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文档简介

1、8.3 Laplace 逆变换28.2.1 线性性质 8.2.2 相似性质 （1）原像微分性质 （2）象函数的微分性质： 8.2.3 微分性 38.2.4 积分性质（1）象原函数的积分性质 一般地（2）象函数的积分性质 8.2.5 位移性质 设 则 8.2.6 延迟性质 设 若当 时, 则对任何非负实数t , 有 5 6810已知在收敛域内解析, 但并不是所有解析函数都是某一函数的Laplace变换 像函数. 另外，函数 的Laplace变换实际上就是 的Fourier变换. 因此, 当 满足Fourier积分定理的条件时, 根据Fourier积分 11公式, 在连续点处 在等式两端同乘以 故

2、当t0时, 12令则其中是的增长指数. 积分路径是在右半平面 上的任意一条直线 这就是Laplace逆变换的一般公式, 称为Laplace 变换的反演积分. 这是复变函数的积分, 在一定条件下, 可利用留数来计算. 13定理8.3设 是 的所有孤立奇点(有限个)， 除这些点外, 处处解析, 且利用留数求Laplace逆变换的公式且他们全部位于直线Re(s)=b(0)的左侧，且当即14例求 的Laplace逆变换. 解法1和分别是 的1级和3级极点， 故由计算留数的法则 1516解法2可分解为形如 可以求得因为 所以 178.4 拉氏变换的卷积与卷积定理 则可以证明卷积(1)上的卷积定义 若函数

3、满足, 时都为零,称为函数在 上的卷积.18解例 对函数计算 的卷积 192. 卷积定理 假定 ， 满足拉氏变换存在定理中的条件，且 ，则 的拉氏变换一定存在，且或20推论若 满足拉氏变换存在定理中的条件，且 ，则有 在拉氏变换的应用中，卷积定理起着十分重要的作用。下面举例说明它在求函数的逆变换中的应用。 21例 若 求 令 则故根据 有 ，22例 求 因为 故由 ，23 例 设 ，求f(t)。 解：根据位移性质， 所以2425例1 求方程 的解。满足初始条件解: 设Ly(t)=Y(s)。在方程两边取拉氏变换，并 考虑到初始条件，得这是含未知量Y(s)的代数方程，整理后解出Y(s)，得所求函数的拉氏变换8.5.1 解常系数常微分方程26取它的逆变换便可以得出所求函数y(t)。 取逆变换得到所求微分方程的解 27例1 求方程组 满足初始条件 的解。解 设Ly(t)=Y(s),Lx(t)=X(s)，对方程组两个 方程两边取拉氏变换，并考虑到初始条件得 8.5.2. 解常系数线性微分方程组28整理化简后得解这个方程组得 29由于 因此所求方程组的解为 由以上例子可以看出：在解微分方程的过程中

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