高中数学必修二 1 第1课时余弦定理

1、64.3余弦定理、正弦定理第1课时余弦定理考点学习目标核心素养余弦定理了解余弦定理的推导过程逻辑推理余弦定理的推论掌握余弦定理的几种变形公式及应用数学运算三角形的元素及解三角形能利用余弦定理求解三角形的边、角等问题数学运算 问题导学预习教材P42P44的内容，思考以下问题：1余弦定理的内容是什么？2余弦定理有哪些推论？1余弦定理文字语言三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍符号语言a2b2c22bccos_Ab2a2c22accos_Bc2a2b22abcos_C名师点拨余弦定理的理解(1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立. (2)结构特征：“平

2、方”“夹角”“余弦”(3)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系式，它描述了任意三角形中边与角的一种数量关系2余弦定理的推论cos Aeq f(b2c2a2,2bc)；cos Beq f(a2c2b2,2ac)；cos Ceq f(a2b2c2,2ab)名师点拨 余弦定理的推论是余弦定理的第二种形式，适用于已知三角形三边来确定三角形的角的问题用余弦定理的推论还可以根据角的余弦值的符号来判断三角形中的角是锐角还是钝角3三角形的元素与解三角形(1)三角形的元素三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素(2)解三角形已知三角形的几个元素求其他元素的过

3、程叫做解三角形 判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)在三角形中，勾股定理是余弦定理针对直角三角形的一个特例()(2)余弦定理只适用于已知三边和已知两边及夹角的情况()(3)已知三角形的三边求三个内角时，解是唯一的()(4)在ABC中，若b2c2a2，则A为锐角()(5)在ABC中，若b2c2a2，则ABC为钝角三角形()答案：(1)(2)(3)(4)(5) 在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a4，b5，ceq r(61)，则角C等于()A120B90C60 D45解析：选A.由余弦定理，得cos Ceq f(a2b2c2,2ab)eq f(4252（r(61)）2,245

4、)eq f(1,2)，所以C120，故选A. 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2c2b2eq r(3)ac，则角B等于()A.eq f(,6) B.eq f(,3)C.eq f(,6)或eq f(5,6) D.eq f(,3)或eq f(2,3)解析：选A.由余弦定理知a2c2b22accos B，因为a2c2b2eq r(3)ac，所以cos Beq f(r(3),2)，故Beq f(,6). 已知在ABC中，a1，b2，C60，则c_解析：由余弦定理，得c21222212cos 603，所以ceq r(3).答案：eq r(3)已知两边及一角解三角形(1)(2018高考

5、全国卷)在ABC中，coseq f(C,2)eq f(r(5),5)，BC1，AC5，则AB()A4eq r(2)B.eq r(30)C.eq r(29) D2eq r(5)(2)已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，aeq r(5)，c2，cos Aeq f(2,3)，则b()A.eq r(2) B.eq r(3)C2 D3【解析】(1)因为cos C2cos2 eq f(C,2)12eq f(1,5)1eq f(3,5)，所以由余弦定理，得AB2AC2BC22ACBCcos C251251eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,5)32，所以AB4eq r(2)，故选

6、A.(2)由余弦定理得522b222bcos A，因为cos Aeq f(2,3)，所以3b28b30，所以b3eq blc(rc)(avs4alco1(bf(1,3)舍去).故选D.【答案】(1)A(2)D变条件将本例(2)中的条件“aeq r(5)，c2，cos Aeq f(2,3)”改为“a2，c2eq r(3)，cos Aeq f(r(3),2)”，求b为何值？解：由余弦定理得：a2b2c22bccos A，所以22b2(2eq r(3)22b2eq r(3)eq f(r(3),2)，即b26b80，解得b2或b4.eq avs4al()解决“已知两边及一角”解三角问题的步骤(1)用余

7、弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边长(2)再用余弦定理和三角形内角和定理求出其他两角 在ABC中，a2eq r(3)，ceq r(6)eq r(2)，B45，解这个三角形解：根据余弦定理得，b2a2c22accos B(2eq r(3)2(eq r(6)eq r(2)222eq r(3)(eq r(6)eq r(2)cos 458，所以b2eq r(2).又因为cos Aeq f(b2c2a2,2bc)eq f(8（r(6)r(2)）2（2r(3)）2,22r(2)（r(6)r(2)）)eq f(1,2)，所以A60，C180(AB)75.已知三边(三边关系)解三

8、角形(1)在ABC中，已知a3，b5，ceq r(19)，则最大角与最小角的和为()A90 B120C135 D150(2)在ABC中，若(ac)(ac)b(bc)，则A等于()A90 B60C120 D150【解析】(1)在ABC中，因为a3，b5，ceq r(19)，所以最大角为B，最小角为A，所以cos Ceq f(a2b2c2,2ab)eq f(92519,235)eq f(1,2)，所以C60，所以AB120，所以ABC中的最大角与最小角的和为120.故选B.(2)因为(ac)(ac)b(bc)，所以b2c2a2bc，所以cos Aeq f(b2c2a2,2bc)eq f(1,2).

9、因为A(0，180)，所以A60.【答案】(1)B(2)Beq avs4al()已知三角形的三边解三角形的方法先利用余弦定理的推论求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利用余弦定理的推论求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角注意若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k，从而转化为已知三边求解 1(2019福建师大附中期末考试)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2b2c2eq r(2)ac，则角B的大小是()A45 B60C90 D135解析：选A.由已知得a2c2b2eq r(2)ac，所以cos Beq f(a2c2b2,2ac)eq f(r(2)

10、ac,2ac)eq f(r(2),2).又0B180，所以B45.2在ABC中，若abc2eq r(6)(eq r(3)1)，求ABC的最大内角的余弦值解：因为abc2eq r(6)(eq r(3)1)，不妨设a2k，beq r(6)k，c(eq r(3)1)k，显然abc.所以ABC的最大内角为C，则cos Ceq f(a2b2c2,2ab)eq f(4k26k2（r(3)1）2k2,4r(6)k2)eq f(46（r(3)1）2,4r(6)eq f(62r(3),4r(6)eq f(r(6)r(2),4).判断三角形的形状在ABC中，若b2sin2Cc2sin2B2bccos Bcos C

11、，试判断ABC的形状【解】将已知等式变形为b2(1cos2C)c2(1cos2B)2bccos Bcos C.由余弦定理并整理，得b2c2b2eq blc(rc)(avs4alco1(f(a2b2c2,2ab)eq sup12(2)c2eq blc(rc)(avs4alco1(f(a2c2b2,2ac)eq sup12(2)2bceq f(a2c2b2,2ac)eq f(a2b2c2,2ab)，所以b2c2eq f(（a2b2c2）（a2c2b2）2,4a2)eq f(4a4,4a2)a2.所以A90.所以ABC是直角三角形eq avs4al()(1)利用余弦定理判断三角形形状的两种途径化边的

12、关系：将条件中的角的关系，利用余弦定理化为边的关系，再变形条件判断化角的关系：将条件转化为角与角之间的关系，通过三角变换得出关系进行判断(2)判断三角形时经常用到以下结论ABC为直角三角形a2b2c2或c2a2b2或b2a2c2.ABC为锐角三角形a2b2c2，且b2c2a2，且c2a2b2.ABC为钝角三角形a2b2c2或b2c2a2或c2a2b2.若sin 2Asin 2B，则AB或ABeq f(,2). 1在ABC中，A60，a2bc，则ABC一定是()A锐角三角形 B钝角三角形C直角三角形 D等边三角形解析：选D.在ABC中，因为A60，a2bc，所以由余弦定理可得a2b2c22bcc

13、os Ab2c2bc，所以bcb2c2bc，即(bc)20，所以bc，结合A60可得ABC一定是等边三角形故选D.2已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos Cccos Basin A，则ABC的形状是()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D不确定解析：选B.因为bcos Cccos Basin A，所以由余弦定理得beq f(a2b2c2,2ab)ceq f(a2c2b2,2ac)asin A，整理，得aasin A，所以sin A1.又A(0，)，所以Aeq f(,2).故ABC为直角三角形1在ABC中，已知a5，b7，c8，则AC()A90B120C135 D

14、150解析：选B.cos Beq f(a2c2b2,2ac)eq f(256449,258)eq f(1,2).所以B60，所以AC120.2在ABC中，已知(abc)(bca)3bc，则角A等于()A30 B60C120 D150解析：选B.因为(bc)2a2b2c22bca23bc，所以b2c2a2bc，所以cos Aeq f(b2c2a2,2bc)eq f(1,2)，所以A60.3若ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(ab)2c24，且C60，则ab_解析：因为C60，所以c2a2b22abcos 60，即c2a2b2ab.又因为(ab)2c24，所以c2a2b22ab4.由知

15、ab2ab4，所以abeq f(4,3).答案：eq f(4,3)4在ABC中，acos Abcos Bccos C，试判断ABC的形状解：由余弦定理知cos Aeq f(b2c2a2,2bc)，cos Beq f(c2a2b2,2ca)，cos Ceq f(a2b2c2,2ab)，代入已知条件得aeq f(b2c2a2,2bc)beq f(c2a2b2,2ca)ceq f(c2a2b2,2ab)0，通分得a2(b2c2a2)b2(a2c2b2)c2(c2a2b2)0，展开整理得(a2b2)2c4.所以a2b2c2，即a2b2c2或b2a2c2.根据勾股定理知ABC是直角三角形A基础达标1(2

16、019合肥调研)在ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，C60，a4b，ceq r(13)，则b()A1B2C3 D.eq r(13)解析：选A.由余弦定理知(eq r(13)2a2b22abcos 60，因为a4b，所以1316b2b224bbeq f(1,2)，解得b1，故选A.2已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若23cos2Acos 2A0，a7，c6，则b()A10 B9C8 D5解析：选D.由23cos2Acos 2A0得23cos2A2cos2A10，解得cos Aeq f(1,5).因为A是锐角，所以cos Aeq f(1,5).又因为a2b

17、2c22bccos A，所以49b2362b6eq f(1,5).解得b5或beq f(13,5).又因为b0，所以b5.3在ABC中，若a8，b7，cos Ceq f(13,14)，则最大角的余弦值是()Aeq f(1,5) Beq f(1,6)Ceq f(1,7) Deq f(1,8)解析：选C.由余弦定理，得c2a2b22abcos C8272287eq f(13,14)9，所以c3，故a最大，所以最大角的余弦值为cos Aeq f(b2c2a2,2bc)eq f(723282,273)eq f(1,7).4(2019江苏苏州部分重点中学高三(上)期中考试)在ABC中，AB3，BCeq

18、r(13)，AC4，则AC边上的高为()A.eq f(3r(2),2) B.eq f(3r(3),2)C.eq f(3,2) D3eq r(3)解析：选B.由BC2AB2AC22ABACcos A，可得13916234cos A，得cos A eq f(1,2).因为A为ABC的内角，所以Aeq f(,3)，所以AC边上的高为ABsin A3eq f(r(3),2)eq f(3r(3),2).5在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos2eq f(A,2)eq f(bc,2c)，则ABC是()A直角三角形 B锐角三角形C等边三角形 D等腰直角三角形解析：选A.在ABC中，因为co

19、s2eq f(A,2)eq f(bc,2c)，所以eq f(1cos A,2)eq f(b,2c)eq f(1,2)，所以cos Aeq f(b,c).由余弦定理，知eq f(b2c2a2,2bc)eq f(b,c)，所以b2c2a22b2，即a2b2c2，所以ABC是直角三角形6已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c满足b2ac，且c2a，则cos B_解析：因为b2ac，且c2a，所以cos Beq f(a2c2b2,2ac)eq f(a24a22a2,2a2a)eq f(3,4).答案：eq f(3,4)7在ABC中，边a，b的长是方程x25x20的两个根，C60

20、，则c_解析：由题意，得ab5，ab2.所以c2a2b22abcos Ca2b2ab(ab)23ab523219，所以ceq r(19).答案：eq r(19)8在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且a3，b4，c6，则bccos Aaccos Babcos C的值是_解析：bccos Aaccos Babcos Ceq f(b2c2a2,2)eq f(a2c2b2,2)eq f(a2b2c2,2)eq f(a2b2c2,2).因为a3，b4，c6，所以bccos Aaccos Babcos Ceq f(1,2)(324262)eq f(61,2).答案：eq f(61,2)9在AB

21、C中，AC2B，ac8，ac15，求b.解：在ABC中，因为AC2B，ABC180，所以B60.由余弦定理，得b2a2c22accos B(ac)22ac2accos B82215215eq f(1,2)19.所以beq r(19).10在ABC中，已知BC7，AC8，AB9，试求AC边上的中线长解：由余弦定理的推论得：cos Aeq f(AB2AC2BC2,2ABAC)eq f(928272,298)eq f(2,3)，设所求的中线长为x，由余弦定理知：x2eq blc(rc)(avs4alco1(f(AC,2)eq sup12(2)AB22eq f(AC,2)ABcos A4292249e

22、q f(2,3)49，则x7.所以所求中线长为7.B能力提升11在ABC中，AB5，BC7，AC8，则eq o(AB,sup6()eq o(BC,sup6()的值为()A79 B69C5 D5解析：选D.由余弦定理得：cosABCeq f(AB2BC2AC2,2ABBC)eq f(527282,257)eq f(1,7).因为向量eq o(AB,sup6()与eq o(BC,sup6()的夹角为180ABC，所以eq o(AB,sup6()eq o(BC,sup6()|eq o(AB,sup6()|eq o(BC,sup6()|cos(180ABC)57eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,7)5.12已知锐角三角形的边长分别为1，3，a，则a的取值范围是()A(8，10) B(2eq r(2)，eq r(10)C(2eq r(2)，10) D(eq r(10)，8)解析：选B.只需让边长为3和a的边所对的角均为锐角即可故eq blc(avs4alco1(f(1232a2,213)0，,f(a21232,2a1)0，,13a，,1a3，)解