反比例函数中面积问题专题课程教学教案

1、.反比率函数中的面积问题合用学科初中数学合用年级初中二年级合用地区全国课时时长（分钟）60分钟知识点1.函数的相交问题，主要探究函数相交的交点个数及怎样计算交点坐标，并进一步探究x取何值时，一次函数与反比率函数值的大小比较；教学目的教学重点教学难点2.相交时所围成的三角形的面积问题。1娴熟应用函数图像与性质知识；2灵活掌握反比率函数中面积问题的几种题型；3娴熟一次函数与反比率函数的综合应用。反比率函数中面积问题波及题型的掌握。反比率函数与一次函数联合出现的面积问题所波及的解题方法的概括。教学过程一、复习预习由于反比率函数解析式及图象的特殊性，好多中考试题都将反比率函数与面积联合起来进行考察。这

2、种考察方式既能考察函数、反比率函数本身的基础知识内容，又能充分体现数形联合的思想方法，考察的题型宽泛，考察方法灵活，能够较好地将知识与能力交融在一同。这类反比率函数与一次函数的交点问题以及相交后求围成三角形的面积的题型难度很大，并且属于学生在计算中的难点问题，概括起来有两个方面：1、函数的相交问题，主要探究函数相交的交点个数及怎样计算交点坐标，并进一步探究x取何值时，一次函数与反比率函数值的大小比较；2、相交时所围成的三角形的面积问题。现以近年中考试题为例加以解析，希望能对同学自主学习有所帮助。二、知识解说1反比率函数的定义：一般地，形如yk（ykx1或xyk）（k为常数，k_0）的x.函数叫

3、做反比率函数2反比率函数的性质：反比率函数yk（k0）的图象是_当k0时，两分x支分别位于第_象限内，且在每个象限内，y随x的增大而_；当k0,由结论及已知条件得kk=42，2【例题2】【题干】如图，已知双曲线yk(k0)（xf0）经过矩形OABC的边AB，x.BC的中点F、E，且四边形OEBF的面积为2，则k【答案】k=2【解析】连结OB，E、F分别为AB、BC的中点而sVOCEsVOAFk，由四边形OEBF的面积为2得kk2，解得k=2。222评注：第小题中由图形所在象限可确定k0，应用结论可直接求k值。第小题首先应用三角形面积的计算方法解析得出四个三角形面积相等，列出含k的方程求k值。题

4、型二：已知反比率函数解析式，求图形的面积【例题3】【题干】在反比率函数y4的图象中，阴影部分的面积不等于4的是（）xABCD【答案】B【解析】因为过原点的直线与双曲线交点对于原点对称，故B、C、D的面积易求。对于A：S=4，对于B：阴影中所含的三个小直角三角形面积相等，故S=346；对于C：S=4，对2于D：S=4应选（B）题型三：利用数形联合思想求点的坐标，注意分类议论.【例题4】【题干】已知一次函数y=kx+b(ko)和反比率函数y=k的图象交于点A(1，1)2x求两个函数的解析式；(2)若点B是x轴上一点，且AOB是直角三角形，求B点的坐标【答案】解：（1）点A（1，1）在反比率函数k的

5、图象上，k=2，反比率函数的y12x解析式为：yy=2x+b，点A（1，1）在一次函数y=2x+b。设一次函数的解析式为：x的图象上，b=-1，一次函数的解析式为y=2x-1。（2）如图，点A（1，1），AOB=45，AOB是直角三角形，点B只能在x轴正半轴上，当OBA=90时，即BAOB，AOB=45，BA=OB，B（1，0）；1111111当OAB2=90时，AOB2=AB2O=45，B1起OB2的中点，B2（2，0），综上可知，B点坐标为（1，0）或（2，0）。例4题图例5题图【例题5】【题干】如图，一次函数y=ax+b的图象与反比率函数yk的图象交于M、N两点x求反比率函数和一次函数的

6、函数关系式(2)根据图象写出使反比率函数的值大于一次函数的值的x的取值范围【答案】解：（1）yk的图象经过N（1，4），k=xy=1（4）=4反比率4x4函数的解析式为。又点M在yy的图象上，m=2M（2，2）又直线y=ax+bxx图象经过M，N，一次函数的解析式为y=2x2；（2）由图象可知：反比率函数的值一次函数的值的x的取值范围是x1或0 x2.题型四：利用点的坐标及面积公式求图形的面积【例题6】【题干】如图，已知A(4,n),B(2,4)是一次函数ykxb的图像和反比率函数ym的x图像的两个交点（1）求反比率函数和一次函数的解析式；（2）求直线AB与x轴的交点C的坐标及三角形AOB的面

7、积【答案】解：（1）QB(2,4)在ymm8反比率函数的解析式为：y8上xx点A(4,n)在y8上A(4,2)。经过，x，解之得一次函数的解析式为：（2）是直线与轴的交点，当时，点评注：对于例4、例5、例6种类的题目，其解题方法基本上都是分三步：先由条件求函数解析式，再经过解方程组求交点坐标，最后由面积公式计算面积。难度属中档题。题型五：利用反比率函数的对称性求相关的面积问题【例题7】16【题干】已知,A、B、C、D、E是反比率函数y（x0）图象上五个整数点（横、纵坐x标均为整数），分别以这些点向横轴或纵轴作垂线段，由垂线段所在的正方形边长为半径作四分之一圆周的两条弧，组成如图5所示的五个橄榄

8、形（阴影部分），则这五个橄榄形的面积总和是（用含的代数式表示）【答案】x,y为正整数，x=1,2,4,8,16，即A、B、C、D、E五个点的坐标为(1,16)、(2,8)、.(4,4)、(8,2)、(16,1)，因五个橄榄形对于y=x对称，故有S=13-26。题型六：与其余知识联合，如一元二次方程、相像形、二次函数等【例题7】【题干】如图，一次函数y=x+8和反比率函数yk（x0）的图象在第一象限内有两个x不同的公共点A(x1，y1)、B(x2，y2)求实数k的取值范围若AOB的面积SAOB=24，求k的值【答案】解：（1）y=-x+8与y=k/x联立已知k0，x2-8x+k=0，64-4k0

9、，得0k16。2）设两个交点横坐标为x1和x2，根据x2-x1=6以及x2-8x+k=0，（x2+x1）2-4x1x2=36，由韦达定理x1+x2=8；x1x2=k解得k=7。【例题8】【题干】如图，已知：一次函数：yx4的图像与反比率函数：y2(x0)的图像分x别交于A、B两点，点M是一次函数图像在第一象限部分上的随意一点，过M分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为M1、M2，设矩形MM1OM2的面积为S1；点N为反比率函数图像上随意一点，.过N分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为N1、N2，设矩形NN1ON2的面积为S2；1）若设点M的坐标为(x，y)，请写出S1对于x的函数表达式，并求x取何值

10、时，S1的最大值；2）察看图形，经过确定x的取值，试比较S1、S2的大小【答案】解：(1)S1x(x4)x24x=(x2)24，当x2时，S1最大值4。（2）S22，由S1S2可得：x24x2，x24x20，x22。通过察看图像可得：当x22时，S1S2。当0 x22或x22时，S1S2；当22x22时，S1S2。四、讲堂运用【基础】例1、2变式1.如图，矩形ABOD的极点A是函数yk(k0)与函数yx(k1)在第二象限的交x点，ABx轴于BADy轴于DABOD，且矩形的面积为3（1）求两函数的解析式（2）求两函数的交点A、C的坐标（3）若点P是y轴上一动点，且，求点P的坐标.答案解：（1）由

11、图象知k0，由结论及已知条件得-k=33反比率函数的解析式为y，一次函数的解析式为yx2x（2）由，解得，点A、C的坐标分别为（，3），（3，）（3）设点P的坐标为（0，m）直线与y轴的交点坐标为M（0，2），PM5,即m25,22m9或m1，点P的坐标为（0，9）或（0，1）。2222y解析依据图象及结论求k值是本题的重点，只有求出k代值，才能A经过解方程组求A、C两点的坐标，然后才能解决第小问。S1BS22.例3变式Ox8题图如图，点A、B是双曲线y3上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，若xS阴影1，则S1S2答案解：点A、B是双曲线y=3上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴

12、作垂线段，x.则根据反比率函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于|k|=3，S1+S2=3+3-12=4故填空答案：4解析欲求S1+S2，只需求出过A、B两点向x轴、y轴作成的矩形的面积即可，而矩形面积为双曲线y=的系数k，由此即可求出S1+S2垂线段求出与坐标轴所形3x本题难度较大，考察了反比率函数的图象和性质及任一点坐标的意义例题4、5变式3.若一次函数y=2x1和反比率函数y=k的图象都经过点(1，1)2x求反比率函数的解析式；(2)已知点A在第三象限，且同时在两个函数的图象上，求点A的坐标。利用(2)的结果，若点B的坐标为(2，0)，且以点A、O、B、P为极点的四边形是平行四边形，请你

13、直接写出点P的坐标答案解：（1）反比率函数y=k的图象经过点（1，1），1=k，解得k=2，反比率函数的2x2解析式为y=1；x（2）解方程组得，点A在第三象限，且同时在两个函数图象上，A（13，-2），P（55，2）。，-2）；（3）P（，-2），P（1223222【牢固】1.如图，一次函数y1=kx+b的图象与反比率函数y2mA（，）和点B，的图象相交于点x23与x轴相交于点C（8，0）.（1）求这两个函数的解析式；（2）当x取何值时，y1y2变式：当x0时，比较y1和y2的大小。答案解：（1）把A（2，3）代入y2mm。反比率函数的解析式为y26A（，得。把x=6x2+，得2k+b=3k

14、=113）、（8，0）代入y1=，解得。一次函数的解析式为y1=Ckxb2。8k+b=0 x+4b=42y6xx16x22（2）由题意得。从图象可得，当x0或2x6时，1，解得1，3yx+4y1y22yy。变式：当0 x2和x6时，yy；当x2或x6时，y1y2；当2x6时，121212yy。解析（1）将A、B中的一点代入y2=mx，即可求出m的值，进而获得反比率函数解析式，把A（2，3）、C（8，0）代入y1=kx+b，可获得k、b的值；（2）根据图象可直接获得y1y2时x的取值范围本题考察了反比率函数与一次函数的交点问题，熟悉待定系数法以及理解函数图象与不等式的关系是解题的重点2.如图，直

15、线与反比率函数ym0）的图象相交于点A、点B，与x轴（x交于点C，其中点A的坐标为（2，4），点B的横坐标为4。（1）试确定反比率函数的关系式；（2）求AOC的面积.答案解：（1）点A（-2，4）在反比率函数图象上，4=k-2，k=-8，反比率函数解析式为y=8。x（2）B点的横坐标为-4，y=8，y=2B(-4，2)。点A（-2，4）、点B（-4，2）4在直线y=kx+b上，4=-2k+b，2=-4k+b，解得k=1，b=6。直线AB为y=x+6。x轴的交点坐标C（-6，0），SAOC=1CO?yA=164=12。22解析k主要考察了用待定系数法求函数解析式和反比率函数yx中k的几何意义，这

16、里体现了数形联合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义图象上的点与原点1所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系S=|k|23.如图，A和B都与x轴和y轴相切，圆心A和圆心B都在反比率函数y1的图象上，x则图中阴影部分的面积等于.答案设圆A的圆心A的坐标为(x,y)，由图可知，x=y，A点在反比率函数1图象上，x1y，解得x=1进而所求面积为。xx解析根据反比率函数的对称性，阴影部分的面积正好组成圆，利用圆的面积公式即可求解本题主要考察了反比率函数的对称性，理解阴影部分的面积正好组成圆是重点【拔高】1.如图，一次函数ykxb的图象与坐标轴分别交于AB两点，与反比率函

17、数ym的x图象在第二象限的交点为C，CDx轴，垂足为D若OB2，OD4，AOB的面积为1求一次函数与反比率函数的解析式；直接写出当x0的解集x答案解：（1）OB=2，AOB的面积为1，B（2，0），OA=1，A（0，1）.b1，k11x102，y2kbb12又OD=4，ODx轴，C（4，y），将x4代入y1x1得y=1，C（4，1）1m，24m4，y4xk（2）当x0时，kxb0的解集是x4x解析1）根据点A和点B的坐标求出一次函数的解析式再求出C的坐标是（-4，1），利用待定系数法求解即可求反比率函数的解析式；（2）根据一次函数y=kx+b的图象与反比率函数y=mx的图象在第二象限的交点为C

18、即可求出当x0时，kx+b-mx0的解集本题主要考察了反比率函数与一次函数的交点问题，用到的知识点是待定系数法求反比率函数与一次函数的解析式，这里体现了数形联合的思想，重点是根据反比率函数与一次函数的交点求出不等式的解集2.如图，已知函数y=x与反比率函数y=（x0）的图象交于点A将y=x的图象向下平移6个单位后与双曲线y=交于点B，与x轴交于点C（1）求点C的坐标；（2）若=2，求反比率函数的解析式.答案解：（1）y4x向下平移6个位，得y4x6，点C的坐（xC，0），4xC60，33399，0）；xC，点C的坐（22（2）点A的坐（xA，4xA），点B的坐（xB，4xB6），33若OA2，

19、xA2，即xA2xB9CBxB92点A、B在k424，yx上，k3xA,kxB3xB64xA2xB4xB6即2xA22xB29xB，33把代入得：22xB922xB29xB，2xB221xB540，解得x9（舍去），442或xB6，即点B（6，2），k12，反比率函数的解yB3xB6366212析式yx解析本题考察了反比率函数与一次函数的交点问题：反比率函数与一次函数的交点坐标知足两函数的解析式也考察了相像三角形的判断与性质以及一次函数图象的平移问题课程小结1.函数的相交，主要探究函数相交的交点个数及怎样算交点坐，并一步探究x取何，一次函数与反比率函数的大小比；2.相交所成的三角形的面。课后作

20、业【基】.1、反比率函数yk的图象如下列图，点M是该函数图象上一点，MN垂直于x轴，垂足是x点N，如果SMON2，则k的值为（）(A)2(B)-2(C)4(D)-4解：由图象上的点所组成的三角形面积为可知，该点的横纵坐标的乘积绝对值为4，又因为点M在第二象限内，所以可知反比率函数的系数为k=-4应选D解析：根据反比率函数图象上的点的横纵坐标之积是定值k，同时|k|也是该点到两坐标轴的垂线段与两坐标轴围成的矩形面积即可解答点评：本题主要考察反比率函数的比率系数k的几何意义反比率函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系，即S=1/2|k|2、若A（a1，

21、b1），B（a2，b2）是反比率函数y2121图象上的两个点，且aa，则bx与b2的大小关系是（）Ab1b2Bb1=b2Cb1b2D大小不确定解：k0，函数图象，图象在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，a1a20，b1b2应选：C解析：根据反比率函数的性质，k0，a1a20，在第二象限内，y随x的增大而增大，则b1b2.点评：本题考察了由反比率函数图象的性质判断函数图象上点的坐标特点，得出两点所在象限是解题重点3、函数yxm与ym(m0)在同一坐标系内的图象能够是（）xyyyyxxxxOOOOABCD解：A、由函数y=x+m的图象可知m0，由函数y=m/x的图象可知m0，相矛盾，

22、故错误；B、由函数y=x+m的图象可知m0，由函数y=m/x的图象可知m0，正确；C、由函数y=x+m的图象可知m0，由函数y=m/x的图象可知m0，相矛盾，故错误；D、由函数y=x+m的图象可知m=0，由函数y=m/x的图象可知m0，相矛盾，故错误应选B解析：先根据一次函数的性质判断出m取值，再根据反比率函数的性质判断出m的取值，二者一致的即为正确答案点评：本题主要考察了反比率函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题4、如图，反比率函数y5的图象与直线ykx(k0)相交于B两点，ACy轴，BCxx轴，则ABC的面积等于个面积单位。.解：设A的坐标是：（a，b），则ab

23、=5，B的坐标是：（-a，-b），AC=2b，BC=2a，则ABC的面积是：1/2AC?BC=1/22a?2b=2ab=25=10应选C解析：设A的坐标是：（a，b），则ab=5，B的坐标是：（-a，-b），则AC=2b，BC=2a，根据直角三角形的面积公式即可求解点评：本题考察了反比率函数的图象，以及三角形的面积，正确理解A、B对于原点对称是重点5函数y=1与y=x2图象交点的横坐标分别为a,b，则11的值为。xab解：根据题意得1/x=x-2，化为整式方程，整理得x2-2x-1=0，函数y=1/x与y=x-2图象交点的横坐标分别为a，b，a、b为方程x2-2x-1=0的两根，a+b=2，a

24、b=-1，1/a+1/b=（a+b）/ab=2/-1=-2故答案为-2解析：先根据反比率函数与一次函数的交点坐标知足两函数的解析式获得1/x=x-2，去分母化为一元二次方程获得x2-2x-1=0，根据根与系数的关a+b系获得a+b=2，ab=-1，ab然后变形1/a+1/b得，再利用整体思想计算即可点评：本题考察了反比率函数与一次函数的交点问题：反比率函数与一次函数的交点坐标知足两函数的解析式也考察了一元二次方程根与系数的关系.变式：函数y=1与y=x2图象一个交点的坐标为(a,b)，则11。xab【牢固】1.如右图，直线AB交双曲线yk于、B，交x轴于点C,B为线段AC的中点，过点B作BMx

25、x轴于M，连结OA.若OM=2MC,SOAC=12.则k的值为_.解：过A作ANOC于N，BMOCANBM，B为AC中点，MN=MC，OM=2MC，ON=MN=CM，A的坐标是（a，b），则B（2a，1/2b），SOAC=121/2?3a?b=12，ab=8，B在y=k/x上，k=2a?1/2b=ab=8，故答案为：8解析：过A作ANOC于N，求出ON=MN=CM，设A的坐标是（a，b），得出B（2a，1/2b），根据三角形AOC的面积求出ab=8，把B的坐标代入即可求出答案点评：本题考察了一次函数和反比率函数的交点问题和三角形的面积的应用，主要考察学生的计算能力2.如果一个正比率函数的图象与

26、一个反比率函数y6A(x1,y1),B(x2,y2)，那的图象交x么(x2x1)(y2y1)值为.解：正比率函数的图象与反比率函数y=6/x的图象交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，x1=-x2，y1=-y2，（x2-x1）（y2-y1）=x2y2-x2y1-x1y2+x1y1=x2y2+x2y2+x1y1+x1y1=64=24故答案为：24解析：正比率函数与反比率函数y=6/x的两交点坐标对于原点对称，依此可得x1=-x2，y1=-y2，将（x2-x1）（y2-y1）展开，依此关系即可求解点评：考察了反比率函数与正比率函数的交点问题，正比率函数与反比率函数的两交点坐标对于原点对称3.已知反比率函数y6在第一象限的图象如下列图，点A在其图象上，点B为x轴正半x轴上一点，连结AO、AB，且AOAB，则SAOB解：过点A作ACOB于点C，AO=AB，CO=BC，点A在其图象上，1/2ACCO=3，1/2ACBC=3，SAOB=6故答案为：6解析：根据等腰三角形的性质得出CO=BC，再利用反比率函数系数k的几何意义得出SAOB即可点评：本题主要考察了等腰三角形的性质以及反比率函数系数k的几何意义，正确实割AOB是解题重点.4.如图，一次函