4.3 指数函数与对数函数的关系教学设计

1、高中数学B版4.3 指数函数与对数函数的关系教学设计教学课时：第1课时教学目标：1、知道对数函数y=logax与指数函数y=ax互为反函数（a0，且a1）；能够运用反函数的概念，判断函数是否存在反函数，并能够写出某些函数的反函数；能够结合实例，知道互为反函数的图像关于直线y=x对称；2、通过反函数概念的引入，使学生经历从具体到一般的抽象过程，并促使学生进一步理解基于对应关系的函数概念；3、通过问题引导，鼓励学生积极思考，使学生逐渐加深对反函数概念的理解，体会互为反函数的两个函数之间的联系，提升学生的数学思维。教学重点：反函数的概念及互为反函数的两个函数间的联系。教学难点：反函数的概念。教学过程

2、：一、提出问题【问题1】在指数函数y=2x中，x为自变量，y为因变量. 如果把y当成自变量，x当成因变量，那么x是y的函数吗？请说明理由。预设答案：x是y的函数。因为y=2x是R上的单调递增函数，结合图像，过y轴正半轴上任意一点作x轴的平行线，与y=2x的图像有且只有一个交点，也就是说，对任意一个y(0，+ )，在R中都有唯一确定的x和它对应，所以x是y的函数.建议：如果学生不能顺利回答，可带着学生回顾函数的概念。【问题2】x与y之间构成了一种新的对应关系，那么这个对应关系是什么？预设答案：根据指数与对数的关系，由指数式y=2x可得到对数式x=log2y。【设计意图】从具体函数入手，使学生直观

3、理解 可以是 的函数，打破学生的固有观念，引起学生的兴趣和思考，加深对函数概念的理解，为下面反函数概念的提出作出了铺垫。二、把握概念（一）第一阶段明确反函数的概念我们说，x=log2y(y(0，+ )是y=2x(xR)的反函数。一般地，如果在函数y=f(x)中，给定值域中任意一个y的值，只有唯一的x与之对应，那么x是y的函数，这个函数称为y=f(x)的反函数。此时，称y=f(x)存在反函数。【问题3】是否任何一个函数都存在反函数？如果不是，请举出不存在反函数的一个函数。预设答案：y=x2。【问题4】如果函数y=f(x)存在反函数，那么y=f(x)的自变量和因变量之间应该具有什么关系？预设答案：

4、任意一个x的值，只有唯一的y与之对应（对应y是x的函数）；任意一个y的值，只有唯一的x与之对应（对应x是y的函数）。建议：老师可以结合图像进一步帮助学生理解，“任何一条与轴平行的直线与函数的图像至多有一个交点时，则函数就有反函数；若它们的交点个数多于一个时，这个函数就没有反函数”。【问题5】单调函数一定存在反函数吗？在定义域上不单调的函数一定没有反函数吗？预设答案：单调函数一定存在反函数，符合前面问题中自变量与因变量的关系；在定义域上不单调的函数也可以存在反函数，比如f(x)=1/x。【设计意图】通过以上的三个问题，使学生对反函数概念的内涵和外延有了一定的认识。（二）第二阶段反函数的表示以及求

5、反函数的一般步骤y=2x和x=logay其实是x与y之间对应关系的两种不同的表达方式，它们实质上是一样的。比如，当x=2时，不管用哪个表达式都可以得到y=4。但是x与y的地位发生了变化，y是x 的指数函数，x是y的对数函数。如果按照习惯，我们把函数的自变量用x表示，因变量用y表示，那么指数函数y=2x(xR)的反函数x=logay(y(0，+ )就变成了y=logax(x(0，+ )。所以，求y=2x的反函数可以先对调x与y，得到x=2y，再解出y=log2x。一般地，函数y=f(x)的反函数记作y=f-1(x)。因此，以后在求函数y=f(x)的反函数时，可以这样操作：第一步，对调y=f(x)

6、中的x与y，得到x=f(y)；第二步，从x=f(y)中求出y得到。【问题6】如果函数y=f(x)存在反函数y=f-1(x)，那么y=f-1(x)存在反函数吗？如果存在，反函数是什么？预设答案：因为对于y=f(x)，每一个x都有唯一的y与之对应，所以对于y=f-1(x)，一定满足每一个y都有唯一的x与之对应，所以y=f-1(x)存在反函数，其反函数就是y=f(x)。结论：y=f(x)与y=f-1(x)互为反函数，也就是一个函数的反函数的反函数就是这个函数。【问题7】分别判断下列函数是否存在反函数，如果不存在，说明理由；如果存在，写出反函数. （1） x 1 2 3 4 5 f(x) 0 0 1

7、3 5 （2） x 1 2 3 4 5 g(x) -1 0 1 -2 5 （3） f(x)=2x+2 解： （1）因为f(x)=0时，x=1或x=2，即对应的x不唯一，因此y=f(x)的反函数不存在。 （2）因为对g(x)的值域-1,0，1，-2,5中的任意一个值，都只有唯一的x与之对应，因此g(x)的反函数g-1(x)存在，表示如下： x -1 0 1 -2 5 g-1(x) 1 2 3 4 5（3）因为f(x)=2x+2是增函数，因此对值域中的任意一个值，都只有唯一的x与之对应，因此f(x)存在反函数。 令y=2x+2，对调其中的x和y，得到x=2y+2。 解得y=1/2x-1。 因此f(

8、x)=2x+2的反函数f-1(x)1/2x-1。 【设计意图】让学生学会用反函数的概念来判断一个函数是否存在反函数，再一次明确函数具有单调性与存在反函数之间的联系，掌握求反函数的一般步骤，并熟悉函数的表示法之一列表法。（三）第三阶段互为反函数的两个函数之间的联系【问题8】填写下表：如果将y=2x和y=log2x的图像放在一个平面直角坐标系中，我们会看得更清楚，它们的图像关于直线y=x对称。如下图所示：再来看问题8中f(x)=2x+2与反函数f-1(x)的图像，它们关于直线y=x对称。【问题9】互为反函数的两个函数之间有什么联系？可从图像和性质两个角度来描述。预设答案：1. y=f(x)的定义域

9、与y=f-1(x)的值域相同；2. y=f(x)的值域与y=f-1(x)的定义域相同；3. y=f(x)是增（减）函数，则y=f-1(x)也是增（减）函数；4. y=f(x)与y=f-1(x)的图像关于直线y=x对称。【问题10】（此问题可根据教学实际情况提出）设f(x)=2x+1/4x+3，则f-1(2)=_；已知函数y=f(x)的反函数y=f-1(x)=x-1(x0)，那么函数y=f(x)的定义域是_。预设答案： f-1(2)即为f(x)=2时x的值，令2x+1/4x+3=2，解得x=-5/6，所以f-1(2)=-5/6。函数y=f(x)的定义域就是反函数的值域，由y=x-1(x0)，可得

10、y-1，所以函数y=f(x)的定义域是-1，+ )。【设计意图】以上三个问题，使学生再次经历从具体到一般的抽象过程，并借助于图像，直观感受互为反函数的两个函数之间的联系，在解决问题的过程中能够灵活运用这种联系，提升学生对知识的认知能力。我们知道，数学概念是一种数学的思维形式。正确理解并灵活运用数学概念，是掌握数学基础知识和运算技能、发展逻辑论证和空间想象力的前提。数学技能教学的背后是对概念本质的准确把握。所以，以上分了三个阶段来认识反函数的概念，逐层递进。三、巩固练习1.（课本第32页习题4-3A第2题）求函数y=log6x的反函数。参考答案：y=6x，xR。2.（课本第32页习题4-3A第3

11、题）如果点(1,2)在函数y=f(x)的图像上，且y=f(x)的反函数存在，指出这个函数的反函数一定过哪个点？参考答案：点(2,1)。思考：如果把点(1,2)改成(a,b)，那么结论是什么？用符号如何表示上述的条件和结论？（若f(a)=b，则f-1(b)=a）老师可进一步再问：f(f-1(b)=_，f-1(f(a)=_。3.（课本第32页习题4-3B第3题）判断下列函数是否存在反函数？（1）y=1/x+2-1；（2）y=x2+2x。参考答案：（1）函数y=1/x+2-1存在反函数。【解析】函数y=1/x+2-1的值域是y|y-1，对每一个不为-1的函数值y，都只有唯一的一个x=1/y+1-2与之对应.（2）函数y=x2+2x不存在反函数.【解析】当y=0时，x=0或x=-2，即对应的x不唯一。4.（课本第32页习题4-3B第5题）指出函数y=1/2ex的图像与函数y=ln(2x)的图像之间的关系。参考答案：关于直线y=x对称。【解析】