高中数学必修二 7.1.2 复数的几何意义学案

1、 7.1.2 复数的几何意义【学习目标】素 养 目 标学 科 素 养1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系；2.掌握实轴、虚轴、模等概念；3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法.1.数学运算;2.直观想象；3.数学抽象【自主学习】一复平面建立直角坐标系来表示复数的平面叫做 ，x轴叫做 ，y轴叫做 实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数二复数的两种几何意义注意：复数zabi(a，bR)中的z，书写时应小写；复平面内的点Z(a，b)中的Z，书写时应大写三复数的模复数zabi(a，bR)对应的向量为eq o(OZ,sup6()，则eq o(

2、OZ,sup6()的模叫做复数z的模或绝对值，记作|z|或|abi|，即|z|abi| 如果b0，那么zabi是一个实数a，它的模等于|a|(a的绝对值)四共轭复数1.一般地，当两个复数的实部 ，虚部 时，这两个复数叫做互为共轭复数2.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做 3.复数z的共轭复数用eq o(z,sup6()表示，即如果zabi，那么eq o(z,sup6() 注意：复数zabi在复平面内对应的点为(a，b)，复数eq o(z,sup6()abi在复平面内对应的点为(a，b)，所以两个互为共轭复数的复数，它们所对应的点关于x轴对称【小试牛刀】思维辨析(对的打“”，错的打“”)(1)在复

3、平面内，对应于实数的点都在实轴上. ()(2)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数.()(3)原点是实轴和虚轴的交点.()(4)复数的模一定是正实数.()(5)若|z1|z2|，则z1z2.()(6)若z1与z2互为共轭复数，则|z1|z2|.()【经典例题】题型一 复数与复平面内点的关系点拨：利用复数与点的对应解题的步骤(1)找对应关系：复数的几何表示法即复数zabi(a，bR)可以用复平面内的点Z(a，b)来表示，是解决此类问题的根据(2)列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解 例1 已知复数z(a24)(2a3)i，其中aR.当复

4、数z在复平面内对应的点Z满足以下条件时，求a的值(或取值范围)(1)Z在实轴上；(2)Z在第二象限。【跟踪训练】1 实数x分别取什么值时，复数z(x2x6)(x22x15)i对应的点Z在：(1)第三象限；(2)直线xy30上题型二 复数与复平面内向量的对应关系点拨：1.若复数zabi(a，bR)则复数z在复平面内对应的向量eq o(OZ,sup6()(a，b)2复平面内向量对应的复数可通过向量的坐标运算求得3一个向量不管怎样平移，它所对应的复数是不变的，但其起点与终点对应的复数可能改变例2 已知平面直角坐标系中O是原点，向量eq o(OA,sup6()，eq o(OB,sup6()对应的复数分

5、别为23i，32i，那么向量eq o(BA,sup6()对应的复数是()A55iB55iC55i D55i【跟踪训练】2 在复平面内的长方形ABCD的四个顶点中，点A，B，C对应的复数分别是23i, 32i，23i，求点D对应的复数题型三 复数的模点拨：1.复数的模是非负实数，因此复数的模可以比较大小2.根据复数模的计算公式|abi|eq r(a2b2)可把复数模的问题转化为实数问题解决3.根据复数模的定义|z|eq o(OZ,sup6()|，可把复数模的问题转化为向量模(即两点间的距离)的问题解决例3 设复数z143i，z243i.(1)在复平面中画出复数z1，z2对应的点和向量；(2) 求

6、复数z1，z2的模，并比较它们的模的大小。【跟踪训练】3设zC，在复平面内z对应的点为Z，那么满足下列条件的点Z的集合是什么图形？（1）|z|=1； （2）1|z|2.【当堂达标】1.在复平面内，O为原点，向量eq o(OA,sup6()对应的复数为12i，若点A关于实轴的对称点为B，则向量eq o(OB,sup6()对应的复数为()A2i B2iC12i D12i2.已知i是虚数单位，在复平面内，复数2i和13i对应的点之间的距离是()A.eq r(5) B.eq r(10)C5 D253.设z为纯虚数，且|z1|1i|，则复数z_。4.若复数z12bi与复数z2a4i互为共轭复数，则a_，

7、b_5.已知复数z3ai，且|z|4，求实数a的取值范围6.在复平面内，若复数z(m2m2)(m23m2)i(mR)的对应点在虚轴上和实轴负半轴上，分别求复数z.【课堂小结】1.复数的几何意义2.复数的模复数zabi(a，bR)的模|z|eq r(a2b2)；从几何意义上理解，表示点Z和原点间的距离，类比向量的模可进一步引申：|z1z2|表示点Z1和点Z2之间的距离【参考答案】【自主学习】复平面 实轴 虚轴 eq r(a2b2) 相等 互为相反数 共轭虚数 abi【小试牛刀】(1)(2)(3) (4)(5) (6)【经典例题】例1 解 因为z(a24)(2a3)i，所以复数z在复平面内对应的点

8、Z的坐标为(a24,2a3)(1)若点Z在实轴上，则有2a30，解得aeq f(3,2).(2)若点Z在第二象限，则有eq blcrc (avs4alco1(a240，)即eq blcrc (avs4alco1(2af(3,2)，)解得eq f(3,2)a2.【跟踪训练】1 解 因为x是实数，所以x2x6，x22x15也是实数(1)当实数x满足eq blcrc (avs4alco1(x2x60，,x22x150，)即当3x2时，点Z在第三象限(2)zx2x6(x22x15)i对应点Z(x2x6，x22x15)，当实数x满足(x2x6)(x22x15)30，即当x2时，点Z在直线xy30上例2

9、B 解析：选B.向量eq o(OA,sup6()，eq o(OB,sup6()对应的复数分别记作z123i，z232i，根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量eq o(OA,sup6()(2，3)，eq o(OB,sup6()(3，2)由向量减法的坐标运算可得向量eq o(BA,sup6()eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()(23，32)(5，5)，根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量eq o(BA,sup6()对应的复数是55i.【跟踪训练】2 解 由题意得eq o(OA,sup6()(2,3)，eq o(OB,sup6()(3,2)，eq o(OC,sup6()

10、(2，3)设eq o(OD,sup6()(x，y)，则eq o(AD,sup6()(x2，y3)，eq o(BC,sup6()(5，5)由题意知，eq o(AD,sup6()eq o(BC,sup6()，所以eq blcrc (avs4alco1(x25，,y35，)即eq blcrc (avs4alco1(x3，,y2，)故点D对应的复数为32i.例3 【跟踪训练】3【当堂达标】1.D 解析：由题意可知，点A的坐标为(1，2)，则点B的坐标为(1，2)，故向量eq o(OB,sup6()对应的复数为12i.2.C 解析：选C.由于复数2i和13i对应的点分别为(2，1)，(1，3)，因此由两点间的距离公式，得这两点间的距离为eq r(（21）21（3）2)5，故选C.3. i 解析：因为z为纯虚数，所以设zai(aR，且a0)，则|z1|ai1|eq r(a21).又因为|1i|eq r(2)，所以eq r(a21)eq r(2)，即a21，所以a1，即zi.4. 2 4 解析：因为z1与z2互为共轭复数，所以a2，b4.