北师大数九上《用因式分解法求解一元二次方程》教案

1、名师精编 优秀教案 分解因式法 分解因式法是解某些一元二次方程较为简便且灵敏的一种特殊方法 它是把一个一元二 次方程化为两个一元一次方程来解 方程时特殊重要 表达了一种“降次” 的思想, 这种思想在以后处理高次 这部分内容的基本要求是让同学学会方法 本节的重, 难点是利用分解因式法来解某些 一元二次方程 由于标准中降低了分解因式的要求, 依据同学已有的分解因式学问,同学仅能解决 2 2形如“ xx-a 0”“ x -a 0”的特殊一元二次方程所以在教学中,可以先出示一个较为 简洁的方程, 让同学先各自求解, 然后进行比较与评析, 发觉因式分解是解某些一元二次方 程较为简便的方法, 从而引出分解

2、因式法 其基本思想和方法是： 一个一元二次方程一边是 零,而另一边易于分解成两个一次因式时, 可以使每一个因式等于零, 分别解两个一元一次 方程,得到的两个解就是原一元二次方程的解 方程的重点 这种思想和方法是用分解因式法解一元二次 通过方法的比较, 力求让同学依据方程的具体特点, 灵敏选取适当的解法, 从而让同学 体会解决问题的多样性 教学目标 一 教学学问点 1 应用分解因式法解一些一元二次方程 2 能依据具体一元二次方程的特点,灵敏选择方程的解法 二 才能训练要求 1 能依据具体一元二次方程的特点,灵敏选择方程的解法,体会解决问题方法的多样 性 2 会用分解因式法 提公因式法,公式 法

3、解某些简洁的数字系数的一元二次方程 三 情感与价值观要求 使他们知道分解因式法是一元二次方程解法中应用 通过同学探讨一元二次方程的解法, 较为广泛的简便方法,它防止了复杂的运算,提高明白题速度和精确程度再之,体会“降 次”化归的思想 教学重点 应用分解因式法解一元二次方程 第 1 页,共 9 页名师精编 优秀教案 教学难点 2形如“ x ax”的解法 教学方法 启示引导式归纳教学法 教具预备 投影片五张 第一张：复习练习 记作投影片 2 4 A 其次张：引例 记作投影片 2 4 B 第三张；议一议 记作投影片 24C 第四张：例题 记作投影片 2 4 D 第五张：想一想 记作投影片 24 E

4、教学过程 巧设现实情形,引入新课 师 到现在为止,我们学习明白一元二次方程的三种方法：直接开平方法,配方法,公 式法,下面同学们来做一练习 出示投影片 2 4 A 解以下方程： 21x -4 0； 22x -3x+1 0； 3x+1 2-25 0； 2420 x +23x-7 0 生 老师,解以上方程可不行以用不同的方法 . 师 可以呀 生甲 解方程 1 时,既可以用开平方法解,也可以用公式法来求解,就方程的特点, 我接受了开平方法,即 2解： x -4 0, 2移项,得 x 4 两边同时开平方,得 x 2 x1 2,x 2=-2 生乙 解方程 2 时,既可以用配方法来解,也可以用公式法来解,

5、我接受了公式法, 第 2 页,共 9 页名师精编 优秀教案 即 解：这里 a 1, b -3 ,c 1 b 2 2-4ac -3 -4 1 1 50, x= 325. x1= 325, x2= 325师 乙同学,你在解方程 2 时,为什么选用公式法,而不选配方法呢 生乙 我觉得配方法不如公式法简便 师 同学们的看法呢 . 生齐声 同意乙同学的看法 师 很好,连续 生丙 解方程 3 时,可以把 x+1 当作整体,这时用开平方法简便,即 2 解：移项,得 x+1 25 两边同时开平方,得 x+1 5, 即 x+1 5, x+1 -5 x1=4,x2=-6 生丁 解方程 4 时,我用的公式法求解,即

6、 解：这里 a 20, b 23,c -7 , b 2-4ac 223 -4 20-7 1089 0, x 23 1089 23 33 . 40 220 x1= x 2=-. 师 很好,由此我们知道： 在已经学习的解一元二次方程的三种方法直接开平方法, 配方法,公式法中, 直接开平方法只能解某些特殊形式的方程,配方法不如公式法简便因 此,大家选用的方法主要是直接开平方法和公式法 公式法是解一元二次方程的通法,有普遍的适用性,即可以解任何一个一元二次方程 用公式法解一元二次方程, 第一要把方程化为一般形式, 从而正确地确定 a,b,c 的值； 第 3 页,共 9 页其次,通常应先运算 名师精编

7、优秀教案 2 b -4ac 的值,然后求解 一元二次方程是不是只有这三种解法呢 .有没有其他的方法 .今日我们就来进一步探讨 一元二次方程的解法 讲授新课 师 下面我们来看一个题 出示投影片 2 4 B .你是怎样求出来 一个数的平方与这个数的 3 倍有可能相等吗 .假如相等,这个数是几 的. 师 大家先独自求解,然后分组进行争辩,沟通 生甲 解这个题时,我先设这个数为 x,依据题意,可得方程 x 2=3x 然后我用公式法来求解的 x 解：由方程 x2 3x,得 2-3x=0 这里 a=1, b=-3 , c 0. b2 2-4ac -3 -4 1 0 90 所以 x= 329即 x 1=3,

8、x 2 0 因此这个数是 0 或 3 2 生乙 我也设这个数为 x,同样列出方程 x 3x 解：把方程两边同时约去 x,得 x 3 所以这个数应当是 3 生丙 乙同学做错了,由于 0 的平方是 0, 0 的 3 倍也是 0依据题意可知,这个数也 可以是 0 师 对,这说明乙同学在进行同解变形时, 进行的是非同解变形, 因此丢掉了一个根 大 家在解方程的时候, 需要留意： 利用同解原理变形方程时, 在方程两边同时乘以或除以的数, 必需保证它不等于 0,否就,变形就会错误 这个方程仍有没有其他的解法呢 . 生丁 我把方程化为一般形式后,发觉这个等式的左边有公因式 x,这时可把 x 提 第 4 页,

9、共 9 页名师精编 优秀教案 出来,左边即为两项的乘积前面我们知道：两个因式的乘积等于 这样,就把一元二次方程降为一元一次方程,此时,方程即可解 解： x 2-3x 0, xx-3 0, 于是 x 0, x-3 0 x1=0,x2=3 因此这个数是 0 或 3 0,就这两个因式为零, 师 噢,这样也可以解一元二次方程,同学们想一想,行吗 . 生齐声 行 师 丁同学应用的是：假如 a b 0,那么 a=0,b 0,大家想一想,议一议 出示投 影片 2 4 C a b 0 时, a=0 和 b=0 可同时成立,那么 xx-3=0 时, x 0 和 x-3 0 也能同时成立吗 . 生齐声 不行 师

10、那该如何表示呢 . 师 好,这时我们可这样表示： 假如 a b=0, 那么 a 0 或 b 0 这就是说： 当一个一元二次方程降为两个一元一次方程时, 的是“或”,而不用“且” 这两个一元一次方程中间用 所以由 xx-3 0 得到 x0 和 x-3 0 时,中间应写上“或”字 . 0,而另一边可以分解 我们再来看丁同学解方程 2 x 3x 的方法, 他是把方程的一边变为 成两个因式的乘积, 然后利用 a b 0,就 a=0 或 b 0,把一元二次方程变为一元一次方程, 从而求出方程的解 我们把这种解一元二次方程的方法称为分解因式法, 即当一元二次方程 的一边为 0,而另一边易于分解成两个一次因

11、式的乘积时,我们就接受分解因式法来解一元 二次方程 因式分解法的理论依据是： 假如两个因式的积等于零, 那么这两个因式至少有一个等于 零如：如 x+2x-3 0,那么 x+2 0 或 x-3 0；反之,如 x+2 0 或 x-3 0,就确定 有x+2x-3 0这就是说,解方程 x+2x-3=0 就相当于解方程 x+2 0 或 x-3=0 接下来我们看一例题 出示投影片 2 4 D 第 5 页,共 9 页名师精编 优秀教案 例题 解以下方程： 215x =4x； 2x-2 xx-2 师 同学们能独自做出来吗 . 生 能 师 好,开头 生甲 解方程 1 时,先把它化为一般形式,然后再分解因式求解

12、解：原方程可变形为 25x -4x 0, x5x-4=0 , x 0 或 5x-4 0 x1=0,x2= 生乙 解方程 2 时,由于方程的左,右两边都有 x-2 ,所以可把 x-2 看作整体,然 后移项,再分解因式求解 解：原方程可变形为 x-2-xx-2 0, x-21-x 0, x-2 0 或 1-x=0 x1 2,x 2=1 生丙 老师,解方程 2 时,能否将原方程开放后,再求解呢 . 师 能呀,只不过这样的话会复杂一些,不如把 x-2 当作整体简便 下面同学们来想一想,做一做 出示投影片 2 4 E 你能用分解因式法解方程 2 x -4 0, x+1 2-25=0 吗 . 2 x -4

13、=x-2x+2 这样,方 生丁 方程 x 2-4=0 的右边是 0,左边 2 x -4 可分解因式,即 2 程 x -4 0 就可以用分解因式法来解,即 2 解： x -4=0 , x+2x-2 0, x+2 0 或 x-2=0 x1=-2 ,x 2=2 2 2生戊 方程 x+1 -25 0 的右边是 0,左边 x+1 -25 ,可以把 x+1 看作整体,这样左 边就是一个平方差,利用平方差公式即可分解因式,从而求出方程的解,即 第 6 页,共 9 页名师精编 优秀教案 2解： x+1 -25 0, x+1+5x+1-5 0 x+1+5 0, 或 x+1-5 0 x1=-6 ,x 2=4 师

14、好,这两个题实际上我们在刚上课时解过, 当时我们用的是开平方法, 现在用的是 因式分解法 由此可知： 一个一元二次方程的解法可能有多种, 好,下面我们通过练习来巩固一元二次方程的解法 课堂练习 一 课本 P61 随堂练习 1 , 2 1 解以下方程： 1x+2x-4 0； 24x2x+1=32x+1 解： 1 由 x+2x-4=0 得 x+2 0 或 x-4 0； x1=-2 ,x 2=4 2 原方程可变形为 4x2x+1-32x+1 0, 2x+14x-3 0, 2x+1 0 或 4x-3 0 x1=-,x 2=. 我们在选用时, 以简便为主 2 一个数的平方的 2 倍等于这个数的 7 倍,

15、求这个数 解：设这个数为 x,依据题意,得 22x 7x, 2x-7x 0, x2x-7=0 x0 或 2x-7 0 x1=0,x2 因此这个数等于 0 或 二 阅读课本 P59 P61,然后小结 第 7 页,共 9 页名师精编 优秀教案 课时小结 我们这节课又学习了一元二次方程的解法因式分解法 用较为广泛的简便方法 课后作业 一 课本 P61 习题 27 1 二 1. 预习内容： P62 P64 2 预习提纲 如何列方程解应用题 活动与探究 1 用分解因式法解： x-1x+3 12 它是一元二次方程解法中应 过程 通过同学对这个题的探讨, 争辩来提高同学的解题才能, 养成良好的摸索问题的 习

16、惯 结果 1 解： x-1x+3=12 x 2 +2x-3 12, x 2 +2x-15 0, x+5x-3 0 x+5 0 或 x-3=0 x1=-5 ,x 2=3 板书设计 2.4 分解因式法 一,解方程 x 2 3x 解：由方程 x 2 3x 得 2x -3x=0 , 即 xx-3 0 于是 x 0 或 x-3 0 因此, x1 0,x 2 3 所以这个数是 0 或 3 二,例题 例：解以下方程； 第 8 页,共 9 页名师精编 优秀教案 215x 4x； 2x-2 xx-2 三,想一想 四,课堂练习 五,课时小结 六,课后作业 备课资料 参考例题 例 1：用分解因式法解以下方程： 12x-5 242x-1 2-2x+5=0 ； 22 9x+