14.4.2 用样本估计总体的离散程度参数 教学设计-苏教版高中数学必修第二册

1、第十四章 统计14.4用样本估计总体14.4.2用样本估计总体的离散程度参数在学习运用样本估计总体的过程中，要通过对具体数据的分析，使学生体会到由于样本数据具有随机性，样本所提供的信息在一定程度上反映了总体的有关特征，但与总体有一定的偏差但是，如果抽样的方法比较合理，样本信息可以比较好地反映总体的信息，从而为人们合理地决策提供依 据由此使学生认识统计思维的特点和作用，体会统计思维与确定性思维的差异课程目标1.理解样本数据方差、标准差的意义，会计 算方差、标准差.2. 会用样本的基本数字特征 ( 平均数、标准 差)估计总体的基本数字特征.3.体会用样本估计总体的思想学科素养在学习和应用标准差、方

2、差和极差的过程中，要进行运算，对数据进行分析，发展学生的数学运算素养和 数据分析素养.1.教学重点：理解样本数据方差、标准差的意义，会计算方差、标准差.2.教学难点：会用样本的基本数字特征(平均数、标准差)估计总体的基本数字特征.多媒体调试、讲义分发。甲、乙两名战士在相同条件下各射靶 10 次，每次命中的环数分别是： 甲：8，6，7，8，6，5，9，10，4，7；乙：6，7，7，8，6，7，8，7，9，5.经过计算可知甲、乙的命中环数的平均数都是 7 环.n i 1 2 i i i1 2101 21010乙 问题 若从二人中选一人去和兄弟部队参加射击大赛，只用平均数能否作出选择？提示 不能.平

3、均数只能说明二人的平均水平相同，还要用方差来判断谁的射击水平更稳定. 知识点一 极差1定义：一组数据的最大值与最小值的差2作用：极差较大，数据点较分散；极差较小，数据点较集中知识点二 方差、标准差1 n1方差：设一组样本数据 x ，x ，x ，其平均数为 x ，则称 s2 ( x x )2n为这个样本的方差，简称样本方差2标准差：方差的算术平方根 s1 n (x x )2 ni1i1为样本的标准差，简称样本标准差3标准差(或方差)越小，数据越稳定在平均数附近s0 时，每一组样本数据均为 x .一、方差、标准差的计算例 1 (1)设样本数据 x ，x ，x 的平均数和方差分别为 1 和 4，若

4、y x a(a 为非零常数，i 1,2，10)，则 y ，y ，y 的平均数和方差分别为_1 2 10答案 1a,4解析x x x1，y x a，所以 y ，y ，y 的平均数为1a，方差不变仍为4. i i 1 2 10(2)从甲、乙两种玉米中各抽 10 株，分别测得它们的株高： 甲：25,41,40,37,22,14,19,39,21,42；乙：27,16,44,27,44,16,40,40,16,40.试计算甲、乙两组数据的方差和标准差解1x (25414037221419392142)30， 甲 101s2 (2530)2 甲 10(4130)2(4230)2104.2，s 104.2

5、10.208.甲1x (27164427441640401640)31， 10同理 s2 128.8，s 128.811.349.乙 乙n n n n i 2 n n 1 2n 1 2n 1 2 n 1 2n 1 2 n 1 2 1 n 1 22 n 1 2 3 反思感悟 方差的计算方法1(1)s2 (x2x2x2)n x 2；1 21s2 (x2x2x2) x 2.1 2(2)用定义的公式计算方差的一般步骤先求出样本平均数 x ；再计算一组差：x x (i1,2，n)；计算中差的平方，得到一组新的数据：(x x )2 1，(x x )2，(x x )2；1 n计算中这组新数据的平均数，即为所

6、求的方差 s2，即 s2ni1( x x )2. i跟踪训练 1 已知一个样本为 1,3,2,5，x，它的平均数是 3，则这个样本的标准差是多少？解1325x方法一 x 3，x4.5由方差公式得，1s2 (13)2 5(33)2(23)2(53)2(43)22，s 2.1325x方法二 x 3，x4，5由方差公式的变形公式得，1 s2 (12532225242)322，s 2.二、方差的性质例 2 设数据 x ，x ，x 的方差为 s2，求下列各组数据的方差 (1)x b，x b，x b；1 2 n(2)ax ，ax ，ax ；1 2 n(3)ax b，ax b，ax b.1 2 n解设数据

7、x ，x ，x 的平均数为 x ，则数据 x b，x b，x b 的平均数为 x b， 数据 ax ，ax ，ax 的平均数为 a x ，数据 ax b，ax b，ax b 的平均数为 a x b，设数据 x b，x b，x b 的方差为 s2， 数据 ax ，ax ，ax 的方差为 s2，数据 ax b，ax b，ax b 的方差为 s2.n 2 n 1 2 n 2 1 n 2 n 1 2 3 1 2 n 1 n 2 n n 1 21 2n n 1 21 2 1 28 1 2 乙 1 2 n 1(1)s2 (x b x b)2 1 1(x b x b)2(x b x b)21 (x x )2

8、 n(x x )2(x x )2s2.1(2)s2 (ax a x )2 n(ax a x )2(ax a x )2a12 (x x )2(x x )2(x x )2a2s2. n1(3)s2 (ax ba x b)2(ax ba x b)2 n(ax ba x b)21 (ax a x )2 n(ax a x )2(ax a x )2a2s2.反思感悟 方差的性质(1)数据 x ，x ，x 与数据 x b，x b，x b 的方差相等1 2 n 1 2 n(2)若 x ，x ，x 的方差为 s2，则 ax ，ax ，ax 的方差为 a2s2.(3)若 x ，x ，x 的方差为 s2，则 ax

9、b，ax b，ax b 的方差为 a2s2.利用这些性质可比较方便地求一些数据的方差跟踪训练 2 (1)已知一组数据 x ，x ，x 的平均数是 2，方差为 6，则数据 x 1，x 1， x 1 的平均数是_，方差是_n(2)已知一组数据 x ，x ，x 的平均数是2，方差是 4，则数据 2x 3,2x 3，2x 3 的平1 2 n 1 2 n均数是_，方差是_答案 (1)1 6 (2)1 16三、方差、标准差的应用例 3 甲、乙两名战士在相同条件下各打靶 10 次，每次命中的环数分别为：甲：8,6,7,8,6,5,9,10,4,7；乙：6,7,7,8,6,7,8,7,9,5.(1)分别计算以

10、上两组数据的平均数；(2)分别求出两组数据的方差和标准差；(3)根据计算结果，估计两名战士的射击情况若要从这两人中选一人参加射击比赛，选谁去合适？ (4)估计两名战士射击环数落在区间( x s， x s)内的百分比是多少解1(1) x (86786591047)7， 甲 101x (6778678795)7. 101(2)由方差公式 s2 (x x )2n(x x )2(x x )2，得 s2 3，s2甲 乙1.2.故 s 1.7，s 1.1.甲 乙(3) x x ，说明甲、乙两战士的平均水平相当 甲 乙7 又 s2 s2 ，说明甲战士射击情况波动大甲 乙因此，乙战士比甲战士射击情况稳定从成绩

11、的稳定性考虑，应选择乙参加比赛(4)对于甲，样本数据落在( x s， x s)，即(5.3,8.7)内的有 6 个，占 60%.对于乙，样本数据落在 ( x s， x s)，即(5.9,8.1)内的有 8 个，占 80%.反思感悟 在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究方差，方差描述了数据相对平 均数的离散程度，在平均数相同的情况下，方差越大，离散程度越大，数据波动性越大，稳定性越 差；方差越小，数据越集中，越稳定跟踪训练 3 某化肥厂有甲、乙两个车间包装肥料，在自动包装传送带上每隔 30 分钟抽取一包产品， 称其质量，分别记录抽查数据如下(单位：kg)：甲：102 101 99

12、98 103 98 99乙：110 115 90 85 75 115 110试计算甲、乙两个车间产品质量的平均数与方差，并说明哪个车间产品比较稳定解1x (10210199981039899)100； 甲 71x (110115908575115110)100； 乙s2甲1 (102100)2 7(101100)2(99100)2(98100)2(103100)2(98100)2(99100)21 (4114941)3.43；71s2 (110100)2(115100)2(90100)2(85100)2(75100)2(115100)2(110100)2 乙 71 (1002251002256

13、25225100)7228.57.所以 s2 s2 甲 乙，故甲车间产品较稳定1下列说法正确的是( )A在两组数据中，平均数较大的一组方差较大B平均数反映数据的集中趋势，方差则反映数据离平均数的波动大小C方差的求法是求出各个数据与平均数的差的平方后再求和D在记录两个人射击环数的两组数据中，方差大的表示射击水平高答案 B解析 A 中平均数和方差是数据的两个特征，不存在这种关系；C 中求和后还需取平均数；D 中方 差越大，射击越不平稳，水平越低2已知一组数据 4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是( )A0.1 B0.3 C0.5 D0.72答案 A解析 5 个数的平均数 x 4.74.85.15.45.5 15.1，所以它们的方差 s2 (4.75.1)2 5 5(4.85.1)2(5.15.1)2(5.45.1)2(5.55.1)20.1.3甲、乙、丙、丁四名射击手在选拔赛中所得的平均环数 x 及其方差 s2 最佳人选应是( )如下表所示，则选择决赛的xs2甲76.3乙86.3丙87丁78.7A.甲 B乙 C丙 D丁答案 B解析 x x x x ，且 s2 s2 s2 2C. x 4