高中数学必修二 1.1 随机事件与概率（精讲）(含答案)

1、10.1 随机事件与概率(精讲)思维导图常见考法考点一 事件类型的判断【例1】(2021全国高一课时练习)已知袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片，则下列判断不正确的是( )A事件“都是红色卡片”是随机事件B事件“都是蓝色卡片”是不可能事件C事件“至少有一张蓝色卡片”是必然事件D事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件【答案】C【解析】袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片，在A中，事件“都是红色卡片”是随机事件，故A正确；在B中，事件“都是蓝色卡片”是不可能事件，故B正确；在C中，事件“至少有一张蓝色卡片”是随机事件，故C错误；

2、在D中，事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件，故D正确故选：C【一隅三反】1(2021全国高一课时练习)下列事件为确定事件的有( )(1)在一标准大气压下，的水结冰(2)边长为，的长方形面积为ab(3)抛一个硬币，落地后正面朝上(4)平时的百分制考试中，小白的考试成绩为105分A1个B2个C3个D4个【答案】A【解析】(1)在一标准大气压下，的水结冰，这是不可能发生的事件，故是不可能事件(2)边长为，的长方形面积为，这是必然发生的事件，故是必然事件(3)抛一个硬币，落地后正面朝上，这件事可能发生，也可能不发生，属于随机事件(4)平时的百分制考试中，小白的考试成绩为105分，这是不可能

3、发生的事件，故是不可能事件故选:A2(2021全国高一课时练习)下列事件中，不可能事件是( )A三角形内角和为B三角形中大边对大角，小边对小角C锐角三角形中两个内角和等于D三角形中任意两边之和大于第三边【答案】C【解析】由三角形性质可知、为必然事件；由三角形内角和定理知两个内角和等于的三角形为直角三角形是不可能的，所以为不可能事件故选：C3(2021全国高一课时练习)下列试验能构成事件的是( )A掷一次硬币B标准大气压下，水烧至C从100件产品中任取3件D某人投篮5次，恰有3次投中【答案】D【解析】所谓事件，实际上就是在一定条件下所出现的某种结果在一定条件下必然发生的事件，叫做必然事件在一定条

4、件下不可能发生的事件，叫做不可能事件随机事件在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件，叫做随机事件，三个选项不能划分为三种事件的其中一个，故选：D考点二 确定样本空间【例2】(2021全国高一课时练习)连续掷3枚硬币，观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面.(1)写出对应的样本空间；(2)求这个实验的样本空间中样本点的个数；(3)写出“恰有两枚正面向上”这一事件的集合表示.【答案】(1)(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)；(2)8；(3)(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正).【解析】(1)样本空

5、间(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)；(2)样本点个数是8；(3)“恰有两枚正面向上”这一事件的集合表示为(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正).【一隅三反】1(2021全国高一课时练习)指出下列试验的样本空间和样本点个数：(1)从装有大小相同但颜色不同的a，b，c，d这4个球的袋中，任取1个球；(2)从装有大小相同但颜色不同的a，b，c，d这4个球的袋中，任取2个球.【答案】(1)4个；(2)6个.【解析】(1)a，b，c，d，共4个样本点.(2)若记(a，b)表示一次试验中取出的球是a和b，

6、则试验的样本空间为(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)，共6个样本点.2(2021全国高一课时练习)指出下列试验的样本空间：(1)某人射击一次命中的整环数；(2)从集合A=a，b，c，d中任取两个元素构成A的子集.【答案】(1)0环，1环，2环，3环，4环，5环，6环，7环，8环，9环，10环；(2)a，b，a，c，a，d，b，c，b，d，c，d.【解析】(1)某人射击一次命中的整环数的样本空间为：0环，1环，2环，3环，4环，5环，6环，7环，8环，9环，10环；(2)从集合A=a，b，c，d中任取两个元素构成A的子集的样本空间为：a，b，a，c，a，d，b

7、，c，b，d，c，d考点三 事件关系的判断【例3】(2021云南峨山彝族自治县第一中学高二期中)某人在打靶中，连续射击3次，至多有一次中靶的互斥不对立事件是( )A至少有一次中靶B三次都不中靶C恰有两次中靶D至少两次中靶【答案】C【解析】至多一次中靶包含没有中靶和恰有一次中靶，A选项，至少一次中靶，包含恰有一次，两次，三次中靶三种情况，两者都包含了恰有一次中靶，故不是互斥事件，A错误；B选项，三次都不中靶也都包含在两个事件中，故不是互斥事件，B错误；C选项，恰有两次中靶，与题干事件不可能同时发生，也不对立，属于互斥不对立事件，C正确；D选项，为对立事件，故D错误.故选：C【一隅三反】1(202

8、1安徽省涡阳第一中学)从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是( )A至少有一个白球与都是红球B恰好有一个白球与都是红球C至少有一个白球与都是白球D至少有一个白球与至少一个红球【答案】B【解析】对于A，事件：“至少有一个白球”与事件：“都是红球”不能同时发生，但是对立，故A错误；对于B，事件：“恰好有一个白球”与事件：“都是红球”不能同时发生，但从口袋内任取两个球时还有可能是两个都是白球，所以两个事件互斥而不对立，故B正确；对于C，事件：“至少有一个白球”与事件：“都是白球”可以同时发生，所以这两个事件不是互斥的，故C错误；对于D，事件：“至少有一个白球”与事件：“

9、至少一个红球”可以同时发生，即“一个白球，一个红球” ，所以这两个事件不是互斥的，故D错误.故选：B.2(2021四川省仁寿第一中学校北校区)从一批产品中取出三件产品，设“三件产品全不是次品”，“三件产品全是次品”，“三件产品不全是次品”，则下列结论不正确的是( )AA与B互斥且为对立事件BB与C互斥且为对立事件CA与C存在有包含关系DA与C不是对立事件【答案】A【解析】取出的三件产品分类为M= “三件产品全是正品”，N= “两件正品，一件次品”，P= “一件正品，两件次品”，Q= “三件产品全是次品”，它们之间两两互斥.于是A=M，B=Q，所以A与B互斥但不对立，A错误；B,C,D正确.故选

10、：A.3(2021浙江宁波赫威斯肯特学校)从装有2个白球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件( )A至少有一个黑球与都是黑球B至少有一个黑球与至少有一个白球C恰好有一个黑球与恰好有两个黑球D至少有一个黑球与都是白球【答案】C【解析】A：事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生，如：两个都是黑球，这两个事件不是互斥事件，故错误；B：事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有一个白球”可以同时发生，如：一个白球一个黑球，故错误；C：事件：“恰好有一个黑球”与事件：“恰有两个黑球”不能同时发生，但从口袋中任取两个球时还有可能是两个都是白球，两个事件是互斥事件但不是对立事

11、件，故正确D：事件：“至少有一个黑球”与“都是白球”不能同时发生，但一定会有一个发生，这两个事件是对立事件，故错误；故选：C考点四 事件的运算【例4】(2021全国高一专题练习)抽查10件产品，设试验的样本空间为，A“至多有1件次品”，B“至少有两件次品”，则( )AABBBACABDAB，且AB【答案】D【解析】A“至多有1件次品”，包含：0件次品和1件次品；B“至少有两件次品”包含：2件次品、3件次品、4件次品、5件次品、6件次品、7件次品、8件次品、9件次品和10件次品、故AB，且AB.故选：D【一隅三反】1(2021全国高一课时练习)某人打靶时，连续射击两次，事件A“至少有一次中靶”，

12、B“两次都不中靶”，则( )AABBBACABDB【答案】C【解析】连续射击两次，用，( x、y取0,1，取0表示射中，取1表示未射中)表示基本事件，包括：其中故AB，其他都不对.故选：C2(2021湖北应城市第一高级中学高二月考)对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A“两次都击中飞机”，B“两次都没击中飞机”，C“恰有一枚炮弹击中飞机”，D“至少有一枚炮弹击中飞机”，下列关系不正确的是( )AADBBDCACDDABBD【答案】D【解析】“恰有一枚炮弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中，“至少有一枚炮弹击中”包含两种情况：恰有一枚炮弹击中，两枚炮弹都击中故A

13、D ，ACDB，D为互斥事件，BD；AB“两个飞机都击中或者都没击中”，BD为必然事件，这两者不相等故选：D3(2021全国高一课时练习)抛掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事件，“向上的点数是2或3”为事件，则( )ABC表示向上的点数是1或2或3D表示向上的点数是1或2或3【答案】C【解析】由题意，可知，则，表示向上的点数为1或2或3故选：C.4(2021全国高一课时练习)设A，B，C表示三个随机事件，试将下列事件用A，B，C表示出来.(1)三个事件都发生；(2)三个事件至少有一个发生；(3)A发生，B，C不发生；(4)A，B都发生，C不发生；(5)A，B至少有一个发生，C不发生；(6)

14、A，B，C中恰好有两个发生.【答案】(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)【解析】(1)三个事件都发生表示为；(2)三个事件至少有一个发生表示为；(3)A发生，B，C不发生表示为；(4)A，B都发生，C不发生表示为；(5)A，B至少有一个发生，C不发生表示为；(6)A，B，C中恰好有两个发生表示为5(2021全国高一课时练习)记某射手一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环分别为事件，指出下列事件的含义：(1)；(2)；(3).【答案】(1)射中10环或9环或8环.(2)射中9环.(3)射中10环或6环或5环或4环或3环或2环或1环或0环.【解析】(1)=射中10环，=射中9环，=

15、射中8环，射中10环或9环或8环.(2)=射中8环，射中环数不是8环，则射中9环.(3)射中9环或8环或7环，则射中10环或6环或5环或4环或3环或2环或1环或0环.考点五 古典概型【例5】73(2021广东顺德高二期中)某工厂为了解甲、乙两条生产线所生产产品的质量，分别从甲、乙两条生产线生产的产品中各随机抽取了100件产品，并对所抽取产品的某一质量指数进行检测，根据检测结果按，分组，得到如图所示的频率分布直方图.(1)分别求甲、乙生产线所生产产品的质量指数的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)若产品的质量指数在内，则该产品为优等品.现采用分层抽样的方法从样品中的优等品中抽

16、取6件产品，再从这6件产品中随机抽取2件产品进一步进行检测，求抽取的这2件产品中恰有1件产品是甲生产线生产的概率.【答案】(1)6.4，5.6(2)【解析】(1)甲生产线所生产产品的质量指数的平均数为；乙生产线所生产产品的质量指数的平均数为.(2)由题意可知，甲生产线的样品中优等品有件，乙生产线的样品中优等品有件.从甲生产线的样品中抽取的优等品有件，记为a，b，c，d；从乙生产线的样品中抽取的优等品有件，记为E，F.从这6件产品中随机抽取2件的情况有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，E)，(a，F)，(b，c)，(b，d)，(b，E)，(b，F)，(c，d)，(c，E)，(c，F)，(

17、d，E)，(d，F)，(E，F)，共15种；其中符合条件的情况有(a，E)，(a，F)，(b，E)，(b，F)，(c，E)，(c，F)，(d，E)，(d，F)，共8种.故所求概率.【一隅三反】1(2021贵州贵阳六中 )2021年9月26日，中国国际大数据产业增会在用行，大会指出了交通对旅游业的发展有着深刻的影响，并引起了相关部门的高度重视现针对贵阳市区重要道路网中的个交通路段，依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如下图所示(交通指数是综合反映道路网畅通或拥堵的概念性指数值，记为，其范围为，分别有五个级别：，畅通；，基本畅通；，轻度拥堵；，中度拥堵；，严重拥堵)(1)利用频率分布直方图估计贵

18、阳市区这个交通路段的交通指数的众数；(2)用分层抽样的方法从轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段中共抽取个路段，再从这个路段中任取个，求至少有个路段为中度拥堵的概率【答案】(1)众数为(2)【解析】(1)由图知众数为，故贵阳市区这个交通路段的交通指数的众数.(2)由图可得轻度拥堵的路段有(个)，中度拥堵的路段有(个)，重度拥堵的路段有(个)，用分层抽样的方法，在上述的个路段共抽取个路段，则应从轻度拥堵、中度拥堵、重度拥堵的路段中分别抽取的个数为.记抽取的个轻度拥堵路段为，个中度拥堵路段为，个重度拥堵的路段为，则从这个路段中任取个的所有可能情况为、，共种情况，其中至少有个路段为中度拥堵的情况为、，

19、共种.记至少有个路段为中度拥堵为事件，则.2(2021广东仲元中学开学考试)某汽车制造公司，为鼓励消费者购买其生产的汽车，约定从今年元月开始，凡购买一辆该品牌汽车，在行驶三年后，公司将给予适当金额的购车补贴.某调研机构对已购买该品牌汽车的消费者，就购车补贴金额的心理预期值进行了抽样调查，得其样本频率分布直方图如图所示.(1)求频率分布直方图中的参数a，估计已购买该品牌汽车的消费群体对购车补贴金额的心理预期值的众数、平均数；(2)采取分层抽样的方式从，两组中共抽取了6人，现从这6人中随机抽2人，求这2人来自不同组的概率.【答案】(1)；2.5万元、3.5万元 ；3.5万元(2)【解析】(1)令，

20、得；频率分布直方图的众数为最高小矩形的中点的横坐标，得众数为2.5万元、3.5万元；因为直方图的组距为1，则各组数据的率即为相应小矩形的高，所以平均数的估计值为(万元)；(2)从6人中随机抽取2人，设第一次抽取的人记为x，第二次抽取的人记为y，则可用数组表示样本点，则有30种等可能的结果：第一次第二次ABCDefABCDef记“从6人中随机抽取2人，这2人来自不同组”为事件M. ，包含16个样本点. 故从6人中随机抽取2人，这2人来自不同组的概率为.3(2021广东广州市协和中学 )某消费者协会在3月15号举行了以“携手共治，畅享消费”为主题的大型宣传咨询服务活动，着力提升消费者维权意识，组织

21、方从参加活动的群众中随机抽取120名群众，按年龄将这120名群众分成5组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示.(1)求图中m的值；(2)估算这120名群众的年龄的中位数(结果精确到0.1)；(3)已知第1组群众中男性有2人，组织方要从第1组中随机抽取2名群众组成维权志愿者服务队，求恰有一名女性的概率.【答案】(1)(2)(3)【解析】(1)解：因为频率分布直方图的小矩形面积和为1，所以，解得，(2)解：前2组频率和为，前3组频率和为，所以中位数在第3组，设中位数为，则，；(3)解：第一组总人数为，男性人2人，则女性有4人，不妨记两名男性为，四名女性为，则随机抽

22、取2名群众的可能为，共15种方案，其中恰有一名女性的方法数，共8种，所以第1组中随机抽取2名群众组成维权志愿者服务队，求恰有一名女性的概率为考点六 概率的性质【例6-1】(2021山西怀仁高一期末)若随机事件，互斥，发生的概率均不等于0，且，则实数的取值范围是ABCD【答案】D【解析】随机事件、互斥，、发生的概率均不等于0，且，即，解得，即故选：D【例6-2】(2021全国高一课时练习)在北京消费季活动中，某商场为促销举行购物抽奖活动，规定购物消费每满200元就可以参加一次抽奖活动，中奖的概率为.那么以下理解正确的是( )A某顾客抽奖10次，一定能中奖1次B某顾客抽奖10次，可能1次也没中奖C

23、某顾客消费210元，一定不能中奖D某顾客消费1000元，至少能中奖1次【答案】B【解析】中奖概率表示每一次抽奖中奖的可能性都是，故不论抽奖多少次，都可能一次也不中奖，故选：B.【一隅三反】1(2021安徽省涡阳第一中学 )下列说法正确的是( )A某医院治疗某种疾病的治愈率为，前人没有治愈，则后两个人一定治愈B甲乙两人乒乓球比赛，乙获胜的概率为，则比赛场，乙胜场C某种药物对患有咳嗽的名病人进行治疗，结果有人有明显效果.现对咳嗽的病人服用此药，则估计会有明显疗效的可能性为D随机试验的频率与概率相等【答案】C【解析】在A中，某医院治疗某种疾病的治愈率为，是说明有多大把握治愈，而不是具体的多少人能够治

24、愈，故A错误；在B中，概率是说明事件发生的可能性大小，其发生具有随机性，虽然乙获胜的概率为，但是比赛场，乙胜场的说法不符合定义，故B错误；在C中，估计会有明显疗效的可能性为，故C正确；在D中，频率和概率是两个不同的概念，故D错误.故选：C.2(2021全国高一课时练习)有下列说法：(1)某人连续12次投掷一枚骰子，结果都是出现6点，他认为这枚骰子的质地是均匀的(2)某地气象局预报，明天本地下雨概率为70%，由此认为明天本地有70%的区域下雨，30%的区域不下雨(3)抛掷一枚质地均匀的硬币出现正面的概率为0.5，那么连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币，都出现反面的概率是(4)围棋盒里放有同样大小的9枚白棋子和1枚黑棋子，每次从中随机摸出1枚棋子后再放回，一共摸10次，认为一定有一次会摸到黑子其中正确的个数为( )A0B2C3D1【答案】D【解析】由题意得：某人连续12次投掷一枚骰子，结果都是出现6点，这枚骰子的质地可能是不均匀的，故(1)不正确；某地气象局预报，明天本地下雨概率为，是指要下雨的把握有多大，故(2)不正确；抛掷一枚质地均