矩阵论理论课件

1、矩阵幂级数矩阵函数矩阵函数的幂级数定义矩阵函数()的计算矩阵函数的一般定义及其计算矩阵方程及其求解2 / 414321说明先前，为了上课方便，本人制作了讲义，并经由同学复印。然而导致了大量的盗版，直接影响了将来本讲义的。不得不考虑到, 因为制作这样一份文档实在是花费了大量的时间精力。制作本课件纯粹为了上课方便，请不要随意和上传互联网！2 / 41说明先前，为了上课方便，本人制作了讲义，并经由同学复印。然而导致了大量的盗版，直接影响了将来本讲义的。不得不考虑到, 因为制作这样一份文档实在是花费了大量的时间精力。制作本课件纯粹为了上课方便，请不要随意和上传互联网！本幻灯片使用 beamer 宏包作

2、出. 关于 beamer 的考:(安装、更新) 可参本文的图形主要是用 pgf 宏包作出的, 另有个别的 Metat 图形.本幻灯片的源文件学习 beamer, pgf 参考之用. 使用请注明出处.Copyright c 2009. 保留所利.LIU XI-KUI2 / 41矩阵幂级数矩阵函数矩阵函数的一般定义及其计算矩阵方程及其求解3 / 414321在 ? 中, 方阵的幂级数.了矩阵级数. 现在来一类重要的矩阵级数定义 1.1设 , 是复数列, 则称 为方阵 的幂级数.=0定理 1.1若幂级数 的收敛半径是 . 则=0(1) 若 () , 则 发散 (其中 () 是 阶矩阵 的谱半径).=

3、03 / 41证: (1) 因 () , 所以可以找到正数, 使得 () + . 在收敛圆| 内绝对收敛, 所以正项级因为=0数| | ( () + ) 收敛.=0由于 | | ( () + ) , 所以级数 收敛, 所=0以 绝对收敛.=0(2) 设 的特征值为 1, 2, , , 且 () = |1|. 则存在非奇异阵 ,使得 = , 其中 是 的约当1. 由定理 2.3 知, 收敛=0的充分必要条件条件是 收敛. 若幂级数 的收敛半径是 , 则=0=0 发散, 因此 发散, 从而 发散.1=0=0=04 / 41推论 1.1若幂级数 在整个复平面上收敛, 则对任意方阵 , 绝对收敛.=0

4、=0推论 1.2若复变幂级数( 0) 的收敛半径为, 则对于方阵 ,=0(1) 当的 特 征 值1, , 满 足| 0|( = 1, , )时,级 , 则级数( 0) 发散.0=0证: = 0和的特征值的关系是 = 0.5 / 41推论 1.3 + + 2 + + + 绝对收敛的充分必要条件是 () 1, 且其和是( )1.证: 由于幂级数 的收敛半径是 1, 因此 () 1, 则=0 + + 2 + + + 绝对收敛. 反之, 若 + + 2 + + + 绝对收敛, 则| | 绝对收敛, 故 | | 0, 因此 () 1.=1因为 ( + + 2 + + + )( ) = , 故( )1 =

5、 + + 2 + + + .6 / 41定义 1.2设 = ( ) . 如果| |, = 1, 2, , , 则称 是行 = 1 = 对角占优的. 如果| |, = 1, 2, , , 则称 是列对角占优的. = 1 = 10 2 3 44 8 1 15 2 15 75 1 09例如 =, 则 是行对角占优. 容易验证 可逆.7 / 41定理 1.2设 = () . 如果 是行 (列) 对角占优的, 则 可逆.证: 由于 0 121101110 00 10 001 0 00 1110 021222 2222 =+ 2 0 021 0 0 00 1211011111021222 记 =2222,

6、 = 2 00 021 则 可逆. 由于 是行对角占优, 因此 | 1, 故 + 可逆, 从而 可逆.8 / 41矩阵幂级数矩阵函数矩阵函数的幂级数定义矩阵函数()的计算矩阵函数的一般定义及其计算矩阵方程及其求解9 / 414321定义 2.1设 () 的幂级数 的收敛半径是 , 则当矩阵 的谱半径 () =0时, 把收敛的矩阵幂级数 的和称为矩阵函数, 记为 (), 即 () =0 .=011 2 1 3例如: =! = + + 2! + 3! + ;=0cos = 1 2 + 1 4 1 6 + ;2!4!6!1 ln ( + ) =(1) , () 1;=1(1) (+1)!( + )

7、= + , () 1;=11( )= .=09 / 41有两种计算矩阵函数()的方法：1) 利用的Jordan标准形; 2) 利用矩阵函数的多项式表示.10 / 41有两种计算矩阵函数()的方法：1) 利用的Jordan标准形; 2) 利用矩阵函数的多项式表示.一、利用的Jordan标准形为 . 由定理 2.3 知, 若非奇异矩阵 , 使得设 的 Jordan = 1, 则 () = () 1.如果 = (1, 2, , ), 则有 = (, , , )12因此 () = = ( , , , ) =12=0=0=0=0( (1), (2), , ().10 1.0 .设 =, 令 =, 则.

8、1. 10 = + .00 1. . . . 1. 002而 =, . . . . . . , = 0 , .10 / 41设函数 () 在 处的 Taylor 展开式为+()( )( ) () =!=0则有+() ()( )( ) () =( ) =( ) =!=0=0 ()( ) () +!=1故( 1) ( )( ) () .1!(1)! ( ) . () = . ( )1! () 推论 2.1若的特征值为1, , ，则()的特征值为 (1), , ().11 / 41综上所述,利用 Jordan求矩阵函数的如下计算步骤:1. 求 的 Jordan为 及相应的相似变换阵 ;2. 求 ()

9、 = ( (1), (2), , (), 其中( 1) ( )( ) () 1!(1)! ( ) () = ( ).1! () (3) 计算 () = () 1.12 / 41例 2.14 2 10求 cos .设 =4 3 73 1 7解 由于 | | = ( 2)3, ( 2) = 2, 因此 的 Jordan 标准2 1 0型为: =0 2 1,0 0 2 2 01利用 = 可求得相应的相似变换阵 为:1 1 2.1 0 1cos 2cos 2 sin 2 2而 cos =0cos 2 sin 2,00cos 213 / 41因此cos = (cos ) 11cos 22 01cos 2

10、 sin 2 2 012=1 1 200cos 20 sin 2cos 2cos 21 1 21 0 11 012 0 11 0 1cos 2 sin 22=1 1 200cos 20 sin 23 1 51 0 1cos 2 1 0 22 cos 2 + 6 sin 22 sin 22 cos 2 10 sin 2=0.5 cos 2 + 4 sin 2 cos 2 sin 2 cos 2 7 sin 2.0.5 cos 2 + 3 sin 2 sin 25 sin 214 / 41例 2.231 1已知 =2 02, 求 sin( ), 的 Jordan.1 1 34解 由于 | | =

11、( 2)3, 而 (2 ) = 1, 因此 的 Jordan2 0 0为 =0 2 1.0 0 2 21 0 00 02 2sin( ) =0 1 0, =0.0 0 1 2 40 0注意到存在非奇异阵 , 使得 () = () 1, 即 () 与 () 相似,故 sin( ), 的 Jordan分别是:21 0 0 20 020 1 0,01.0 0 1 2 0 015 / 41矩阵指数函数与三角函数是常用的矩阵函数, 它们有些性质与普通的指数函数与三角函数相同. 但由于矩阵乘法不满数函数与三角函数不同.换律, 从而有些性质与一般的指定理 2.1对任意 ,(1) sin() = sin ;

12、cos() = cos ;(2) = cos + sin ;(3) cos2 + sin2 = ;(4) +2 = ; = ;(5) (6)sin() = cos() = cos() ; (7)cos() = sin() = sin().16 / 41定理 2.2设 , . 若 = , 则有(1) + = + = ;(2) sin( + ) = sin cos + cos sin ;(3) cos( + ) = cos cos sin sin .推论 2.2sin(2) = 2 sin cos , cos(2) = cos2 sin2 .若 = , 则上述公式可能不成立. 如()()()()0

13、 01 00 10 00 00 11 00 0 =, =, = ;()()(11)1 01 11 10 1 + =, =, + =;11 + ()()1 11 22 11 1 = =; = + = .17 / 41定理 2.3对任意 , 则有(1) det() = ();(2) ()1 = .证: (1) 设 是 的约当阵 , 使得 = 1, 1, 2, , 为 的特征值, 则存在非奇异因此 = 1, det() = det( ) = 1 +2 + = () ;(2) 由于 = = 0 = , 因此 ()1 = .18 / 41矩阵幂级数矩阵函数矩阵函数的一般定义及其计算矩阵方程及其求解19

14、/ 414321利用定义 2.1 定义的矩阵函数, 其实质就是先将数量函数 () 展开成收敛的幂级数, 然后以矩阵 代替 , 得到 (). 但是, 对于任意给定的函数, ()要求能展开成收敛的幂级数条件太强, 一般不易满足. 从利用 Jordan求矩阵函数的方法可知, 矩阵函数 () 只与函数 () 以及它的一定阶导数在 的特征值的取值有关. 因此可以给出矩阵函数的一种较为广泛的定义.定义 3.1设 的最小多项式为 () = ( 1)1 ( ) , 则称集合(, )| = 1, 2, , 为 的谱. 记为 .19 / 41定义 3.2设 的最小多项式为 () = ( 1)1 ( ) , 称 (

15、)()| = 1, 2, , ; = 0, 1, , 为函数 () 在 上的谱值给定. 记为 ().定义 3.3对任意函数 (), 若存在复系数多项式 (), 使得 () = ()则定义矩阵函数 () 为 (), 即 () = ().20 / 41下面来介绍 () 的确定方法.设 的最小多项式为 () = ( 1)1 ( ) , 复系数多项式 (), 使得 () = (),则有 () = ()1() + () 其中 () = 0 + 1 + + 11, = 1 + 2 + + ,因此 () = () = ().21 / 41另一方面, 利用 () = ()数. 这样一来, 可设 个方程, 因此

16、可唯一确定 个系() = () = 0 + 1 + + 11 , 由此,系数法:1. 求 的最小多项式为 () = ( 1)1 ( ) ;2. 设 () = 0 + 1 + + 11, 利用 () = () 得到 个方程, 求解该方程组, 确定 () 系数 0, 1, , 1;3. () = ().求矩阵函数的待定22 / 41例 3.14 2 10设 =4 3 7求 cos .3 1 7解 由于 | | = ( 2)3, 而 (2 ) = 2, 因此 的最小多项式 () = ( 2)3.令 () = 0 + 1 + 22, 由 cos() = (),: + 2 + 4 = cos 20121

17、 + 42 = sin 22 = cos 22解得 0 = cos 2 + 2 sin 2, 1 = sin 2 + 2 cos 2, 2 = cos 2 . 因此2cos = ( cos 2 + 2 sin 2) + ( sin 2 + 2 cos 2) cos 2 222 cos 2 + 6 sin 22 sin 22 cos 2 10 sin 2=0.5 cos 2 + 4 sin 2 cos 2 sin 2 cos 2 7 sin 2.0.5 cos 2 + 3 sin 2 sin 25 sin 223 / 41例 3.231 1已知 =2 02, 求 sin( ).1 1 34解 由

18、于 | | = ( 2)3, 而 (2 ) = 1, 因此 的最小多项式 () = ( 2)2. 令() = 0 + 1, 由 () = (),: 0 + 21 = 1, 1 = 0.解得: 0 = 1, 1 = 0, 因此 sin( ) = .424 / 41由求矩阵函数的待定系数法可知: () = () = 0 + 1 + + 1 1 1()而 = () 其中 仅与 有关, 而与函数 无关. 因此=1 =1 1() (), 其中 仅与 有关, 而与函数 无关. () =1 =1这样, 如果利用一些特殊的 将 求出, 就可求出要求的 ().25 / 41从而得到如下求矩阵函数的待定矩阵法的计

19、算步骤.(1) 求 的最小多项式为 () = ( 1)1 ( ) ; 1()2. 令 () = (), 取一些特殊的 求出 ;=1 =13. 求要计算的 ().26 / 41例 3.331 1已知 =2 02, 求 sin( ), .1 1 34解 由于 | | = ( 2)3, 而 (2 ) = 1, 因此 的最小多项式 () = ( 2)2.令: () = (2)1 + (2)2.取 () = 1, 则有 1 = ; 取 () = 2, 则有 2 = 2.因此 () = (2) + (2)( 2).特别地:sin( ) = ;421 1 = 2 + 2( 2) = 2( ) = 22 1

20、2.1 1 227 / 41例 3.44 2 10设 =4 3 7求 cos .3 1 7解 因为 | | = ( 2)3, ( 2) = 2, 因此 的 的最小多项式 () = ( 2)2.可令: () = (2)1 + (2)2 + (2)3.取 () = 1, 则有 1 = ;取 () = 2, 则有 2 = 2取 () = ( 2)2, 则有 2 = 1 ( 2)2.2因此 () = (2) + (2)( 2) + (2) 1 ( 2)2.2从而cos = (cos 2) (sin 2)( 2) cos 2 ( 2)2 =22 cos 2 10 sin 22 cos 2 + 6 sin

21、 22 sin 20.5 cos 2 + 4 sin 2 cos 2 sin 2 cos 2 7 sin 2.0.5 cos 2 + 3 sin 2 sin 25 sin 228 / 41例 3.52 2 1已知 =1 3 1, 求 3.1 2 2 解 因为 | | = ( 1)2( 5), ( ) = 1, 因此 的最小多() = ( 1)( 5).项式29 / 41(1) Jordan法1 0 0由上可知 的 Jordan =0 1 0, 相应的相似变换阵 为为0 0 5 12 10 1 1.1 01 1312 10012 13因此3 =0 1 10000 1 1.1 01 0 15 1

22、01 30 / 41(2) 待定系数法由于 的最小多项式 () = ( 1)( 5), 可令 () = 0 + 1, 由30 + 1 = 0 + 51 = 15解得: 0 = 1 (53 15), 1 = 1 (15 3).44因此 3 = 1 (53 15) + 1 (15 3)4431 / 41(3) 待定矩阵法:由于 的最小多项式 () = ( 1)( 5), 可令 () = (1)1 + (5)2.取 () = 1, 则有 2 = 1 ( );4取 () = 5, 则有 1 = 1 ( 5).4故 () = 1 (1)( 5) + 1 (5)( ) = 1 (5) (1) + 1 5

23、(1) (5)4444.特别地: 3 = 1 15 3 + 1 53 15.4432 / 41矩阵幂级数矩阵函数矩阵函数的一般定义及其计算矩阵方程及其求解33 / 414321本节中,介绍矩阵函数及矩阵微积分的一些应用.先一阶线性常系数微分方程组的初值问题的求解.在数学或工程技术中, 经常要研究一阶常系数线性微分方程组 ()1= 111() + 122() + + 1() + 1() ()2 = () + () + + () + ()21 122 22 2 () = () + () + + () + ()1 12 2 满足初始条件 (0) = , = 1, 2, , 的解.如果记 = (),

24、= (1, 2, , ) ,() = (1(), 2(), , () , () = (1(), 2(), , () ,则上述问题可写成()= ()() + ()(0) = .33 / 41由于 是常值矩阵, 因此 () = ()() + () = () () = ()将上式两边在 0, 上积分, 得到 () () = () ,000因此微分方程组的初值问题的解为 () = ( ) + ().0034 / 41例 4.12 0 0()= ()() + (1, 0, 1)(0) = (1, 1, 1)设 =1 1 1, 求如下初值问题的解:.1 1 3 100解 因为 = 2 1 , 1 + 21

25、1 012所以0 () = 0 20 =,2 11( )() = + ()00 210011001 + 1 2= 2 1 1 1 0= 1 + 1 1 + 2 1 223 222 + 2.2 + 1 + 2 35 / 41例 4.2设 , , () , 求如下矩阵微分方程的初值问题的()= () + () .解:(0) = 0 () = ( + ) ()解 将上方程拉直,:,(0)= 0利用一阶常系数线性微分方程组的初值问题的求解公式, 上方程的解为()= (+ ) = ( ) = ( )000因此 () = 0( ) . 1 1因为 () = (! ( ) ) =! () = =0=0()= () + ()(0) = 0所以矩阵微分方程的初值问题的解为() = 0.36 / 41定义 4.1设 1, 2, , 是常数, () 为已知函数, 称() + 1(1) + 2(2) + + 1 + = ()为 阶常系数微分方程.由于常系数线性微分方程组的矩阵形式解已经得到, 因此,可以利用如下方式将 阶常系数微分方程转化为常系数线性微分方程组, 进而求出它的解.令 () = (1)() , = 1, 2, , 1 = 2= 32则有 = 1 = + () 11 21 37 / 4100 010 001 0 00 1若记 = ,1 2 1() = (1(), 2(