初中数学经典相似三角形练习题附参考答案

1、经典练习题相像三角形（附答案）一解答题（共 30 小题）1如图,在 ABC 中,DE BC,EF AB,求证： ADE EFC2如图,梯形ABCD中,AB CD,点 F 在 BC上,连 DF与 AB的延长线交于点G（1）求证： CDF BGF；（2）当点 F 是 BC的中点时,过 F 作 EF CD交 AD于点 E,如 AB=6cm,EF=4cm,求 CD的长3如图,点 D,E在 BC上,且 FD AB,FE AC求证： ABC FDE4如图,已知 E 是矩形 ABCD的边 CD上一点, BFAE 于 F,试说明： ABF EAD5已知：如图所示,在ABC 和 ADE中,AB=AC,AD=AE

2、,BAC=DAE,且点 B,A,D在一条直线上,连接 BE, CD,M, N分别为 BE,CD的中点（1）求证： BE=CD； AMN 是等腰三角形；（2）在图的基础上, 将 ADE绕点 A 按顺时针方向旋转180 ,其他条件不变, 得到图所示的图形请直接写出（ 1）中的两个结论是否仍旧成立；（3）在（ 2）的条件下,请你在图中延长ED交线段 BC于点 P求证： PBD AMN6如图, E 是.ABCD的边 BA延长线上一点,连接 EC,交 AD于点 F在不添加帮助线的情形下,请你写出图中全部的相像三角形,并任选一对相像三角形赐予证明7如图,在 4 3 的正方形方格中,ABC 和 DEF的顶点

3、都在边长为 1 的小正方形的顶点上（1）填空： ABC= _ , BC= _ ；（2）判定 ABC 与 DEC是否相像,并证明你的结论8如图,已知矩形 ABCD的边长 AB=3cm,BC=6cm某一时刻,动点 M从 A 点动身沿 AB方向以 1cm/s 的速度向 B 点匀速运动；同时,动点 N从 D点动身沿 DA方向以 2cm/s 的速度向 A点匀速运动,问：（1）经过多少时间,AMN 的面积等于矩形 ABCD面积的（2）是否存在时刻 t ,使以 A,M,N为顶点的三角形与ACD 相像如存在,求 t 的值；如不存在,请说明理由9如图,在梯形 ABCD中,如 AB DC, AD=BC,对角线 B

4、D、AC把梯形分成了四个小三角形（1）列出从这四个小三角形中任选两个三角形的全部可能情形,并求出选取到的两个三角形是相像三角形的概率是多少； （留意：全等看成相像的特例）（2）请你任选一组相像三角形,并给出证明10如图 ABC中, D为 AC上一点, CD=2DA,BAC=45 , BDC=60 ,CEBD 于 E,连接 AE（1）写出图中全部相等的线段,并加以证明；（2）图中有无相像三角形如有,请写出一对；如没有,请说明理由；（3）求 BEC与 BEA的面积之比11如图,在 ABC中, AB=AC=a,M为底边 BC上的任意一点,过点M分别作 AB、AC的平行线交AC于 P,交 AB于 Q（

5、1）求四边形 AQMP的周长；（2）写出图中的两对相像三角形（不需证明）；（3） M位于 BC的什么位置时,四边形AQMP为菱形并证明你的结论12已知： P 是正方形 ABCD的边 BC上的点,且 BP=3PC,M是 CD的中点,试说明：ADM MCP13如图,已知梯形 ABCD中,AD BC, AD=2,AB=BC=8,CD=10（1）求梯形 ABCD的面积 S；（2）动点 P 从点 B 动身, 以 1cm/s 的速度, 沿 B.A.D.C方向, 向点 C运动；动点 Q从点 C动身, 以 1cm/s的速度,沿C.D.A方向,向点 A 运动,过点Q作 QEBC于点 E如 P、Q两点同时动身,当

6、其中一点到达t目的地时整个运动随之终止,设运动时间为t 秒问：当点 P在 B.A上运动时,是否存在这样的t ,使得直线PQ将梯形 ABCD的周长平分如存在,恳求出的值；如不存在,请说明理由；在运动过程中,是否存在这样的 t ,使得以 P、A、D为顶点的三角形与CQE 相像如存在,恳求出全部符合条件的 t 的值；如不存在,请说明理由；在运动过程中,是否存在这样的 t ,使得以 P、D、Q为顶点的三角形恰好是以 DQ为一腰的等腰三角形如存在,恳求出全部符合条件的 t 的值；如不存在,请说明理由14已知矩形 ABCD,长 BC=12cm,宽 AB=8cm,P、 Q分别是 AB、 BC上运动的两点如

7、P 自点 A动身,以1cm/s 的速度沿 AB方向运动, 同时, Q自点 B 动身以 2cm/s 的速度沿 BC方向运动, 问经过几秒, 以 P、B、Q为顶点的三角形与BDC 相像15如图,在 ABC 中, AB=10cm,BC=20cm,点 P 从点 A开头沿 AB边向 B 点以 2cm/s 的速度移动,点 Q从点 B 开头沿 BC边向点 C以 4cm/s 的速度移动, 假如 P、Q分别从 A、B 同时动身, 问经过几秒钟, PBQ与 ABC相像16如图, ACB=ADC=90 ,AC=,AD=2问当 AB的长为多少时,这两个直角三角形相像17已知,如图,在边长为 a 的正方形 ABCD中,

8、 M是 AD的中点,能否在边 AB上找一点 N（不含 A、B）,使得 CDM与 MAN相像如能,请给出证明,如不能,请说明理由18如图在 ABC 中, C=90 , BC=8cm,AC=6cm,点 Q从 B 动身,沿 BC方向以 2cm/s 的速度移动,点P从 C动身,沿 CA方向以 1cm/s 的速度移动如 Q、P 分别同时从 B、 C动身,摸索究经过多少秒后,以点 C、P、 Q为顶点的三角形与CBA 相像19如下列图,梯形 ABCD中,AD BC,A=90 , AB=7,AD=2,BC=3,试在腰 AB上确定点 P的位置,使得以 P,A,D为顶点的三角形与以P,B,C为顶点的三角形相像20

9、 ABC和 DEF是两个等腰直角三角形,A=D=90 , DEF的顶点 E 位于边 BC的中点上（1）如图 1,设 DE与 AB交于点 M,EF与 AC交于点 N,求证： BEM CNE；（2）如图 2,将 DEF绕点 E 旋转,使得DE与 BA的延长线交于点M,EF与 AC交于点 N,于是,除（ 1）中的一对相像三角形外,能否再找出一对相像三角形并证明你的结论21如图,在矩形 ABCD中,AB=15cm,BC=10cm,点 P 沿 AB边从点 A 开头向 B 以 2cm/s 的速度移动；点 Q沿 DA边从点 D开头向点 A 以 1cm/s 的速度移动假如 P、Q同时动身,用 t （秒）表示移

10、动的时间,那么当 t 为何值时,以点 Q、A、P 为顶点的三角形与ABC 相像22如图,路灯（P点）距地面 8 米,身高米的小明从距路灯的底部（O点） 20 米的 A 点,沿 OA所在的直线行走 14 米到 B点时,身影的长度是变长了仍是变短了变长或变短了多少米23阳光明媚的一天,数学爱好小组的同学们去测量一棵树的高度（这棵树底部可以到达,顶部不易到达）,他们带了以下测量工具：皮尺,标杆,一副三角尺,小平面镜请你在他们供应的测量工具中选出所需工具,设计一种测量方案（1）所需的测量工具是：_ ；（2）请在下图中画出测量示意图；（3）设树高 AB的长度为 x,请用所测数据（用小写字母表示）求出 x

11、24问题背景在某次活动课中,甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校内中一些物体进行了测量下面是他们通过测量得到的一些信息：甲组：如图1,测得一根直立于平地,长为80cm的竹竿的影长为60cm200cm,影长乙组：如图2,测得学校旗杆的影长为900cm丙组：如图3,测得校内景灯（灯罩视为球体,灯杆为圆柱体,其粗细忽视不计）的高度为为 156cm任务要求：（1）请依据甲、乙两组得到的信息运算出学校旗杆的高度；（2）如图 3,设太阳光线 NH与O 相切于点 M请依据甲、丙两组得到的信息,求景灯灯罩的半径（友情提示：如图 3,景灯的影长等于线段 NG的影长；需要时可采纳等式 156 2+208

12、2=260 2）25阳光通过窗口照耀到室内,在地面上留下宽的亮区（如下列图）,已知亮区到窗口下的墙脚距离 EC=,窗口高 AB=,求窗口底边离地面的高 BC26如图,李华晚上在路灯下漫步已知李华的身高 AB=h,灯柱的高 OP=OP=l ,两灯柱之间的距离OO=m（1）如李华距灯柱 OP的水平距离 OA=a,求他影子 AC的长；（2）如李华在两路灯之间行走,就他前后的两个影子的长度之和（DA+AC）是否是定值请说明理由；（3）如李华在点A 朝着影子（如图箭头）的方向以v 1 匀速行走,试求他影子的顶端在地面上移动的速度v227如图,分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆,其面积分别用S

13、1,S2,S3 表示,就不难证明 S1=S2+S3（1）如图,分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形,其面积分别用S1,S2,S3 表示,那么S1,S2,S3之间有什么关系； （不必证明）（2）如图,分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形,其面积分别用S1、S2、S3 表示,请你确定 S1,S2,S3 之间的关系并加以证明；（3）如分别以直角三角形 ABC三边为边向外作三个一般三角形,其面积分别用 S1,S2,S3表示,为使 S1,S2,S3之间仍具有与（2）相同的关系,所作三角形应满意什么条件证明你的结论；（4）类比（ 1）,（2）,（3）的结论,请你总结出一个更具一般意义

14、的结论28已知：如图,ABC ADE,AB=15,AC=9,BD=5求 AE29已知：如图 Rt ABCRt BDC,如 AB=3,AC=4（1）求 BD、CD的长；（2）过 B作 BEDC于 E,求 BE的长30（ 1）已知,且 3x+4z 2y=40,求 x,y,z 的值；（2）已知：两相像三角形对应高的比为 3：10,且这两个三角形的周长差为 560cm,求它们的周长参考答案与试题解析一解答题（共 30 小题）1如图,在 ABC 中,DE BC,EF AB,求证： ADE EFC考点： 相像三角形的判定；平行线的性质；专题： 证明题；分析： 依据平行线的性质可知 AED=C,A=FEC,

15、依据相像三角形的判定定理可知ADE EFC解答： 证明： DE BC,DE FC,AED=C又EF AB,EF AD,A=FEC ADE EFC点评： 此题考查的是平行线的性质及相像三角形的判定定理2如图,梯形ABCD中,AB CD,点F 在 BC上,连 DF与 AB的延长线交于点G（1）求证： CDF BGF；（2）当点 F 是 BC的中点时,过 F 作 EF CD交 AD于点 E,如 AB=6cm, EF=4cm,求 CD的长考点： 相像三角形的判定；三角形中位线定理；梯形；专题： 几何综合题；分析： （1）利用平行线的性质可证明CDF BGF（2）依据点 F 是 BC的中点这一已知条件,

16、解答： （1）证明：梯形 ABCD,AB CD,CDF=FGB,DCF=GBF, （2 分） CDF BGF（ 3 分）（2）解：由（ 1） CDF BGF,又 F 是 BC的中点, BF=FC, CDF BGF,DF=GF, CD=BG,（ 6 分）AB DC EF, F 为 BC中点,E 为 AD中点,EF是 DAG的中位线,2EF=AG=AB+BGBG=2EF AB=2 46=2,CD=BG=2cm（8 分）可得 CDF BGF, 就 CD=BG,只要求出 BG的长即可解题点评： 此题主要考查了相像三角形的判定定理及性质,全等三角形的判定及线段的等量代换,比较复杂3如图,点 D,E 在

17、BC上,且 FD AB,FE AC求证： ABC FDE考点： 相像三角形的判定；专题： 证明题；分析： 由 FD AB,FE AC,可知 B=FDE,C=FED,依据三角形相像的判定定理可知：ABC FDE解答： 证明： FD AB,FE AC,B=FDE,C=FED, ABC FDE点评： 此题很简洁,考查的是相像三角形的判定定理：（1）假如两个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相像；（2）假如一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三 角形相像；（3）假如一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相像4如图,已知 E 是

18、矩形 ABCD的边 CD上一点, BFAE 于 F,试说明： ABF EAD考点： 相像三角形的判定；矩形的性质；专题： 证明题；分析： 依据两角对应相等的两个三角形相像可解解答： 证明：矩形 ABCD中,AB CD,D=90 , （2 分）BAF=AED（4 分）BFAE,AFB=90 AFB=D（5 分） ABF EAD（ 6 分）点评： 考查相像三角形的判定定理,关键是找准对应的角5已知：如图所示,在ABC 和 ADE中, AB=AC,AD=AE,BAC=DAE,且点B,A, D在一条直线上,连接 BE,CD,M,N分别为 BE,CD的中点（1）求证： BE=CD； AMN 是等腰三角形

19、；（2）在图的基础上,将ADE 绕点 A 按顺时针方向旋转180 ,其他条件不变,得到图所示的图形请直接写出（ 1）中的两个结论是否仍旧成立；（3）在（ 2）的条件下,请你在图中延长ED交线段 BC于点 P求证： PBD AMN考点： 相像三角形的判定；全等三角形的判定；等腰三角形的判定；旋转的性质；专题： 几何综合题；分析： （1）由于 BAC=DAE,所以 BAE=CAD,又由于AB=AC,AD=AE,利用 SAS可证出 BAE CAD,可知 BE、 CD是对应边,依据全等三角形对应边上的中线相等,可证AMN是等腰三角形（2）利用（ 1）中的证明方法仍旧可以得出（1）中的结论,思路不变（3

20、）先证出 ABM ACN（ SAS）,可得出 CAN=BAM,所以 BAC=MAN（等角加等角和相等）,又BAC=DAE,所以 MAN=DAE=BAC,所以 AMN, ADE和 ABC都是顶角相等的等腰三角形,所以 PBD=AMN,所以 PBD AMN（两个角对应相等,两三角形相像）解答： （1）证明： BAC=DAE, BAE=CAD,AB=AC, AD=AE, ABE ACD,BE=CD由 ABE ACD,得ABE=ACD, BE=CD,M、 N分别是 BE, CD的中点,BM=CN又AB=AC, ABM ACNAM=AN,即 AMN为等腰三角形（2）解：（1）中的两个结论仍旧成立（3）证

21、明：在图中正确画出线段 PD,由（ 1）同理可证 ABM ACN,CAN=BAMBAC=MAN又 BAC=DAE,MAN=DAE=BAC AMN, ADE 和 ABC都是顶角相等的等腰三角形 PBD和 AMN都为顶角相等的等腰三角形,PBD=AMN,PDB=ANM, PBD AMN点评： 此题利用了全等三角形的判定和性质,以及等腰三角形一个顶角相等,就底角相等的性质,仍有相像 三角形的判定（两个角对应相等的两个三角形相像）6如图, E 是.ABCD的边 BA延长线上一点,连接EC,交 AD于点 F在不添加帮助线的情形下,请你写出图中全部的相像三角形,并任选一对相像三角形赐予证明考点： 相像三角

22、形的判定；平行四边形的性质；专题： 开放型；分析： 依据平行线的性质和两角对应相等的两个三角形相像这一判定定理可证明图中相像三角形有： AEF BEC； AEF DCF； BEC DCF解答： 解：相像三角形有AEF BEC； AEF DCF； BEC DCF（3 分）如： AEF BEC在.ABCD中,AD BC,1=B,2=3（6 分） AEF BEC（ 7 分）点评： 考查了平行线的性质及相像三角形的判定定理7如图,在 4 3 的正方形方格中,ABC 和 DEF的顶点都在边长为 1 的小正方形的顶点上（1）填空： ABC= 135 , BC= ；（2）判定 ABC与 DEC是否相像,并证

23、明你的结论考点： 相像三角形的判定；正方形的性质；专题： 证明题；网格型；分析： （1）观看可得： BF=FC=2,故 FBC=45 ；就 ABC=135 ,BC= =2；（2）观看可得： BC、EC的长为 2、,可得,再依据其夹角相等；故ABC DEC解答： 解：（1）ABC=135 , BC=；（2）相像；BC=；, EC=；又ABC=CED=135 , ABC DEC点评： 解答此题要充分利用正方形的特别性质留意在正方形中的特别三角形的应用,搞清晰矩形、菱形、正方形中的三角形的三边关系,可有助于提高解题速度和精确率8如图,已知矩形 ABCD的边长 AB=3cm,BC=6cm某一时刻,动点

24、 M从 A 点动身沿 AB方向以 1cm/s 的速度向 B 点匀速运动；同时,动点 N从 D点动身沿 DA方向以 2cm/s 的速度向 A 点匀速运动,问：（1）经过多少时间,AMN 的面积等于矩形 ABCD面积的（2）是否存在时刻 t ,使以 A,M,N为顶点的三角形与ACD 相像如存在,求 t 的值；如不存在,请说明理由考点： 相像三角形的判定；一元二次方程的应用；分式方程的应用；正方形的性质；专题： 动点型；分析： （1）关于动点问题,可设时间为x,依据速度表示出所涉及到的线段的长度,找到相等关系,列方程求解即可,如此题中利用,AMN 的面积等于矩形 ABCD面积的 作为相等关系；（2）

25、先假设相像,利用相像中的比例线段列出方程,有解的且符合题意的 t 值即可说明存在,反之就不存在解答： 解：（1）设经过 x 秒后, AMN的面积等于矩形 ABCD面积的,就有：（6 2x）x= 3 6,即 x 2 3x+2=0,（2 分）解方程,得 x1=1,x2=2,（3 分）经检验,可知 x1=1,x 2=2 符合题意,所以经过 1 秒或 2 秒后, AMN的面积等于矩形 ABCD面积的（4 分）（2）假设经过 t 秒时,以 A,M,N为顶点的三角形与ACD 相像,由矩形 ABCD,可得 CDA=MAN=90 ,因此有 或（5 分）即 ,或 （ 6 分）解,得 t=；解,得 t=（7 分）

26、经检验, t= 或 t= 都符合题意,所以动点 M,N同时动身后,经过 秒或 秒时,以 A, M,N为顶点的三角形与ACD 相像（8 分）点评： 主要考查了相像三角形的判定,正方形的性质和一元二次方程的运用以及解分式方程要把握正方形和相像三角形的性质,才会敏捷的运用留意：一般关于动点问题,可设时间为 x,依据速度表示出所涉及到的线段的长度,找到相等关系,列方程求解即可9如图,在梯形 ABCD中,如 AB DC, AD=BC,对角线 BD、AC把梯形分成了四个小三角形（1）列出从这四个小三角形中任选两个三角形的全部可能情形,并求出选取到的两个三角形是相像三角形的概率是多少； （留意：全等看成相像

27、的特例）（2）请你任选一组相像三角形,并给出证明考点： 相像三角形的判定；概率公式；专题： 开放型；分析： （1）采纳列举法,列举出全部可能显现的情形,再找出相像三角形即可求得；与,与相像；（2）利用相像三角形的判定定理即可证得解答： 解：（1）任选两个三角形的全部可能情形如下六种情形：,（2 分）其中有两组（,）是相像的选取到的二个三角形是相像三角形的概率是 P= （4 分）证明：（2）挑选、证明在 AOB与 COD中,AB CD,CDB=DBA,DCA=CAB, AOB COD（ 8 分）挑选、证明四边形 ABCD是等腰梯形,DAB=CBA,在 DAB与 CBA中有 AD=BC,DAB=C

28、AB, AB=AB, DAB CBA,（ 6 分）ADO=BCO又DOA=COB, DOA COB（ 8 分）点评： 此题考查概率的求法：假如一个大事有 n 种可能,而且这些大事的可能性相同,其中大事 A 显现 m种结果,那么大事 A 的概率 P（A）= ,即相像三角形的证明仍考查了相像三角形的判定10附加题：如图ABC 中, D为 AC上一点, CD=2DA,BAC=45 , BDC=60 ,CEBD 于 E,连接 AE（1）写出图中全部相等的线段,并加以证明；（2）图中有无相像三角形如有,请写出一对；如没有,请说明理由；（3）求 BEC与 BEA 的面积之比考点： 相像三角形的判定；三角形

29、的面积；含 30 度角的直角三角形；专题： 综合题；分析： （1）依据直角三角形中 30 度角所对的直角边是斜边的一半,可知 CD=2ED,就可写出相等的线段；（2）两角对应相等的两个三角形相像就可判定ADE AEC；（3）要求 BEC与 BEA的面积之比,从图中可看出两三角形有一公共边可作为底边,如求得高之比可知面积之比,由此需作BEA 的边 BE边上的高即可求解解答： 解：（1）AD=DE,AE=CECEBD,BDC=60 ,在 Rt CED中, ECD=30 CD=2EDCD=2DA,AD=DE,DAE=DEA=30 =ECDAE=CE（2）图中有三角形相像,ADE AEC；CAE=CA

30、E,ADE=AEC, ADE AEC；（3）作 AFBD的延长线于 F,设 AD=DE=x,在 Rt CED中,可得 CE=,故 AE=ECD=30 在 Rt AEF中, AE=,AED=DAE=30 ,sin AEF=,AF=AE.sinAEF=点评： 此题主要考查了直角三角形的性质,相像三角形的判定及三角形面积的求法等,范畴较广11如图,在 ABC 中, AB=AC=a,M为底边 BC上的任意一点,过点M分别作 AB、AC的平行线交AC于 P,交AB于 Q（1）求四边形 AQMP的周长；（2）写出图中的两对相像三角形（不需证明）；（3）M位于 BC的什么位置时,四边形AQMP为菱形并证明你

31、的结论考点： 相像三角形的判定；菱形的判定；专题： 综合题；分析： （1）依据平行四边形的性质可得到对应角相等对应边相等,从而不难求得其周长；（2）由于 B=C=PMC=QMB,所以 PMC QMB ABC；（3）依据中位线的性质及菱形的判定不难求得四边形 AQMP为菱形解答： 解：（1）AB MP,QM AC,四边形 APMQ是平行四边形, B=PMC,C=QMBAB=AC,B=C,PMC=QMBBQ=QM, PM=PC四边形 AQMP的周长 =AQ+AP+QM+MP=AQ+QB+AP+PC=AB+AC=2a（2）PM AB, PCM ACB,QM AC, BMQ BCA；（3）当点 M中

32、BC的中点时,四边形 APMQ是菱形,点 M是 BC的中点, AB MP,QM AC,QM, PM是三角形 ABC的中位线AB=AC,QM=PM=AB= AC又由（ 1）知四边形 APMQ是平行四边形,平行四边形 APMQ是菱形点评： 此题主要考查了平行四边形的判定和性质,中位线的性质,菱形的判定等学问点的综合运用12已知： P 是正方形 ABCD的边 BC上的点,且BP=3PC,M是 CD的中点,试说明：ADM MCP考点： 相像三角形的判定；正方形的性质；专题： 证明题；分析： 欲证 ADM MCP,通过观看发觉两个三角形已经具备一组角对应相等,即D=C,此时,再求夹此对应角的两边对应成比

33、例即可解答： 证明：正方形 ABCD,M为 CD中点,CM=MD=ADBP=3PC,PC= BC= AD= CMPCM=ADM=90 , MCP ADM点评： 此题考查相像三角形的判定识别两三角形相像,除了要把握定义外,仍要留意正确找出两三角形的对应边、对应角,可利用数形结合思想依据图形供应的数据运算对应角的度数、对应边的比此题中把如干线段的长度用同一线段来表示是求线段是否成比例经常用的方法13如图,已知梯形 ABCD中,AD BC, AD=2, AB=BC=8,CD=10（1）求梯形 ABCD的面积 S；（2）动点 P 从点 B 动身,以 1cm/s 的速度,沿 B.A.D.C方向,向点 C

34、运动；动点 Q从点 C动身,以 1cm/s的速度,沿 C.D.A方向,向点 A 运动,过点 Q作 QEBC于点 E如 P、Q两点同时动身,当其中一点到达目的地时整个运动随之终止,设运动时间为 t 秒问：当点 P 在 B.A上运动时,是否存在这样的 t ,使得直线 PQ将梯形 ABCD的周长平分如存在,恳求出 t 的值；如不存在,请说明理由；在运动过程中,是否存在这样的t ,使得以 P、A、D为顶点的三角形与CQE 相像如存在,恳求出全部符合条件的 t 的值；如不存在,请说明理由；在运动过程中,是否存在这样的 t ,使得以 P、D、Q为顶点的三角形恰好是以 DQ为一腰的等腰三角形如存在,恳求出全

35、部符合条件的 t 的值；如不存在,请说明理由考点： 相像三角形的判定；三角形三边关系；等腰三角形的判定；勾股定理；直角梯形；专题： 动点型；开放型；分析： （1）求面积要先求梯形的高,可依据两底的差和 出高后即可求出梯形的面积CD的长,在直角三角形中用勾股定理进行求解,得（2）PQ平分梯形的周长,那么 AD+DQ+AP=BC+CQ+BP,已知了 AD,BC的长,可以用 t 来表示出 AP,BP,CQ,QD的长,那么可依据上面的等量关系求出 t 的值此题要分三种情形进行争论：一,当 P 在 AB上时,即 0t 8,假如两三角形相像,那么中依据C 的正切值,求出 t 的值C=ADP,或 C=APD

36、,那么在 ADP二,当 P 在 AD上时,即 8t 10,由于 P,A,D在一条直线上,因此构不成三角形三,当 P 在 CD上时,即 10t 12,由于 ADC 是个钝角,因此直角 CQE相像综合三种情形即可得出符合条件的 t 的值（3）和（ 2）相同也要分三种情形进行争论：ADP 是个钝角三角形因此不行能和一,当 P 在 AB上时,即 0t 8,等腰 PDQ以 DQ为腰,因此 DQ=DP或 DQ=PQ,可以通过构建直角三角形来表示出DP,PQ的长,然后依据得出的等量关系来求t 的值二,当 P 在 AD上时,即 8t 10,由于 BA+AD=CD=10,因此 DP=DQ=10 t ,因此 DP

37、,DQ恒相等三,当 P 在 CD上时,即 10t 12,情形同二综合三种情形可得出等腰三角形以 DQ为腰时, t 的取值解答： 解：（1）过 D作 DH AB 交 BC于 H点,AD BH,DH AB,四边形 ABHD是平行四边形DH=AB=8； BH=AD=2CH=8 2=6CD=10,DH 2+CH 2=CD 2DHC=90 B=DHC=90 梯形 ABCD是直角梯形S ABCD= （AD+BC）AB= （ 2+8） 8=40（2） BP=CQ=t,AP=8 t ,DQ=10 t ,AP+AD+DQ=PB+BC+CQ8 t+2+10 t=t+8+tt=3 8当 t=3 秒时, PQ将梯形

38、ABCD周长平分第一种情形：0t 8 如 PAD QEC 就ADP=Ctan ADP=tanC= = ,t=如 PAD CEQ就APD=Ctan APD=tanC= ,=t=其次种情形： 8t 10, P、A、D三点不能组成三角形；第三种情形： 10t 12 ADP 为钝角三角形与 Rt CQE不相像；t= 或 t= 时, PAD与 CQE相像第一种情形：当 0t 8 时过 Q点作 QEBC,QHAB,垂足为 E、HAP=8 t ,AD=2,PD=CE= t ,QE= t ,QH=BE=8 t ,BH=QE= t PH=tt= t PQ= =,DQ=10 t ： DQ=DP,10 t=,解得

39、t=8 秒： DQ=PQ,10 t=,化简得： 3t 2 52t+180=0解得： t=,t= 8（不合题意舍去）t=其次种情形： 8t 10 时 DP=DQ=10 t 当 8t 10 时,以 DQ为腰的等腰 DPQ 恒成立第三种情形： 10t 12 时 DP=DQ=t 10当 10t 12 时,以 DQ为腰的等腰 DPQ 恒成立综上所述, t= 或 8t 10 或 10t 12 时,以 DQ为腰的等腰 DPQ 成立点评： 此题主要考查了梯形的性质以及相像三角形的判定和性质等学问点,要留意（2）中要依据 P,Q的不同位置,进行分类争论,不要漏解14已知矩形 ABCD,长 BC=12cm,宽 A

40、B=8cm,P、Q分别是 AB、BC上运动的两点如 P 自点 A 动身,以 1cm/s的速度沿 AB方向运动,同时,Q自点 B 动身以 2cm/s 的速度沿 BC方向运动,问经过几秒,以 P、B、Q为顶点的三角形与BDC 相像考点： 相像三角形的判定；矩形的性质；专题： 几何动点问题；分类争论；分析： 要使以 P、B、Q为顶点的三角形与BDC 相像,就要分两两种情形进行分析分别是PBQ BDC或 QBP BDC,从而解得所需的时间解答： 解：设经 x 秒后, PBQ BCD,由于 PBQ=BCD=90 ,（1）当 1=2 时,有：,即；（2）当 1=3 时,有：,即,经过 秒或 2 秒, PB

41、Q BCD点评： 此题考查了相像三角形的判定及矩形的性质等学问点的综合运用15如图,在 ABC中, AB=10cm,BC=20cm,点 P 从点 A 开头沿 AB边向 B点以 2cm/s 的速度移动,点 Q从点B 开头沿 BC边向点 C以 4cm/s 的速度移动,假如 P、Q分别从 A、B 同时动身,问经过几秒钟,PBQ 与 ABC相像考点： 相像三角形的判定；一元一次方程的应用；专题： 动点型；分析： 设经过 t 秒后, PBQ与 ABC相像,依据路程公式可得 角形的性质对应边的比相等列出方程求解即可AP=2t,BQ=4t,BP=10 2t ,然后利用相像三解答： 解：设经过秒后t 秒后,

42、PBQ 与 ABC相像,就有AP=2t,BQ=4t,BP=10 2t ,当 PBQ ABC 时,有 BP：AB=BQ：BC,即（ 10 2t ）：10=4t ：20,解得 t= （ s）（6 分）当 QBP ABC 时,有 BQ：AB=BP：BC,即 4t ：10=（10 2t ）：20,解得 t=1 所以,经过或 1s 时, PBQ与 ABC相像（ 10 分）ts 后, PBQ与 ABC相像,就有, AP=2t,BQ=4t,BP=10 2t 解法二：设 分两种情形：（1）当 BP与 AB对应时,有 =,即 =,解得 t=（2）当 BP与 BC对应时,有 =,即 =,解得 t=1s所以经过 1

43、s 或时,以 P、 B、Q三点为顶点的三角形与ABC 相像点评： 此题综合了路程问题和三角形的问题,所以同学平常学过的学问要会融合起来16如图, ACB=ADC=90 ,AC=,AD=2问当 AB的长为多少时,这两个直角三角形相像考点： 相像三角形的判定；专题： 分类争论；分析： 假如一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相像在 Rt ABC和 Rt ACD,直角边的对应需分情形争论解答： 解： AC=,AD=2,CD= =要使这两个直角三角形相像,有两种情形：（1）当 Rt ABCRt ACD 时,有 =,AB= =3；（2）当

44、Rt ACBRt CDA 时,有 =,AB= =3故当 AB的长为 3 或 3 时,这两个直角三角形相像点评： 此题考查相像三角形的判定识别两三角形相像,除了要把握定义外,仍要留意正确找出两三角形的对应边、对应角,可利用数形结合思想依据图形供应的数据运算对应角的度数、对应边的比17已知,如图,在边长为a 的正方形 ABCD中, M是 AD的中点,能否在边AB上找一点 N（不含 A、B）,使得 CDM与 MAN相像如能,请给出证明,如不能,请说明理由考点： 相像三角形的判定；正方形的性质；专题： 探究型；分类争论；分析： 两个三角形都是直角三角形,仍只需满意一对角对应相等或夹直角的两边对应成比例

45、即可说明两个三角形相像如 DM与 AM对应,就 CDM与 MAN全等, N与 B 重合,不合题意；如 DM与 AN对应,就 CD： AM=DM： AN,得 AN= a,从而确定 N的位置解答： 证明：分两种情形争论：如 CDM MAN,就=边长为 a,M是 AD的中点,AN= a如 CDM NAM,就边长为 a,M是 AD的中点,AN=a,即 N点与 B 重合,不合题意所以,能在边 AB上找一点 N（不含 A、B）,使得 CDM与 MAN相像当 AN= a 时, N点的位置满意条件点评： 此题考查相像三角形的判定因不明确对应关系,所以需分类争论18如图在 ABC 中, C=90 , BC=8c

46、m,AC=6cm,点 Q从 B动身,沿 BC方向以 2cm/s 的速度移动,点 P 从C动身,沿 CA方向以 1cm/s 的速度移动如 Q、P 分别同时从 B、C动身,摸索究经过多少秒后,以点 C、P、Q为顶点的三角形与CBA 相像考点： 相像三角形的判定；专题： 综合题；动点型；分析： 此题要依据相像三角形的性质设出未知数,即经过x 秒后,两三角形相像,然后依据速度公式求出他们移动的长度,再依据相像三角形的性质列出分式方程求解解答： 解：设经过x 秒后,两三角形相像,就CQ=（8 2x）cm,CP=xcm,（1 分）C=C=90 ,当或时,时,两三角形相像 （3 分）（1）当,x=；（ 4

47、分）（2）当时,x=（ 5 分）所以,经过秒或秒后,两三角形相像 （6 分）点评： 此题综合考查了路程问题,相像三角形的性质及一元一次方程的解法19如下列图,梯形 ABCD中,AD BC,A=90 , AB=7,AD=2,BC=3,试在腰 AB上确定点 P 的位置,使得以 P,A,D为顶点的三角形与以 P,B,C为顶点的三角形相像考点： 相像三角形的判定；梯形；专题： 分类争论；分析： 此题考查了相像三角形的判定与性质,解题时要仔细审题,挑选相宜的判定方法解题时要留意一题多解的情形,要留意别漏解解答： 解：（1）如点 A, P,D分别与点 B,C, P对应,即 APD BCP,=,=,AP 2

48、 7AP+6=0,AP=1或 AP=6,检测：当 AP=1时,由 BC=3,AD=2,BP=6,=,又 A=B=90 , APD BCP当 AP=6时,由 BC=3,AD=2,BP=1,又 A=B=90 , APD BCP（2）如点 A,P, D分别与点 B,P,C对应,即 APD BPC=,=,AP=检验：当 AP= 时,由 BP=,AD=2,BC=3,=,又 A=B=90 , APD BPC因此,点 P的位置有三处,即在线段AB距离点 A的 1、6 处点评： 此题考查了相像三角形的判定和性质；判定为：有两个对应角相等的三角形相像；有两个对应边的比相等,且其夹角相等,就两个三角形相像；三组对

49、应边的比相等,就两个三角形相像；性质为相像三角形的对应角相等,对应边的比相等20 ABC和 DEF是两个等腰直角三角形,A=D=90 , DEF的顶点 E 位于边 BC的中点上（1）如图 1,设 DE与 AB交于点 M,EF 与 AC交于点 N,求证： BEM CNE；（2）如图 2,将 DEF 绕点 E 旋转,使得DE与 BA的延长线交于点M,EF与 AC交于点 N,于是,除（ 1）中的一对相像三角形外,能否再找出一对相像三角形并证明你的结论考点： 相像三角形的判定；等腰直角三角形；专题： 证明题；开放型；分析： 由于此题是特别的三角形,所以第一要分析等腰直角三角形的性质：可得锐角为45 ,

50、依据角之间的关系,利用假如两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相像可判定三角形相像；再根 据性质得到比例线段,有夹角相等证得ECN MEN解答： 证明：（1） ABC是等腰直角三角形,MBE=45 , BME+MEB=135又 DEF是等腰直角三角形, DEF=45NEC+MEB=135BEM=NEC,（4 分）而MBE=ECN=45 , BEM CNE（ 6 分）（2）与（ 1）同理 BEM CNE,（8 分）又BE=EC,（10 分）就 ECN与 MEN中有,又ECN=MEN=45 , ECN MEN（ 12 分）点评： 此题考查了相像三角形的判定和性质：假如两个三角形的三组对

51、应边的比相等,那么这两个三角形相像；假如两个三角形的两条对应边的比相等,且夹角相等,那么这两个三角形相像；假如两个三角形的两个对应角相等,那么这两个三角形相像Q沿 21如图,在矩形 ABCD中, AB=15cm, BC=10cm,点 P 沿 AB边从点 A开头向 B 以 2cm/s 的速度移动；点 DA边从点 D开头向点 A以 1cm/s 的速度移动假如 P、 Q同时动身,用 t （秒）表示移动的时间,那么当 t 为何值时,以点 Q、A、P为顶点的三角形与ABC 相像考点： 相像三角形的判定；矩形的性质；专题： 几何动点问题；分类争论；分析： 如以点 Q、A、P 为顶点的三角形与ABC 相像,

52、有四种情形： APQ BAC,此时得 AQ：BC=AP：AB； APQ BCA,此时得 AQ：AB=AP：BC； AQP BAC,此时得 AQ：BA=AP：BC； AQP BCA,此时得 AQ：BC=AP：BA可依据上述四种情形所得到的不同的对应成比例线段求出 t 的值解答： 解：以点 Q、A、P 为顶点的三角形与ABC 相像,所以 ABC PAQ 或 ABC QAP,当 ABC PAQ 时,所以,解得： t=6 ；当 ABC QAP 时,所以；,解得： t=当 AQP BAC 时,=,即=,所以 t=；当 AQP BCA 时,=,即=,所以 t=30 （舍去）故当 t=6 或 t=时,以点

53、Q、A、P 为顶点的三角形与ABC 相像点评： 此题主要考查了矩形的性质及相像三角形的判定和性质；当相像三角形的对应角和对应线段不明确时,应考虑到全部可能的情形,分类争论,以免漏解22如图,路灯（ P点）距地面8 米,身高米的小明从距路灯的底部（O点） 20 米的 A 点,沿 OA所在的直线行走 14 米到 B点时,身影的长度是变长了仍是变短了变长或变短了多少米考点： 相像三角形的应用；专题： 应用题；分析： 如图,由于AC BD OP,故有 MAC MOP, NBD NOP即可由相像三角形的性质求解解答： 解： MAC=MOP=90 ,AMC=OMP, MAC MOP,即解得, MA=5米；

54、同理,由 NBD NOP,可求得NB=米,建立适当的数学模型来解答问题小明的身影变短了5 =米然后依据对应边成比例列出方程,点评： 解题时关键是找出相像的三角形,23阳光明媚的一天,数学爱好小组的同学们去测量一棵树的高度（这棵树底部可以到达,顶部不易到达）,他们带了以下测量工具：皮尺,标杆,一副三角尺,小平面镜请你在他们供应的测量工具中选出所需工具,设计一种测量方案（1）所需的测量工具是：；（2）请在下图中画出测量示意图；x（3）设树高 AB的长度为 x,请用所测数据（用小写字母表示）求出 考点： 相像三角形的应用；专题： 方案型；开放型；分析： 树比较高不易直接到达,因而可以利用三角形相像解

55、决,利用树在阳光下显现的影子来解决解答： 解：（1）皮尺,标杆；（2）测量示意图如下列图；（3）如图,测得标杆DE=a,树和标杆的影长分别为AC=b, EF=c, DEF BAC,（ 7 分）点评： 此题运用相像三角形的学问测量高度及考查同学的实践操作才能,应用所学学问解决问题的才能此题答案有多种,测量方案也有多种,如（1）皮尺、标杆、平面镜；（2）皮尺、三角尺、标杆24问题背景在某次活动课中,甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校内中一些物体进行了测量下 面是他们通过测量得到的一些信息：甲组：如图1,测得一根直立于平地,长为80cm的竹竿的影长为60cm200cm,影长为乙组：如图2,

56、测得学校旗杆的影长为900cm丙组：如图3,测得校内景灯（灯罩视为球体,灯杆为圆柱体,其粗细忽视不计）的高度为156cm任务要求：（1）请依据甲、乙两组得到的信息运算出学校旗杆的高度；（2）如图 3,设太阳光线 NH与O 相切于点 M请依据甲、丙两组得到的信息,求景灯灯罩的半径（友情 提示：如图 3,景灯的影长等于线段 NG的影长；需要时可采纳等式 156 2+208 2=260 2）考点： 相像三角形的应用；专题： 阅读型；转化思想；分析： 此题属于实际应用问题,解题时第一要懂得题意,然后将实际问题转化为数学问题进行解答；此题需 要转化为相像三角形的问题解答,利用相像三角形的性质,相像三角形

57、的对应边成比例解答解答： 解：（1）由题意可知： BAC=EDF=90 , BCA=EFD ABC DEF,即,（2 分）DE=1200（ cm）所以,学校旗杆的高度是 12m（3 分）（2）解法一：与类似得：,即,GN=208（4 分）在 Rt NGH中,依据勾股定理得：NH 2=1562+208 2=260 2,NH=260（5 分）设O 的半径为 rcm,连接 OM,NH切O 于 M,OMNH（6 分）就OMN=HGN=90 ,又 ONM=HNG, OMN HGN,（7 分）,又 ON=OK+KN=OK+（GN GK）=r+8,解得： r=12 景灯灯罩的半径是 12cm（8 分）解法二

58、：与类似得：,即,GN=208（4 分）设O 的半径为 rcm,连接 OM,NH切O 于 M,OMNH（5 分）就OMN=HGN=90 ,又 ONM=HNG, OMN HGN,（6 分）即MN= r ,又ON=OK+KN=OK+（ GN GK）=r+8（7 分）在 Rt OMN中,依据勾股定理得：r2+（r ）2=（r+8 ）2即 r2 9r 36=0,解得： r 1=12,r 2= 3（不合题意,舍去） ,景灯灯罩的半径是 12cm（8 分）点评： 此题只要是把实际问题抽象到相像三角形中,利用相像三角形的相像比,列出方程,通过解方程求解即可,表达了转化的思想此题的文字表达比较多,解题时要仔细

59、分析题意25（2022.白银）阳光通过窗口照耀到室内,在地面上留下宽的亮区（如下列图）,已知亮区到窗口下的墙 脚距离 EC=,窗口高 AB=,求窗口底边离地面的高 BC考点： 相像三角形的应用；专题： 应用题；分析： 由于光线 AE、BD是一组平行光线,即AE BD,所以 ECA DCB,就有,从而算出BC的长解答： 解： AE BD, ECA DCB,EC=, ED=,CD=6mAB=,AC=BC+,BC=4,即窗口底边离地面的高为 4m点评： 此题基本上难度不大,利用相像比即可求出窗口底边离地面的高26如图,李华晚上在路灯下漫步已知李华的身高AB=h,灯柱的高 OP=OP=l ,两灯柱之间的距离OO=m（1）如李华距灯柱OP的水平距离OA=a,求他影子AC的长；（2）如李华在两