“去数学化”现象透视东北师范大学附属小学刘艳平

1、“去数学化”现象透视 东北师范大学附属小学/刘艳平一、由案例引发的思考 介绍两节数学课的教学片断： 第一节是三年级下册的平均数，教师提出问题：让学生比较两个人数不同的球队的投球水平，引出需要比较两个队的整体水平要借助平均数这一统计量，在介绍平均数的过程中，得出求平均数的办法，然后让学生现场搜集数据，求每个小组同学的平均身高和平均体重。 第二节是三年级下册可能性-摸球游戏，学生已经知道了生活中事件的发生情况可以用“可能、不可能、一定”来描述，这节课是研究事件发生的可能性有大有小的问题。教师在盒子里放了9个白球，1个黄球，摇匀后让学生猜测任意摸出一个，可能是什么球？学生大都猜测是白球，也有个别与众

2、不同的学生猜测黄球，然后教师让学生动手操作，小组内4个人摸，每人摸10次，将结果记录下来，最后汇报结果得出结论：摸到白球的次数多，所以模到白球的可能性大，摸到黄球的次数少，摸到黄球的可能性小。 前面描述的2个教学片断，老师们听了有什么感想？这两节课都让学生进行了动手操作、实践体验、还有的进行了合作交流这些都是新课程理念所倡导的，除此以外你认为这样的课有没有问题？如果有问题问题出在哪里？ 第一节课我想请老师们思考平均数这一统计量的实质是什么？在解决问题的时候，需要把握一个群体的某一属性的整体水平，我们不可能用每一个元素来代表这个整体，需要借助从整体中选取的有代表性的数据来做代表，小学阶段学习的中

3、位数、众数、平均数都是代表整体的统计量。中位数是用处于整体中间位置的数来代表整体，而众数是用整体中出现次数最多的数来代表整体，只有平均数是用群体中每一个元素平均分配后得到一个新的数据来代表整体。所以平均数受群体中的每一个元素的影响，是描述群体中数据集中趋势的一个统计量。我们在教学的过程中如何让学生感受到平均数的意义，前面教师进行的通过比较两个球队的整体水平引出平均数是非常正确的，但在得到平均数这一统计量以后，没有让学生思考平均数与每一个体之间的关系，这将不利于学生理解平均数的本质。如平均投5个球意味着什么？是不是每个队员都投5个，可能比5个多，也可能比5个少，老师在教学的过程中恰恰忽略了这种比

4、较，根源在于没有抓住平均数的本源。 第二节课的教师通过大量的摸球实验得到的结论是：摸到白球的可能性大，摸到黄球的可能性小。曾经有一位专家提出过这样的观点：“这样的结论根本不用摸，傻子都知道摸到白球的可能性大，这不是把学生当成白痴了！”我们不仅要思考：不用摸就知道的结论为什么还要进行实验？摸球实验在概率问题中的意义和价值在哪里？我想概率问题的核心是对不确定现象的描述，试图寻找不确定事件中所蕴含的确定规律。实验最本质的功能是让学生在实验的过程中体会一种随机性，每次摸到谁是不确定的，而在这种不确定中还蕴含着确定性，那就是谁出现的次数多，即可能性的大小是可以确定的。上面的教师在实验的过程中只突出了结果

5、的确定性，而对于不确定性的把握突出不够，如果能够在得出实验数据以后，提出这样的反思问题：黄球出现的次数少，分别都是在哪一次出现的？在哪一次摸出黄球你能确定吗？每次摸到谁是不确定的，谁出现的次数多是确定的？这样就能凸显出随机思想的渗透与提升。 通过刚才的分析老师们可能感觉到了这两节课都有一个致命的弱点-对数学知识的本质把握不够，对数学思想方法的渗透没有关注。数学课程改革的专家们评价这样的数学课是没有数学味！ 其实课程改革以来，新课程理念下的数学教学已经发生了可喜的变化：突出了数学与生活实际的联系、关注了学生的知识基础和生活经验、关注了数学课程资源的开发与利用、关注了多种学习方式的并存、关注了学生

6、的个性发展学生参与学习活动的热情高涨、课堂气氛活跃。与此同时也存在一些问题，什么问题呢？著名的数学教育专家张奠宙结合目前数学教学的现状，在当心“去数学化”一文中这样写道：“数学教育自然是以数学内容为核心，可惜的是，这样的常识，近来似乎不再正确了。君不见，评价一堂课的优劣，只问教师是否创设了现实情境，学生是否自主探究，气氛是否活跃，是否分小组活动，用了多媒体没有。至于数学内容，反倒可有可无起来。去数学化倾向会危及数学教育的生命。实际上，数学教学设计的核心是如何体现“数学的本质”，使学生高效率、高质量地领会和体验数学的价值和魅力。” 所以我们只有深入剖析数学教学中的“去数学化”倾向，进而研究解决问

7、题的策略和办法。 二、剖析“去数学化” 什么是“去数学化”？ 叶澜教授在重建课堂教学价值观一文中提出这样的观点，她说每个学科都有两个层面的价值，一是各个学科共通层面的价值-形成学生主动健康发展的意识与能力；二是学科教学层面的价值-学科本身的知识、技能、思想、方法。课程改革是让我们把以往我们淡化的学科共通层面的教育价值给凸现出来，但绝不是否定学科教学层面的价值。也就是共性与个性的问题，我们在教学实践的过程中没有突出学科个性，抓住学科本身的知识、技能、思想、方法就是“去数学化”。 “去数学化”的危害不言自明，导致我们的数学课没有数学味、数学课堂教学效率低下、学生的数学素养得不到提升！数学教学是联系

8、生活实际了，却没有进行数学的抽象与概括；是创设生活情境了，却没有关注情境中所蕴含的数学知识的本质，甚至有的数学课上成了生活课、上成了品德课。要解决这个问题就要强调数学的个性、抓住数学本质、突出数学学科的教育功能、彰显数学教育的价值和魅力，这样才符合新课程所倡导的教育理念。 那么，数学的本质是什么？数学教育的价值和魅力在哪里？ 就像语文教育专家对语文教学改革提出的裤子理论一样，他们说语文教学改革就像裤子一样，不同的时期流行不同的样式，喇叭裤、萝卜裤、靴裤。但无论怎么变化都保证裤子有两条腿，不能把裤子变成裙子,这就像语文教学改革，怎么改也不能脱离语文教学的本质功能-工具性与人文性的统一，不能脱离识

9、字、阅读、习文，这是语文教学的根本。 小学数学教育最本质的功能是什么？区别于其他学科的教育功能？ 东北师范大学校长、国家数学课程标准研制组组长史宁中教授提出：学生学数学与不学数学最本质的区别在于培养人直观的能力、演绎的能力、逻辑地思考！其实就是以数学知识为载体促进学生思维的发展。不管课程改革怎样变化，数学知识的本质不会变化，蕴含在数学知识背后的数学思想方法不会变化。 而数学知识和数学思想方法就是数学的核心。“去数学化”倾向就是忽略了数学知识本源和数学思想方法！ 国家数学课程标准的总体目标中明确提出：“通过义务教育阶段的数学学习，学生能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识（包括

10、数学事实、数学活动经验）以及基本的数学思想方法和必要的应用技能。” 标准中明确提出的数学知识和数学思想方法为什么会被淡化？究其原因是我们在操作的过程中只关注了动手实践、自主探索、合作交流等学习方式这些形式，淡化了学科的本质，没有突出形式是为内容服务的作用，要想解决这个问题就要从根上入手：抓住数学知识本源和数学思想方法，与新课程理念所倡导的理念有机整合，纠正“去数学化”倾向，还数学教学本来面目！ 三、还数学课以数学味 （一）把根留住-追溯数学本源 1.小学数学中的数学知识本源与数学思想方法 数学教学内容贯穿着两条主线，数学基础知识和数学思想方法。 数学基础知识是一条明线，直接用文字的形式写在教材

11、里，反映着知识间的纵向联系。比如小学阶段学习的数学知识包括两部分，一是小学阶段学习而中学不再教学的，必须达到理解、掌握和简单应用的程度。如整数、小数、分数的概念和四则运算，运算定律等内容。还有一部分是到中学后还要继续学习的内容，在小学只是初步认识和感知，为以后学习做准备。如概率、视图等内容。 达到理解、掌握、简单应用的知识，在教学的过程宏就要紧紧地抓住知识点产生的意义与价值进行教学。因为每一个新的概念、方法、公式、定理的产生，都源于一定的需要，这种需要的前提和背景就是数学知识的本源，对于基础知识的教学必须要关注这一知识的本源，学生才能比较深入的理解概念的内涵。比如小学阶段为什么认识数？是把握物

12、体数量的需要；为什么学习长度、面积，是把握物体长短、表面大小属性的需要；为什么学习乘法？它能使特殊的加法简便？平均数是怎么回事?解决这些为什么就找到了数学知识的本源。 数学思想方法则是一条暗线，反映着知识间的横向联系，隐藏在基础知识的背后，需要教师加以分析、提炼才能使之显露出来。 同一个数学思想方法蕴含在不同的基础知识的背后，比如化归的思想方法，是怎么回事呢？有这样一个笑话：数学家和物理学家都要烧开一壶水，第一次面对两个空壶，两个人都是将空壶装满水后，点火烧水，属于同一智力水平；第二次面对两个装满水的水壶，你们猜物理学家是怎么做的？物理学家直接点火烧水，数学家则把水壶里的水倒掉，恢复到第一次烧

13、水前的空壶状态，然后再装水、点火烧水。第二次谁最聪明？数学家比较笨，把简单的问题搞复杂了。但是这种思考问题的方式对于解决复杂的问题是十分必要的，他为我们提供了一种解决问题的思想-化归的思想方法。一个新的问题可以运用化归的思想转化为人们所熟悉的较简单的或已经解决的形式。 化归的思想方法在小学数学中也随处可见，比如在研究了整数除法的计算方法以后，对于小数除法的计算方法就可以运用化归的思想方法，抓住两者之间的内在联系，将小数除法转化成整数除法进行计算就可以了。平面图形面积公式的推导也是以化归的思想方法为核心，把平行四边形转化为长方形、三角形转化为平行四边形化归的思想方法对于解决问题具有重要的指导价值

14、。 除此之外，小学数学基础知识的背后还蕴涵着：优化思想、符号化思想、集合思想、函数思想、极限思想、分类思想、概率统计思想等；归纳与演绎，分析与综合，抽象与概括，联想与猜想等方法。 2.抓住数学知识本源与数学思想方法的意义与价值 学生对数学的学习只有抓住了数学知识本源和数学思想方法，才能抓住数学的灵魂，提升数学素养。 从学科内部来说，抓住数学知识本源和数学思想方法，能够加深对知识的理解，沟通知识间的内在联系，解决问题的时候，就能举一反三、融会贯通、把握实质，而不是就题论题。 从学科外部来说，学生学到的数学知识，如果没有机会应用，不到一两年就忘掉了，但是不管从事什么职业，那种铭刻在头脑中的数学精神

15、和数学思想方法，却长期地发挥着作用。比如小学阶段研究过很多分类问题，蕴含着分类的思想方法，当面临问题的时候就会主动应用分类的思想，比如计算机程序的设计，对数据信息的处理都源于分类的思想，计算机解决把1000个数排序的问题就是，首先分类，然后再排，这就是分类的思想方法在起作用。 数学知识是对生活的提炼、数学思想方法是对数学知识的提炼，所以领悟数学思想方法是数学教学的要务，掌握数学思想方法是数学学习的最高境界。 （二）凸显本色-还数学教学本色 抓住数学知识本源和数学思想方法进行教学，怎样才能抓住？我想这是两个层面的问题： 1.针对具体的数学知识，知道知识本源和蕴含在知识背后的数学思想方法。 怎样才

16、能知道？途径有两条： （1）通过数学史的学习了解数学知识产生的背景和发展的过程，知道来龙去脉，也就把握了知识本源和数学思想方法。 小学阶段学习整数的知识，包括数的认识、读数、写数、计算等，这部分知识的实质是什么？从数学史的材料中我们就可以知道。 数在发展的过程中经历了漫长的过程，人们开始并不能把握物体的多与少，当物体的个数超过3个的时候，只能说很多，所以就有了这样一个笑话：两个匈牙利贵族打赌，看谁说出的数字最大谁就赢。一个人绞尽脑汁想了好几分钟说3，另一个人想了一刻钟说-你赢了。当时的人们根本没有描述大数的方法，不但没有描述大数的方法，连计数的简单符号都没有，现在位于澳大利亚北部的托列斯峡群岛

17、上的某些部落里，只有1-乌拉勃和2-阿柯扎这两个音，在他们的语言中3-用阿柯扎乌拉勃表示，4-阿柯扎阿柯扎，5-阿柯扎阿柯扎乌拉勃，6-阿柯扎阿柯扎阿柯扎，设想用这样的计数法表示10000是一件多么可怕的事情？ 而我们现在所使用的十进制计数法是如此的简单与美妙！从公元前3世纪美索不达米亚的牧人第一次使用小石子来表示羊的只数时，就意味着抽象的产生，当他们第一次试图使用什么记号将羊的只数记录下来时，就意味着符号思想的出现。从石子计数到工具计数，再到符号计数，法国著名的数学家拉普拉斯曾经写道：“用10个记号来表示一切的数，每个记号不但有绝对的值，而且有位置的值，这是一个深远而又重要的思想，它的简单性

18、为一切计算提供了方便。”位值制、进位法成为数系发展的里程碑，符号化思想也是这部分内容的本质与核心。 （2）深入挖掘教材，教材的编排蕴含了知识的本源和思想方法。 教材中对知识内容的编排中蕴含了知识的本源和数学思想方法。 比如面积和面积单位这一内容，教材中的编排从比较两个图形的大小开始，不能直接比较出结果的时候，借助一些不同形状的物体进行比较，圆形的、正方形的，这就是面积单位的雏形，蕴含着面积单位产生的过程，这就是知识的本源。 比如圆的面积这一内容，对于圆的面积公式的推导需要将圆分割成小的扇形，重新拼组后组成一个近似的平行四边形，利用平行四边形的面积公式推导出圆的面积公式，其中无限分割后的扇形重新

19、拼组的就是一个平行四边形，这里面蕴含着极限的思想。 2.在实践中怎样以数学知识本源与数学思想方法为主线展开教学设计。 在教学设计的过程中我们要思考教学内容、教学资源、学习方式、教学环节、学生已有的知识基础等等一系列的问题，但这些形式都是为教学目标服务的。在目标的确定上我们要抓住数学知识本源和数学思想方法这条主线，以知识内容为载体，采用灵活多样的学习形式来凸显数学的本质。 （1）在知识的发生过程中要抓住知识本源，突出知识的产生与形成过程。 让学生处于需求新知的状态-创设的问题情境要蕴含数学知识的本源 让学生处于解决问题的状态-探索的过程中要有思考知识本源的任务 以1000以内数的认识一课为例，来

20、阐述是怎样抓住数学知识本源进行教学设计的。这部分知识的本质是位值制、进位法、符号化思想。位置制是每一个位置上的数字表示不同的数值，用位置来区分数字所代表的数值；进位法是满十就要向前一位进一；符号化思想是物体的多少用简单的10个符号来表示。而计数单位是承载位值制、进位法的前提与根本，计数单位是计数的一个标准，怎样让学生体会计数单位的实质？是教学的核心问题。 在认识“千”这个计数单位的时候，创设了这样一个问题情境：请每个小组的同学想办法得到大约1000粒豆子，看哪个小组最聪明，找到最快的办法，最先完成任务。 这个问题情境的创设，没有间接的任务，只是直接的任务，想办法得到大约1000粒豆子。一个大约

21、，就蕴含了计数单位的本源。计数单位是什么，是一个计数的标准，古人开始用1个小石子表示1只羊,随着羊的只数的增加，用大一点的石子代表10只羊，后来用更大的石子代表100只羊，用更大更大的石子代表1000只羊石子是计数工具，石子的大小就是计数单位，而为每个计数单位起个名字就是一、十、百、千写成汉字的形式，每一个计数单位都是计数的标准，大的计数单位可以用来数更大的数。 学生在面临解决这个问题的时候，需要动脑思考解决问题的策略和办法，如果一粒一粒地数，以一为单位进行计数，不能达到最快的目的。那么以谁为单位计数最快？需要用更大的计数单位来计数，借助学过的“百”这个计数单位进行数数。通过数出准确的100粒

22、，有了“百”这个计数的标准，就可以数出10个百就是1个千。“千”是一个更大的计数单位，可以帮助我们数更大的数。这一问题情境的创设就蕴含了计数单位的本源，解决问题的过程也面临着思考知识本源的任务。 然后通过帮助学生建立一、十、百、千的直观表象，抓住计数单位之间的关系：10个一是1个十、10个十是1个百、10个百是1个千，头脑中形成点、线、面、体的直观。 在认识完计数单位以后，就要研究位值制和进位法的问题。 在介绍完计数单位发展的过程以后，我提出了这样一个任务：古人把石子作为计数的工具，我们能不能用手中的计数工具-计数器进行计数？用计数单位直观的表象出示333个正方体，请学生记录后思考这样的问题：

23、怎么能用3个珠子表示300个正方体？渗透位值制的思想。999个表示完以后表示1000个，思考：为什么满十个要向前一位进一个，不进行不行？这是进位法的问题，也是由10个符号决定的。 这样学生就感悟到了进位法、位值制与符号化思想。后面的读数、写数、运算就水到渠成。 再如：学生在学习了比例尺以后，六年级毕业班出了这样一个题目：给出南湖的平面图和比例尺，让学生自己测量数据求出南湖的实际占地面积，结果大部分学生都是先计算图上面积，然后用比例尺求出实际面积。错误的原因是马虎？还是粗心大意？我想都不是，是学生对比例尺的本质内涵没有理解。为什么没有理解？学生在学习比例尺的时候不是马上就知道什么是比例尺，并会计

24、算了吗？学生的这种知道只是一种浅层次。怎样才能让学生深入理解？需要创设让学生产生思考比例尺本质内涵的问题情境，在解决问题的过程中产生应用比例尺的需要。 前一段时间听了一节比例尺一课，教师创设了这样一个问题情境：播放一段张家界风光片，画面定格地图，提出问题：老师想要知道张家界距离我所在的城市有多远？你有什么好办法？商议后得出通过测量图上距离，利用地图上的比例尺就可以求出实际距离，然后介绍图上距离与实际距离的比就是比例尺，用比例尺计算出了实际距离。这个问题情境里面有产生比例尺的需要吗？没有产生的需要，是直接运用学生已有的知识基础，在用的过程中进行介绍，这样不能让学生深刻理解比例尺产生的意义与价值。

25、 比例尺是什么？比例尺是在将物体或图形放大或缩小相同倍数的标尺，之所以称其为尺是由于与长度有关，长度的变化必然要带来图形大小的变化，变化的过程中确保图形的相似性，就必须保证物体或图像上的全部长度同时放大或缩小，由于线比较多，所以就用一个标尺表示他们共同的变化，这就是比例尺。所以在初学比例尺的时候应该为学生创设思考这一问题本质的情境：让学生把黑板画在纸上，保证形状最像。解决这个问题的时候学生就要思考怎样才能保证像，缩小相同的倍数，图形的大小发生了变化，形状却没有变化。 （2）在法则归纳、公式推导、结论的发现过程中以思想方法为主线，凸显思考过程。 小学阶段有些内容的学习是围绕着数学思想方法为主线展

26、开的，这样就需要针对内容中所蕴含的思想方法展开教学。 围绕一种数学思想方法为主线展开教学 在平面图形面积公式的推导中，从平行四边形、三角形、到梯形的面积公式的推导都是以化归的思想方法为核心，我们在教学的过程中就应该抓住化归这条数学思想方法为主线，通过多次孕育、化隐为显，让学生在获得结论的同时，感悟到数学思想方法的意义与作用。 怎样围绕呢？在教学平行四边形的面积的时候，基本上都设计这样几个环节。 一是让学生利用手中的平行四边形和剪刀，通过折一折、剪一剪、拼一拼，想办法求出平行四边形的面积。二是学生利用割补的方法，把平行四边形转化成长方形，求出长方形的面积也就求出了平行四边形的面积。找出平行四边形

27、与长方形之间的关系，得出平行四边形的面积=底高。 如果从掌握知识、形成技能的角度来看，学生已经知道了求平行四边形面积的办法，知识技能的目标已经达成，而对于数学思考的目标还没有达成，如果让学生对数学思想方法有进一步的认识，教师就要设计第三个环节：引导学生思考是怎样求出这个平行四边形的面积的？把平行四边形运用割补的方法把它变成长方形，抓住长方形与平行四边形之间的关系，通过求长方形的面积求出平行四边形的面积。这时化归的思想方法处于隐性阶段，初步的孕育，并没有进行提炼。让学生在一步一步的反思过程中感悟到化归这一数学思想方法。 在研究三角形的面积时，就要承接前面对化归思想方法的渗透，设计这样的环节：能不

28、能试着把三角形转化成我们学过的平面图形来求面积，利用手中的图形、剪刀进行探索。这是对化归思想方法的一种唤起，学生可以运用类比推理的办法得出结论。两次的孕育以后进行提炼就显得十分必要，就要设计提炼思想方法的环节：研究三角形、平行四边形的面积公式时，都转化成我们学过的平面图形，转化的时候是基于怎样的想法？在转化的过程中面积保持不变，把不会求面积的图形转化成会求面积的平面图形。我们以后在面临要解决的问题，就可以把要解决的问题转化成已经会解决的问题。 这样学生对转化的思想方法有了比较清晰地认识以后，在后面研究梯形的面积公式时就可以经历主动运用的阶段，围绕三个问题进行探索：一是回忆一下平行四边形、三角形面积公式的推导过程，运用什么方法解决的？二是研究梯形的面积公式你想怎么办？说出你的想法？三是学生汇报的过程中紧紧抓住转化的思想方法进行。抓住图形与梯形的关系，抓住内部的联系。学生富有个性的想法，就是学生主动运用转化思想方法的成果。 这样规则平面图形的求积问题围绕转化的思想方法的渗透展开教学，即完成了知识目标，也抓住了知识间的内在联系，突出数学解决问题的方法和策略。通过多次孕育，直到最