高考数学二模试题徐汇二模理科试卷与详解

1、2014学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷高三数学（理科）2015.04一、填空题（满分56分）1、已知会集A1,2,1，会集Byyx2,xA，则AIB2【答案】1【分析】x1,2,1，则y1,4,1，因此AIB1242、若复数z12i（i为虚数单位），则zzz【答案】62i2【分析】zzzzz62ir3、已知直线l的一个法向量是n1,3，则此直线的倾斜角的大小是【答案】6【分析】由题意知斜率k3，因此倾斜角为634、某中学采纳系统抽样的方法从该校高一年级全体800名学生中抽取50名学生进行体能测试。现将800名学生从1到800进行编号，求得间隔数k80016。若从116中随机抽取1个数的结果是

2、抽到了7，50则在编号为3348的这16个学生中抽取的一名学生的编号应该是【答案】39【分析】各组所抽取学生的编号构成一个等差数列，首项为7，公差为16。因此第三组中抽取的学生编号为：7216395、在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a3，c2，A，则ABC的面积为3【答案】32【分析】由a2b2c22bccosA3b244b1b22b10b1，因此SABC1bcsinA32226、设函数fxlog22x1，则不等式2fxf1log25的解为【答案】,02015届徐汇高三数学二模（理）第1页共10页（市二.四点木编写）【分析】易知f1log252，因此2fx2fx12x12x

3、07、直线yx与曲线C:x3cos（为参数，2）的交点坐标是y4sin【答案】12,1255【分析】由已知4sin3costan3，则sin3，cos4，因此交点坐标分别为12,12455558、甲、乙两人各进行一次射击，假设两人击中目标的概率分别是0.6和0.7，且射击结果互相独立，则甲、乙至多一人击中目标的概率是开始【答案】0.58【分析】“至多一人击中目标”等价于“两个都未中，只有1人击中”因此P10.610.70.610.70.710.6否是0.40.30.60.30.70.40.120.180.280.58输出1aaLa12131n结束2a22a23La2n9、矩阵3a32a33La

4、3n中每一行都构成公比为2的等比数列，第MMMMM第11题nan2an3Lanni列各元素之和为Si，则limSn（2011届长宁二模理科12题）2nnn2【答案】14【分析】akik2i1，因此Sna1na2nLann12Ln2n1nn12n12因此limSnlimnn1n11limnn1112n22n2nn2n2n2n4n410、以以下图：在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBC，ABBCBB1，则平面A11与平面ABC所成的BC二面角的大小为【答案】4【分析】平面1与平面ABC所成的二面角即为“平面11与A1BCABC平面ABC1所成的二面角”，CB1C1。11414第10题11、执行以

5、以下图的程序框图，输出的结果为a，二项式2mxx的睁开式中x3项的系数为a，则常数m22015届徐汇高三数学二模（理）第2页共10页（市二.四点木编写）【答案】14【分析】由于i1a1i2a2i3a3。则周期为3。计数2013次，被3整除，因此234r1rr5r输出的结果为3，即a3。Tr1C4rmx2，令82r35r2。则x22C42231mm2412、设fx是定义域为R的奇函数，gx是定义域为R的偶函数，若函数fxgx的值域为1,3，则函数fxgx的值域是【答案】3,1【分析】设Fxfxgx，则Fxfxgxfxgxfxgx。由于Fx值域为1,3，则Fx值域也为1,3，则fxgx的值域是3,

6、113、ABC所在平面上一点满足uuuruuuruuur0，m为常数），若ABP的面积为6，则ABC的PAPCmAB（m面积为【答案】12uuuruuuruuuruuur【分析】令A、C的中点为D，则PAPC2PDmAB，即PD与AB平行。因此ABC的面积为12。14、关于曲线C所在平面上的定点P0，若存在以点P0为极点的角第13题，使得AP0B关于曲线C上的任意两个不一样的点A、B恒建立，则称角为曲线C相关于点P0的“界C相关于点P0的“确界角”。曲线C:yx21x0角”，并称此中最小的“界角”为曲线21x2x相关于坐0标原点O的“确界角”的大小是【答案】512【分析】当OA与圆相切时，则P

7、OA，则“确界角”的大小6564122015届徐汇高三数学二模（理）第3页共10页（市二.四点木编写）二、选择题（满分20分）15、以下不等式中，与不等式x30同解的是（）2xA.x32x0B.x32x0C.2x0D.3xx3x02【答案】D.16、设M、N为两个随机事件，假如M、N为互斥事件，那么()A.MUN是必然事件B.MUN是必然事件C.M与N必定为互斥事件D.M与N必定不为互斥事件【答案】A【分析】MUNU17、在极坐标系中，与曲线cos1关于直线6R对称的曲线的极坐标方程是（）A.sin1B.sin1C.sin1D.sin61336【答案】C【分析】设曲线上的点P,，其关于直线6R

8、对称的点P,，代入cos1，获取3cos1，也许sin61318、已知函数fxx2sinx，各项均不相等的数列xn满足xii1,2,3,L,n。令2Fnx1x2Lxnfx1fx2LfxnnN。给出以下三个命题：n（1）存在许多于3项的数列xn，使得Fn0；（2）若数列xn的通项公式为xn1N，则n2F2k0对kN恒建立；（3）若数列xn是等差数列，则Fn0对nN恒建立此中真命题的序号是（）A.（1）（2）B.（1）（3）C.（2）（3）D.（1）（2）（3）【答案】D【分析】易知fxx2sinx在,内单调递加且为奇函数。22则（1）正确；关于（2），F2kx1x2Lx2kfx1fx2Lfx2k

9、12k12112kx1x2Lx2k2101311222015届徐汇高三数学二模（理）第4页共10页（市二.四点木编写）1122k12kfx1fx2Lfx2kffLf1f122222k12k2k12k2k2k12k2k1f1f1f1f1，由于11，则f1f1，所2222222212k12k1以ff0，因此fx1fx2Lfx2k022由得F2k0对kN恒建立。关于（3），假如x1x2Lxn0fx1fx2Lfxn0；假如x1x2Lxn0fx1fx2Lfxn0（这条性质易证）。因此Fn0对nN恒建立三、解答题（满分74分）19、（12分，第1小题6分，第2小题6分）如图，在RtAOB中，OAB，斜边A

10、B4，D是AB的中点。现将RtAOB以直角边AO为轴旋转6一周获取一个圆锥，点C为圆锥底面圆周上的一点，且BOC21）求该圆锥的全面积；2）求异面直线AO与CD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）【分析】（1）由已知得：OB2，AO23，因此圆锥的全面积SOBABOB212（2）解法1：取OB中点E，连接DE、CE则CDE或其补角为所求异面直线AO与CD所成角。在RtCDE中，DE13AO2在RtCOE中，CEOE2OC25因此tanCDECE515，即CDEarctan15DE333解法2：以OC、OB、OA分别为x、y、z轴建系。2015届徐汇高三数学二模（理）第5页共10页（市二.四点

11、木编写）20、（14分，第1小题7分，第2小题7分）一个随机变量的概率分布律以下：x1x2Pcos2AsinBC此中A、B、C为锐角ABC的三个内角（1）求A的值；（2）若x1cosB，x2sinC，求数学希望E的取值范围【分析】（1）由题意知cos2AsinBC1，则12sin2AsinA1sinA1（sinA0舍）2又A为锐角，则A6（2）由A，得BC5，则cos2AsinBC1，即PxPx1662122则E1cosB1sinC1cos5C1sinC3sinC3cosC3sinC622262442C0,由ABC为锐角三角形，得2C,C,56BC0,326362则sinC1,3，得E3,36

12、224421、（14分，第1小题6分，第2小题8分）用细钢管焊接而成的花坛围栏构件如右图所示，它的外框是一个等腰梯形PQRS，内部是一段抛物线和一根横梁，抛物线的极点与梯形上底中点是焊接点O，梯形的腰紧靠在抛物线上，两条腰的中点时梯形的腰、抛物线以及横梁的焊接点A、B，抛物线于梯形下底的两个焊接点为C、D。已知梯形的高是40厘米，C、D两点间的距离为40厘米1）求横梁AB的长度；2）求梯形外框的用料长度。（注：细钢管的粗细等要素忽视不计，计算结果精确到1厘米）【分析】（1）如图，以O为原点，梯形的上底所在直线为x轴，建立直角坐标系。设梯形的下底与y轴交于点M，抛物线的方程为2015届徐汇高三数

13、学二模（理）第6页共10页（市二.四点木编写）x22pyp0（*）由题意得D20,40，代入(*)得p52则抛物线方程为x10y取y20，代入得x102，即A102,20B102,20。因此AB20228cm答：横梁AB的长度约为28cm2）由题意，得梯形腰的中点时梯形的腰与抛物线的独一公共点设lRQ:y20kx102k0y20kx102210kx10022k0，则x2x，则10y0k22，因此lRQ:y22x20。得Q52,0，R152,40，则OQ52，MR152，RQ302，因此梯形周长为1002141cm答：制作梯形外框的用料长度约为141cm22、（16分，第1小题4分，第2小题6分

14、，第3小题6分）已知函数fx1x1，gx1x12x2x（1）求函数hxfx2gx的零点；（2）若直线l:axbyc0（a,b,c为常数）与fx的图像交于不一样的两点A,B，与gx的图像交于不同的两点C、D，求证：ACBD；（3）求函数Fxfx2ngx2nnN的最小值【分析】（1）由hx1x1x13x10 x3，则函数hx的零点为x3；2xx22x33（2）设Ax1,y1，Bx2,y2，Cx3,y3，Dx4,y4axbyc02abx22cxb0，则12c由2y1x1xx2ab2x2015届徐汇高三数学二模（理）第7页共10页（市二.四点木编写）axbyc02c再由112abx22cxb0，则xx

15、y342ab2xx则AB中点与CD中点重合，即ACBD2n2n（3）由题设Fx1x1x112C21nx2n22C2n3x2n6L2C2n2n3x62n2C22nn1x22n22nxx22n1C1x2n2x22nC3x2n6x62nLC2n3x62nx2n6C2n1x22nx2n222n2n2n2n2n113L2n32n11，当且仅当x1时，等号建立。2n2C2n2C2n2C2n2C2n2因此函数Fx的最小值为123、（18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）uuruuruuruuruuruuruuruuruur关于一组向量a1，a2，a3，an（nN），令Sna1a2Lan，假如存在

16、app1,2,3,L,n，uuruuruuruurh向量”。使得apSnap，那么称ap是该向量组的“uuruuruuruuruur（1）设ann,xnnN，若a3是向量组a1，a2，a3的“h向量”，务实数x的取值范围；uur1n1nuuruuruuruur,1NN）能否存在“h向量”？给出（2）若an3n，向量组a1，a2，a3，an（n结论并说明原由；uuruuruuruuruuruuruuruur（3）已知a1，a2，a3均是向量组a1，a2，a3的“h向量”，此中a1sinx,cosx，a22cosx,2sinx。设在平面直角坐标系中有一点列uur的地址向量的终点，且Q1、Q2、Q3

17、、L、Qn满足：Q1为坐标原点，Q2为a3Q2k1与Q2k与Q2k1kuuuuuuuuuur的最小值关于点Q1对称，Q2k2N关于点Q2对称，求Q2013Q2014【分析】（1）由题意得：uuruuruur，则9x292x322x0a3a1a23，解得uuur1131313（2）当n2kkN32k,01；时，则S2k,012k，则lim2k21123k233uuuuur11313131当n2k32k，则lim1kN时，则S2k11,1212k1,1212k123k3132015届徐汇高三数学二模（理）第8页共10页（市二.四点木编写）uur3,0uur3,1由知，Sn或Sn22将相关向量的图示

18、作出（如右图）uuruuruur由apSnap的几何意义可以知道：uuruurap的终点应该在S对应的有向线段的n中垂线的异于起点的一侧。uuuruuuuur在图示中，m、n分别是S2k与S2k1对应有向线段的中垂线。uuruuruuruuruuruur（nN）的“h向量”明显，只有a1满足这个条件。下边证明a1是向量组a1，a2，a3，anuuruura11,1，a21当n2k1时，S2k1a1311,11,13111,0，则22k122k133S2k1a13111131（关于k的增函数），则S2ka11uur222k1222k112a133当n2k时，S2ka1311,01,13111,1，则22k22k333121312（此中13113111S2k2111，a122k222k12232k关于k的增函数），22k,233233210,510,5，则S2k1uur因此S2k1a1S2k1a1a1a129432uuruuruuruuruurN）的“h向量”。综上所述，a1是向量组a1，a2，a3，an（n（3）由题意知：uuruuruuruur2uuruur2uur2uuruur2ur2uur2uur2uuruura1a2a3a1a2a3，即a1a2a3a1a2a32a2a3uur2uur2uur2uuruuruur2uur2uur2uuruur同理a2a1a32a1a3，