《实变函数》课程教学大纲

1、实变函数课程教学大纲一、课程概况所属专业:数学与应用数学专业开课单位：数学计算机科学科学院课程类型:专业方向课程课程代码:07411140开课学期:5学分：4学时：68核心课程:是拟使用教材： 程其襄，张奠宙等编， 实变函数与泛函分析基础(第三版)， 高等教育出版社，2010年。国内(外)现有教材： 夏道行，吴卓人等，实变函数论与泛函分析(上册，第二版)，高等教育出版社，2010年周民强, 实变函数, 北京, 北京大学出版社, 1995年郑维行，王声望， 实变函数与泛函分析概要（第二版），高等教育出版社，1992年Torchinsky A，Real Variables，New York ：Ad

2、dison-Wesley Pub. Comp-Inc, 1988学习参考资料：魏国强等编著, 实变函数与泛函分析学习指导，高等教育出版社，2004年二、课程描述 实变函数是高等师范院校数学专业的一门必修课程。 它是数学分析课程内容的深化与发展，是近代分析数学的基础。本课程的主要内容是建立n维欧氏空间上的Lebesgue 测度和积分理论。通过本课程的学习,学生能够掌握实变函数论的基本理论和方法,例如集合分析、函数构造等；结合一些相当细致的概括性高的分析技巧解决一些跨学科的应用问题。同时, 通过本课程的学习, 加深学生对数学分析课程中知识的理解。本门课程也为学生进一步深入学习泛函分析、拓扑学、微分

3、方程、概率论、随机过程等现代数学各个学科提供基础。三、课程目标通过各个教学环节逐步培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力，还要特别注意培养学生的熟练运算能力和综合运用所学知识去分析解决问题的能力。从内容上，通过这门课程的教学应使学生熟练掌握本课程的基本概念、基本理论及其推导过程。系统掌握Lebesgue测度和Lebesgue 积分理论，使学生了解和掌握逐步深入地分析问题和解决问题的方法，提高分析问题和解决问题的能力，培养抽象的思维能力，为进一步钻研现代数学数学理论打下基础。四、教学要求实变函数课程是由定义，定理组合而成的一套理论体系。其课程特点为内容抽象, 理论严谨, 概

4、念性很强。如果只是死记硬背，考前突击复习等等方式很显然无法掌握本门学科精髓，更不要谈融会贯通本科学思想方法到其他学科中去。作为刚刚入门的学生而言，一定会有些不适应。因此学生在学习本课程时需要更主动些，有任何不懂的问题，都可以直接和主讲老师，助教或者其他同学交流讨论。根据本门学科的特点，课堂上记录笔记的习惯通常会更好的帮助学生课下整理总结，理解课程的内容和思想方法。课下根据教师授课内容及时理解，事半功倍。认真独立完成作业也是深入理解课程内容必要的途径。教师在教学过程中可穿插讲解实变函数学科发展的简要历史和研究进展。五、考核方式及要求为实现课程教学目标，本门课程考核方式及要求为：1. 课堂考勤（1

5、0%）拟随机考勤4次，全到者10分，两次到的5分，一次到的2.5分，一次没有到的0分。2. 平时作业（10%）基本每次课后都布置作业，选取其中10次，进行考核：次数（次）9次以上8次7次6次5次4次3次3次以下分数（分）1087654323. 期中测试（20%）以闭卷形式进行随堂测试。4. 期末考核（60%）闭卷形式进行期末考试。除了实函考试中常见的证明题外，注重考查学生的判别题。要求学会举反例。六、课程内容第一章：集合（授课时间：第五学期第一、二周）教学目标：了解集合的概念，掌握集合的运算和集合关系式的论证的基本方法；理解映射、集合对等及基数概念，掌握可数集的概念及其性质、了解不可数集。教学

6、重点：着重讲清可数基数的概念，为测度论中的可数可加性做准备。教学难点：集合的基数。学 时：课堂教学8学时，课外自主学习时间不少于8学时。教学方法：讲授法主要内容：1、集合概念：集合与元素，集合的表示法，集合的包含与相等。2、集合的运算：并集、交集、差集、余集、De Morgan法则， 上限集，下限集，单调集列。3、集合的基数，映射、集合的对等及性质，Bernstein定理。4、可数集及其运算，不可数集。学习方法：课外练习、小组讨论。课后作业：完成教材第29-30页练习题2-7，9-13，并在下周课前提交。第二章：点集（授课时间：第五学期第三、四周）教学目标：了解n维欧氏空间的概念，掌握邻域的定

7、义及基本性质；理解重要类型的点和点集；熟悉Cantor集的结构及其性质，掌握一维空间上开集与闭集的构造。教学重点：n维欧氏空间的拓扑性质,直线上开集的构造定理。教学难点：直线上开集的构造定理, Cantor集的性质。学 时：课堂教学10学时，课外自主学习时间不少于10学时。教学方法：讲授法主要内容：1、n维欧氏空间，两点间的距离，邻域，点列的收敛，点集间的距离，有界集，区间。2、内点，聚点，界点；开集，闭集，完备集。3、中开集、闭集及完备集的构造，Cantor集。学习方法：课外练习、小组讨论。课后作业：完成教材第51-52页练习题2-9，11, 13，并在下周课前提交。第三章：测度论（授课时间

8、：第五学期第五、六周）教学目标：理解Lebesgue外测度的概念，掌握外测度的基本性质；理解L可测集、L测度的概念及性质，掌握用 Caratheodory条件给出的L可测集定义以及可测集的性质。知道不可测集的存在。教学重点： Lebesgue测度的诱导, 可测集类。教学难点：可测集的等价表示。学 时：课堂教学8学时，课外自主学习时间不少于12学时。教学方法：讲授法主要内容：1、Lebesgue外测度及其性质。2、Lebesgue测度与可测集。3、可测集的性质。4、和型集，Borel集。学习方法：课外练习、小组讨论。课后作业：完成教材第74-75页练习题1,2,4-9，11-13，并在下周课前提

9、交。第四章：可测函数（授课时间：第五学期第七至十一周）教学目标：理解可测函数的概念，掌握可测函数的等价定义及判断函数可测的基本方法，掌握可测函数的基本性质；理解几乎处处的概念以及依测度收敛的概念，弄清可测函数列的几乎处处收敛、一致收敛和依测度收敛的关系，了解可测函数的结构；熟悉叶果洛夫定理、鲁津定理。教学重点：延伸测度论的思想，讲透各种函数列收敛的关系，为积分论中的极限与积分交换定理做准备。教学难点：叶果洛夫定理、鲁津定理的证明。学 时：课堂教学16学时，课外自主学习时间不少于24学时。教学方法：讲授法主要内容：1、可测函数及其一般性质，可测函数类。2、可测函数列的收敛性。一致收敛、几乎处处收

10、敛，依测度收敛及其关系。3、叶果洛夫定理、鲁津定理。学习方法：课外练习、小组讨论。课后作业：完成教材第94-95页练习题2-3，7-9，10-13, 并在下周课前提交。第五章：积分论（授课时间：第五学期第十二至十五周）教学目标：理解Lebesgue积分的概念，弄清Riemann积分与Lebesgue 积分的关系，掌握Lebesgue积分的性质；了解积分的极限定理，掌握Lebesgue控制收敛定理, Fatou引理, Levi单调收敛定理和Lebesgue逐项积分定理的综合使用。 教学重点：在讲解积分与极限交换定理时，着重对Lebesgue控制收敛定理和Levi定理，Fatou引理讲请讲透。教学

11、难点：积分概念的引入, Lebesgue控制收敛定理的证明。学 时：课堂教学14学时，课外自主学习时间不少于20学时教学方法：讲授法主要内容：1、Riemann积分，Lebesgue积分的定义，一般可积函数，Lebesgue积分的性质。2、积分的极限定理。3、Lebesgue积分的几何意义, Fubini定理。学习方法：课外练习、小组讨论。课后作业：完成教材第132-136页练习题3-4,6-7,10-15,17,19,22,24-26,32, 并在下周课前提交。第六章：微分与不定积分（授课时间：第五学期第十六至十七周）教学目标：理解有界变差函数的概念及其重要性质；理解不定积分和绝对连续函数的概念，掌握它们之间的关系。教学重点：有界变差函数。教学难点：单调函数的可导性，可只讲证明要点，不详细展开。重点在于理解定理的条件，并运用定理证明的结论与方法。学 时：课堂教学12学时，课外自主学习时间不少于18学时教学方法