1)( rp 1)( pq 1) p 2 q 2 r 2 pqr ( p q r ) pq qr rp 1, pqr | pq qr rp 1,即pq qr rp 1 1 1 1 1 pqr p q r pqr为正整数；记 k 1 1 1 1 ,p q r pqr3由于 p , q , r 2, 故 1 k ,2从而只能 k 1 .由对称性，不妨设p q r；若 p 3,则k 1 1 1 1,p q r矛盾，故 p 2.若 q 3,则q 5, k 1 2 1,2 5矛盾.若 q 2, 则 k 1 1 1 1 ( )

8、1, 2 2 r 4 r也矛盾，故 q 3.最后，由1 1 1 1 1 , 得 r 5 . 2 3 r 6 r经检验， p 2, q 3, r 5符合题意. pqr 30.11. 解：an11 1 1 a ( n N * ) 3n 1 a 32 3 n 2n1a 3,nn n 1n 1 1 n 1 11 1 2 1 * 1 1 1 n 2 2v 令 b 3 n a , n n则bn1 3 6 3 6b 3, b ( b ),( n N 2 5 2 5*) bn16 3 6 3 6 ( ) n1 ( b ) ( ) n 1 (3 a ),5 2 5 2 5b 1 6 6 3 2 1 2 1 a

9、n (3 a )( ) n 1 ( ) n 1 ( a )( )3n 3n 5 5 2 5 3 5 2 1 2 2 2 ( ) n 1 ( ) n 1 ( a ).2 5 3 5n1若a 125 0,则由2 2 2 ( ) n 1 a 5 3 55 2，可得 n 1 log ( a ),2 53故当n N , 且 n 1 log (25 2a )2 5时，2 2 2 2( ) n 1 ( a ) 与 a 同号； 5 3 5 53而1( )2n1正负交叉，从而an正负交叉， a n不是单调数列.当a 12 2 1 时， a ( )5 5 3n1为递减数列;综上，当且仅当a 125时， a n为单调数列.12. 解：（1）设 u EA , v AD , DF ,则 f ( x ) u w.在 ABD中，由余弦定理得，v AB BD 2 AB BD cos ABD 52 x 2 2 5 x 12x 2 5 x 25.在PBC的外接圆中运用相交弦定理，得 EA AF BA AP , ED DF BD DC ,即 u( v w ) 45,( u v ) w x (5 x );两式相减得v ( u w ) x 2 5 x 45,故f ( x) u w x2 5 x 45 x 2 5 x 45 x 2 5 x