信号分析课件：第1章 连续时间信号分析

1、第 1 章连续时间信号分析本章主要内容 连续时间信号的时域分析 周期信号的频率分解 非周期信号的频谱 连续时间信号的复频域分析 连续信号的相关分析 与本章内容有关的MATLAB函数时域分析：分解成不同延时的简单冲激信号分量叠加，再利用卷积方法频域分析：分解成不同频率地正旋分量叠加，即采用傅立叶变换（级数）的方法复频域分析： 复频率 ， 分解成不同复频率的复指数分量的叠加，拉普拉斯变换方法连续信号的时域描述 连续时间信号的定义 所谓连续时间信号，简称为连续信号，就是指在所讨论的时间内，对于除了若干个不连续点以外的任意时刻值都有定义的信号，一般用数学函数x(t)表示。 x(t)t0 “连续”指函数

2、的定义域，即时间是连续的，而信号的值域可以是不连续的。处有间断点，即不连续点连续信号的时域描述 基本的连续信号 正弦信号t0Asin(t+)A振幅角频率（rad/s)初相位（rad)两个振幅和初相位均不同的同频率正弦信号相加后，其结果仍是原频率的正弦信号若一个正弦信号的频率是另一个正弦信号频率的整数倍时，则它们的合成信号是一个非正弦周期信号，其周期就等于基波的周期正弦信号对时间的微分或积分仍然是同频率的正弦信号 正弦信号的性质：连续信号的时域描述 抽样信号：差值函数，滤波函数 -3-2-321t0Sa(t)Sa(t)是关于t的偶函数Sa(t)是一个以2为周期，且具有1/t的单调衰减幅值的振荡信

3、号除t=0外有确定的值，当t=，2，3，时，Sa(t)=0，且有罗比塔法则抽样信号的性质：连续信号的时域描述 单位阶跃信号在跃变点t = 0处，函数值未定义0u(t)1t若单位阶跃信号的跃变点在t = t0处，则称其为延时单位阶跃信号，其数学表达式为 0u(t - t0)1tt0连续信号的时域描述 单位冲激信号：狄拉克函数， 函数t0(1)(t)单位冲激信号与单位阶跃信号的关系抽样特性（筛选特性）加权特性单位冲激信号为偶函数尺度变换特性 单位冲激信号的导数单位冲激信号的特性连续信号的时域描述 复指数信号可见，复指数信号的波形随复频率s的不同取值而变化。 t0e t1=00t0Re e jt 1

4、t0Re e st 10复指数信号：派生出直流信号、实指数信号 和正旋信号。积分、求导形式不变单位冲激信号：积分派生出单位阶跃信号较为广泛的两种信号！连续信号的基本运算 信号的相加与相乘信号的微分与积分信号的时移信号的翻褶信号的尺度变换连续信号的基本运算 信号的相加与相乘 信号的相加（或相乘）是指两个信号在任意时刻函数值之和（或积）。 信号的微分与积分 信号x(t)的微分（导数）是指信号x(t)的函数值随时间变化的变化率。当信号x(t)中含有不连续点时，则x(t)在这些不连续点上出现冲激，其强度为原函数在该点处的跳变量。信号x(t)的积分是指在-到t区间内的任意时刻处，信号x(t)与时间轴所包

5、围的面积。 连续信号的基本运算 信号的时移与翻褶信号x(t)时移t0（t0 0），就是将x(t)表达式及其定义域中所有自变量t替换为tt0，从而使x(t)表达式变为x(tt0)。从信号波形上看，x(t+t0)的波形是将x(t)的波形向左移动t0时间；x(t-t0)的波形是将x(t)的波形向右移动t0时间。 信号x(t)的翻褶就是将x(t)表达式以及定义域中的所有自变量t替换为- t，从而使x(t)表达式变为x(- t)。从信号波形上看，x(- t)的波形与x(t)的波形关于纵轴t = 0呈镜像对称。翻褶信号x(- t)的时移规律与信号x(t)恰好相反。连续信号的基本运算 信号的尺度变换信号的尺

6、度变换就是将信号x(t)表达式中以及定义域中的所有自变量t替换为at，从而使x(t)表达式变为x(at) 。当a 1时，则x(at)是将x(t)的波形沿时间轴压缩至原来的1/a当0 a 1时，则x(at)是将x(t)的波形沿时间轴扩展至原来的1/a当a 0时，则x(at)是将x(t)的波形沿时间轴压缩或扩展至1/| a | t210 x(t)1t420 x(-t/2)1t-1/2-10 x(-2t)1t1/210 x(-2t+2)1t420 x(t/2)1t1/210 x(2t)1连续信号的时域分解x(t)x(0)t0连续信号的时域分解连续信号的卷积 卷积的定义 卷积的图解10tx1(t)=u

7、(t)(a) 单位阶跃信号x2(t)=e- atu(t)t01(b) 单边指数信号x2(-)01(c) 翻褶y(t)t01/a(f) 卷积值(e) 相乘并积分x1()x2(t -)01t(d) 时移x2(t -)t01连续信号的卷积 卷积的性质 交换律 结合律 分配律 微积分性质连续信号的卷积 任意信号与冲激信号的卷积上式表明，x(t)与(t-t0)的卷积，相当于将信号x(t)延时t0。 任意信号与阶跃信号的卷积上式表明，单位阶跃信号u(t)相当于积分器。 任意信号与冲激偶信号的卷积上式表明，冲激偶信号(t)相当于微分器。 本章内容提要 连续时间信号的时域分析 周期信号的频率分解 非周期信号的

8、频谱 连续时间信号的复频域分析 连续信号的相关分析 与本章内容有关的MATLAB函数周期信号的描述(a) 锯齿波-T03T02T0 x(t)tT00(b) 半波整流-T03T02T0 x(t)tT00若连续时间信号x(t)在（-，）区间，以T0为周期，周而复始地重复再现，则称信号x(t)为周期信号，其表达式是 周期（s）频率（1/s）角频率（rad/s）基频：基本周期：最小周期 基波：具有基频的时间函数谐波：具有 的时间函数周期分别为T1和T2的两个(或多个)周期信号线性叠加后，是否仍是周期信号，这主要取决于在这两个周期T1，T2之间是否有最小公倍数，即存在一个最小数T0能同时被T1和T2所整

9、除。若存在最小公倍数则有 傅里叶级数一个有趣的数学现象矩形波可看成如下各不同频率正弦波的逐个叠加物理意义：把一个比较复杂的周期运动看成是许多不同频率的简谐振动的叠加。一点历史1807年法国数学家傅里叶(J. Fourier, 1768-1830)在向法国科学院呈交一篇关于热传导问题的论文中宣布了任一函数都能够展成三角函数的无穷级数，但遭到拉格朗日(Lagrange)的强烈反对,论文从未公开露面过。1822年，他在研究热传导理论时发表了热的分析理论，提出并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数的理论基础。傅里叶生平1768年生于法国1807年提出“任何？周期信号都可用正弦函数级数

10、表示”1829年狄里赫利第一个给出收敛条件拉格朗日反对发表1822年首次发表“热的分析理论”中傅立叶的两个最主要的贡献“周期信号都可表示为成谐波关系的正弦信号的加权和”傅里叶的第一个主要论点“非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示”傅里叶的第二个主要论点傅里叶级数 狄里赫利（Dirichlet）条件 数学已经证明，周期为T0的任一周期信号分解成傅里叶级数形式，就必须在任一区间t，t + T0内，满足狄里赫利（Dirichlet）条件： 在一个周期内信号是绝对可积的，即 在一个周期内只有有限个不连续点，且在这些点处的函数值必须是有限值在一个周期内只有有限个最大值和最小值 上述条件中，条件（1）是

11、充分条件但不一定是必要的，且任一有界的周期信号都能满足这一条件；条件（2）、（3）是必要条件但不是充分的。 傅里叶级数定理 1. 组成三角级数的函数系证:同理可证 :正交 ,上的积分等于 0 .即其中任意两个不同的函数之积在上的积分不等于 0 .且有 但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在 傅里叶级数 傅里叶级数的主要形式 三角型傅里叶级数 指数型傅里叶级数 三角型傅里叶级数、指数型傅里叶级数是同一种级数的两种不同的表现形式都属于用时间函数表示的时域分析都以 为基频的周期信号，存在谐波举例：1.2.2通过以下 变 换 对 可 以 看 出 时 域 的 连 续 函 数 造 成 频 域 是 非 周

12、 期 的 频 谱 函 数 , 而 频 域 的 离 散 频 谱 就 与 时 域 的 周 期 时 间 函 数 对 应 . (频域采样，时域周期延 拓)周期（时域） 离散（频域）连续（时域） 非周期（频率）周期信号的频域分析 频域分析的概念 由于任意波形的周期信号x(t)都可以用反映信号频率特性的频谱X(n0)来描述，而X(n0)是离散频率n0的复函数，则x(t)与X(n0)之间存在着一一对应的关系，即 这种用频率函数来描述或表征任意周期信号的方法就称为周期信号的频域分析。信号的频谱与时域波形的关系频率的高低相当于波形变化的快慢，即时域波形变化越慢，则频谱中高频成分越少，衰减越快；时域波形变化越剧烈

13、，则频谱中高频分量越多 谐波幅度的大小反映了时域波形取值的大小相位的变化关系到波形在时域出现的不同时刻 周期信号的频域分析 连续周期信号频谱的特点频谱是由频率离散的非周期性谱线组成，每根谱线代表一个谐波分量，即离散性 频谱中的谱线只在基波频率的整数倍处出现，即谐波性 频谱中各谱线的幅度随着谐波次数的增加而逐渐衰减，即收敛性 (b) 相频特性0-00-20-302030(n0)n0(a) 幅频特性0-00-20-302030|X(n0)|n0周期锯齿波信号离散频谱周期连续信号频域的特点离散性谐波性收敛性：幅度随谐波次数的增加而衰减傅里叶级数的性质 线性性质 时移性质 尺度变换性质傅里叶级数的性质

14、 对称性质信号为实函数 实周期信号的幅度频谱关于n0偶对称，相位谱关于n0奇对称，即 信号为实偶函数（偶对称） 实偶周期信号的傅里叶级数展开式只含有直流分量和余弦项，但不存在正弦项 ，即信号为实奇函数（奇对称） 实奇周期信号的傅里叶级数展开式只含有正弦项，而没有直流分量和余弦项 ，即傅里叶级数的性质 对称性质半周期对称半周期偶对称（半周期重叠） 半周期偶对称信号的傅里叶级数展开式除了直流分量外，只有正弦与余弦的偶次谐波分量周期奇对称（半周期镜像） 半周期奇对称信号的傅里叶级数展开式只含有正弦与余弦的奇次谐波分量，而无直流分量与偶次谐波分量双重对称 若信号除了具有半周期镜像对称外，同时还是时间的

15、偶函数或奇函数，则前者的傅里叶级数展开式只有余弦奇次谐波分量；后者只有正弦奇次谐波分量。 它仅含有一、三、五、七. 等奇次谐波分量TT/ 20t(a)基波0T/ 2Tt(b)基波+三次谐波0T/ 2Tt(c)基波+三次谐波+五次谐波0T/ 2Tt(c)基波+三次谐波+五次谐波+七次谐波图 方波的组成（1）所取项愈多，合成波形（除间断点外）愈接近于原方波信号。（2）所取项数愈多，在间断点附近，尖峰愈靠近间断点。（3）即使 ，在间断点处尖峰仍不能与之吻合，有 的偏差。但在均方的意义上合成波形同原方波的真值之间没有区别。主体 -低频 细节-高频傅里叶级数的性质 时域微积分性质本章内容提要 连续时间信

16、号的时域分析 周期信号的频率分解 非周期信号的频谱 连续时间信号的复频域分析 连续信号的相关分析 与本章内容有关的MATLAB函数从傅里叶级数到傅里叶变换t0 x(t)At0 xT(t)AT周期信号与非周期信号的关系：傅里叶变换对频谱密度函数简称频谱函数上式表明，非周期信号可以分解成无穷多个复指数函数 之和，指数分量的振幅是一个无穷小量 。它占据了从 到 的整个频域。傅里叶正变换 傅里叶反变换 傅立叶变换存在的条件当信号 在无限区间内满足绝对可积的条件时，则它的傅立叶变换 存在，则 这是傅立叶变换存在的充分条件，而不是必要条件，因为有些不满足绝对可积条件的信号，但当引入了冲激函数 之后，就可以

17、大大地扩展傅立叶变换的范围。例题 ： 例1.3.1例1.2.2 矩形脉冲信号的频谱图 幅度谱 相位谱非周期（时域） 连续（频域）连续（时域） 非周期（频率）傅里叶变换的性质 奇偶性偶信号的频谱为偶函数，奇信号的频谱为奇函数 实信号的频谱是共轭对称函数，即其幅度频谱和实部为偶函数，相位频谱和虚部为奇函数 线性 上式表明，两个时间信号的线性组合，其频谱函数等于两个时间信号的频谱函数的线性组合。在线性时不变系统中，这个性质是显而易见的。例如：对偶性（互易性）例如：尺度变换特性(1)0 a 1 时域压缩，频域扩展a倍。 傅里叶变换的性质 时移特性 频移特性（调制特性）时域卷积定理时域内的卷积对应在频域

18、内是相乘，这个性质是傅立叶变换中最重要的性质之一，在分析LTI系统中有着重要的意义，它是滤波技术的理论基础。 频域卷积定理这个性质说明两个时间信号乘积的频谱等于各个信号的频谱函数卷积再乘以 。 一个信号乘另一个信号，可以看作是一个信号调制另一个信号的振幅，因此称为幅度调制，这个性质是通信系统中调制理论的基础。傅里叶变换的性质 微分特性 积分特性本章内容提要 连续时间信号的时域分析 周期信号的频率分解 非周期信号的频谱 连续时间信号的复频域分析 连续信号的相关分析 与本章内容有关的MATLAB函数拉普拉斯变换 从傅里叶变换到拉普拉斯变换对于多数实际因果信号，即t 0 左边信号x(t)u(-t)以

19、及x(t)u(-t+t0)的收敛域常位于左半s平面Res0 双边信号x(t)或e-a|t|的收敛域常位于左半s平面1 Res2 对于有些函数，如 等，不满足上述绝对可积的条件，其拉氏变换不存在，但这些函数在实际工程中很少遇到，因此，并不影响拉氏变换的实际意义。 拉普拉斯变换反变换 拉普拉斯变换的性质 系统函数的定义 连续信号的系统函数H(s)，又称转移函数或传递函数，可定义为在零状态条件下系统零状态响应的单边拉氏变换Y(s)与系统输入的单边拉氏变换X(s)之比，即 说明系统函数描述了连续系统的复频域特性，它仅取决于系统本身的特性，而与系统的输入无关 系统函数H(s)与单位冲激响应h(t)是一对

20、单边拉氏变换对，即系统函数H(s)与频率特性H(j)的关系系统函数本章内容提要 连续时间信号的时域分析 周期信号的频率分解 非周期信号的频谱 连续时间信号的复频域分析 连续信号的相关分析 与本章内容有关的MATLAB函数相关函数 相关函数的概念 定义 上述定义式中，x与y的次序不能颠倒，即 ，且 说明相关函数是两个信号之间时移的函数 若x(t)和y(t)不是同一信号，则Rxy()和Ryx ()为互相关函数 若x(t)和y(t)是同一信号，即x(t)=y(t) ，则Rxx ()为自相关函数，且实信号x(t)的自相关函数是时移的偶函数，即相关函数 说明若x(t)和y(t)是实信号，则若x(t)和y

21、(t)是功率有限信号，则 若x(t)和y(t) 是实信号，则将上述公式中的共轭符号*去掉相关与卷积的关系 说明卷积需要进行翻褶运算，而相关则不需要若x(t)或y(t)是实偶函数，则相关和卷积完全相同相关定理 证明 说明若y(t)是实偶函数，则相关定理和卷积定理完全相同 本章内容提要 连续时间信号的时域分析 周期信号的频率分解 非周期信号的频谱 连续时间信号的复频域分析 连续信号的相关分析 与本章内容有关的MATLAB函数连续信号分析中常用MATLAB函数 squaret= -10:0.01:10;x1=square(t);x2=0.5*(square(t,20)+1);subplot(1,2,1);stairs(t,x1);axis(-10,10,-1.1,1.2);subplot(1,2,2);stairs(t,x2);axis(-10,10,-0.1,1.2) sawtoothx1=