《1.2 直观图》教学案

1、1.2直观图教学案三维目标1知识与技能了解空间几何体的表示形式，进一步提高对空间几何体结构特征的认识(2)掌握斜二测画法的规则，会用斜二测画法画直观图2过程与方法通过用斜二测画法画水平放置的平面图形和空间几何体的直观图，提高学生识图和画图的能力，培养学生转化与化归的数学思想方法3情感、态度与价值观通过画直观图培养学生的探究精神和意识，通过把空间图形在平面上反映，体会现实与抽象的关系，体会数学的科学价值、应用价值重点难点重点：用斜二测画法画空间几何体的直观图难点：直观图与原图形之间的转化关系教学建议通过观察正方体的直观图，让学生感受一下直观图的立体感，教师引导学生认识斜二测画法的规则，在教师的指

2、导下画出平面图形的直观图进而过渡到立体图形的直观图，让学生在画图中体会斜二测画法教学流程仓U设问题情境引出问题：用什么方法画图使的图形立体感强，引出斜二测画法O通过例1及其变式训练，使学生掌握用斜二测画法画平面图形的直观图O通过例2及互动探究，使学生掌握立体几何图形的直观图的画法n通过例3及变式训练，使学生掌握直观图与原图形之间的转化n归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识匕完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正课标解读了解空间几何体的表示形式，进一步提高对空间几何体结构特征的认识.掌握斜二测画法的规则，会用斜二测画法画直观图.(重点).知识1斜二测画法【问题导思】下面都是经典的

3、图画与照片，反映着大自然、古今建筑、航空航天等真实、美丽、壮观、祥和、有意义的场景从数学的角度看，它们都是空间图形在平面上的反映我们怎样利用手中的纸和笔将空间几何体画为平面图形且不失真实感受呢？一个水平放置的平面图形，如果是正方形，那么它的直观图还是正方形吗？【提示】不再是正方形，是平行四边形斜二测画法规则在已知图形中建立直角坐标系xOy,画直观图时，它们分别对应x轴和y轴，两轴交于点O使厶Oy=45,它们确定的平面表示水平平面.已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x轴和y轴的线段.已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长1度为原来的知识

4、2空间立体图形的直观图画法【问题导思】如何由画平面图形直观图过渡到画立体图形的直观图？【提示】画完水平放置的平面图形的直观图后，多画一条表示高度的数轴z轴.立体图形与平面图形相比多了一个z轴，其直观图中对应于z轴的是z轴，平面xOy表示水平平面，平面yOz和xOz表示直立平面.平行于z轴的线段，在直观图中平行性和长度都不变.类型1水平放置的平面图形直观图的画法例1如图121是正方形ABCE和正三角形CDE所组成的平面图形，试画出其水平放置的直观图【思路探究】首先在所给图形中建立一个直角坐标系xoyI再对应画出xoyp|按斜二测画法规则作图【自主解答】(1)以AB所在的直线为x轴，AB的中垂线为

5、y轴建立直角坐标系如图(1),建立坐标系xOy，使两轴的夹角为45(图).1以O为中点，在X轴上截取ABAB，分别过A,B作y轴的平行线，截取AE=2a丄1E，BC=2BC.在y轴上截取OD=2OD.连接AE，ED，EC，CD，BC，并擦去作为辅助线的坐标轴，就得到所求的直观图(图(3).规律方法1本题原图形中没有坐标系，则选取适当的坐标系是解决本题的关键2在直观图中确定坐标轴上的对应点及与坐标轴平行的线段的端点的对应点比较简单对原图中不在坐标轴上或者不在与坐标轴平行的线段上的点，常过这些点作坐标轴的平行线，以确定这些点在直观图中对应点的位置变式训练如图122所示，在平面直角坐标系中，各点坐标

6、分别为0(0,0),A(l,3),B(3,1),C(4，6)，D(2，5)试画出四边形ABCD的直观图.【解】(1)先画x轴和y轴，使厶O少=45(如图(1).(2)在原图中作AE丄x轴，垂足为E(1,0).在x轴上截去OE=OE，作人丁轴，截取EA=1.5.同理确定点B、C、D，其中BG=0.5,CH=3,DF=2.5.连线成图(擦去辅助线)(如图(2).类型2立体图形的直观图画法例2画出一个正三棱台的直观图(尺寸：上、下底面边长分别为1cm、2cm,高2cm).【思路探究】画立体图形的直观图与平面图形的直观图有何区别？【自主解答】(1)画轴，以底面厶ABC的垂心O为原点，OC所在直线为y轴

7、，过O点平行于AB的直线为x轴，建立平面直角坐标系，以上底面ABC的垂心O与O的连线为z轴，建立空间直角坐标系.33画下底面，在xOy平面上画厶ABC的直观图，在y轴上量取OC=3cm，OD=6cm.过D作ABx轴，且AB=2cm,以D为中点，贝仏ABC为下底面三角形的直观图.画上底面，在z轴上截取OO=2cm，过O作x，轴x轴，y，轴y轴，3曲在y，轴上量取O,C，=6cm，OD=12cm,过D作ABx，轴，AB=1cm,且以D为中点，贝ABC为上底面三角形的直观图.连线成图，连接AA，BB，CC，并擦去辅助线，则三棱台ABCA，B，C，即为所要画的正三棱台的直观图.规律方法1用斜二测画法作

8、空间图形（立体图形）的直观图，原图形的高在直观图中长度保持不变，本题只要确定了三棱台的上、下底面，整个直观图也就确定了2若两次作底面较为繁琐时，可以先作相应的棱锥，运算确定上底面的位置后，用平面去截取（只需作平行线）互动探究本例中将正三棱台改为上、下底面边长分别为6cm、8cm,高为4cm的正四棱台呢？【解】以底面四边形ABCD的两条对角线交点O为原点，过O点平行于AB的直线为x轴，过O点平行于AD的直线为y轴，建立平面直角坐标系，以上底面四边形A1B1C1D的两条对角线交点O与O的连线为z轴，建立空间直角坐标系.（2）画下底面，以O为中点，在;轴上取线段EF,使得EF=8cm,在y轴上取线段

9、GH,使1得GH=2EF,GH的中点为O,再过G、H分别作ABEF,CD/EF，AB=EF=CD=8cm，且使得AB的中点为G,CD的中点为H,连接AD、BC,这样就得到了正四棱台的下底面ABCD的直观图.（3）画上底面，在z轴上截取线段OO=4cm,过O点作OXOx、Oy/Oy，贝ZxOj，=45.建立坐标系xOj,在xOy中重复步骤的方法画出上底面的直观A1B1C1D1（图）.（4）再连接AABBCCDD1，并擦去辅助线，得到的图形就是所求的正四棱台的直观图（图）.类型3直观图与原图形之间的转化例3如图123，一个水平放置的平面图形的斜二测画法的直观图是一个底角为45，腰和上底长均为1的等

10、腰梯形，求原四边形的面积.【思路探究】在由直观图转换为平面图形的过程中，要注意直观图中的哪些量不变？哪些量改变？怎么改变？【自主解答】如图是四边形的直观图，取BC所在直线为x轴.因为ZABC=45,所以取BA所在直线为y轴.过D作DEAB,DE交BC于E,贝yBE=AD=l.图(1)图(2)又因为梯形为等腰梯形，所以EDC为等腰直角三角形.所以ECh迈.再建立一个直角坐标系xOy,贝贝9、B重合，如图所示，在x轴上截取线段BC=BC=1+2,在y轴上截取线段BA=2BA=2.过A作ADBC，截取AD=AD=1.连接CD,则四边形ABCD就是四边形ABCD的平面图形.四边形ABCD为直角梯形，上

11、底AD=1,下底BC=1+/2，高AB=2,所以S11_梯形BC=2AB(AD+BC)=2x2x(1+1+)=2+-迈.规律方法1平面图形的直观图与原图形之间的关系要注意以下两个方面：平行关系的不变性，充分利用与x轴、y轴平行的线段，是解题的关键.长度关系的规律变化，尤其是与y轴平行的线段计算时应特别注意长度的变化.2求原图形的面积，关键是根据直观图还原成实际图形变式训练如图124,已知OBC是AOiBiC的斜二测画法的直观图，求OBC.*yf7ClL/A、/0/EDBx01EiBix图124【解】法一根据C1E1=2CE=2xJ2a6a,.*.SO1B1C1=2x2ax”6a=V6a2.法二

12、.C1E1=2CE=2、扭CD，且OB=O1B1，1迈.*.SO1B1C1=2；2Sobc=22x2X2ax2a=讨6a2.忽视斜二测画法的规则致误典例画出图125中四边形OABC的直观图（图中数据已给出）.【错解】以O为原点，OB所在直线为x轴建立直角坐标系xOy,如图甲，作ZCOB，=45,其中OB是水平的，0&，=4,O,D,=3，O，C=1,过D，作ZBDA=90。，使AD=1,顺次连接OA,AB,BC所得四边形OABC即为四边形OABC的直观图，如图乙.【错因分析】坐标轴上的点O,B,C画得正确，点A的直观图位置画错了，应该依据点A到y轴的距离不变，至氏轴的距离减半的方法确定A的位置

13、.防范措施】熟练斜二测画法的规则即平行性与长度问题是解决此类问题的关键【正解】如图所示，作ZCOB=45。，其中OB是水平的，OB=4,OD=3,OC=1,过点D作ZBDA=135，使AD=l,顺次连接OA，AB，BC，所得四边形即为四边形OABC的直观图.斜二测画法的要点是横不变、纵减半、平行位置不改变.无论画平面图形的直观图，还是画空间图形的直观图，都要严格按照斜二测画法.在直观图中，原来与轴平行的线段仍然与轴平行，角的大小一般都会改变，因此已知直观图而计算原图中的有关数据时，首先要将直观图复原.1.关于斜二测画法画直观图，下列说法不正确的是()在实物图中取坐标系不同，所得的直观图有可能不

14、同平行于坐标轴的线段在直观图中仍然平行于坐标轴平行于坐标轴的线段长度在直观图中仍然保持不变斜二测坐标系取的角可以是1351【解析】平行于y轴的线段在直观图中变为原长的2【答案】C2如图126为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是()【答案】C有一个长为5cm,宽为4cm的矩形，则其斜二测直观图的面积为【解析】直观图的面积Sf=5x4x2szn45=5、,hcm2.【答案】52cm2画出如图127所示的梯形ABCD的直观图.【解】画法：(1)如图所示，在梯形ABCD中，以边AB所在的直线为x轴，点A为原点，建立平面直角坐标系xOy.如图所示，画出对应的x轴，y轴，使Zx,A,y,=45.(2)

15、如图所示，过D点作DE丄x轴，垂足为E.如图所示，在x轴上取AB=AB,AE1=AE；过E作EDy轴，使ED=2ED，再过点D作DCx轴，且使DC=CD.连接AD、BC、CD,并擦去X轴与y轴及其他一些辅助线，如图所示，贝四边形ABCD就是所求作的直观图.AfBf一、选择题利用斜二测画法得到：三角形的直观图是三角形；平行四边形的直观图是平行四边形；梯形的直观图是梯形；矩形的直观图是矩形；菱形的直观图菱形.以上结论正确的是()B.C.D.【解析】由斜二测画法的规律知：画出直观图时，平行性不变，垂直性改变，故正确，错.应选B【答案】B如图128,直观图所表示的平面四边形ABCD是()任意四边形直角

16、梯形等腰梯形平行四边形【解析】错误!)直角梯形【答案】B3如图129，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原来图形的形状是()解析】答案】AycB/.0DAx图12104.如图1210所示，四边形OABC是上底为2,下底为6,底角为45。的等腰梯形，由斜二测画法得到这个梯形的直观图为四边形OABC,在直观图中梯形的高为()A.2B12C.21D.2【解析】按斜二测画法，得到梯形的直观图OABC,如右图所示，在原图形中梯形的高CD=2，在直观图中CD=1,且ZCDE=45。，作CE垂直于x轴于E,贝CE即为直2观图中梯形的高，那么CE=CDsin45=2.答案】C5一个水

17、平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，如图1211所示，则原平面图形的面积为()A.4右B.4；2C.8込D.82【解析】由斜二测画法可知，原平面图形是一个平行四边形，且它的一组对边长为2，在直观图中OB=2边，且ZBOA=45。，则在原平面图形中，ZBOA=90,且OB=.2,因此，原平面图形的面积为2x4迂=8.迂.【答案】D二、填空题6.(2013广州高一检测)已知菱形ABCD的边长是4,ZDAB=60,则菱形ABCD的斜二测直观图的面积是【解析】由已知得BD=4,AC=4,3，且AC丄BD,所以其斜二测直观图的面积为S=2x4/3x4x2x

18、sin45=2：/6.【答案】技67.已知直角坐标系xOy内有两点B(0，2迈)，A(4,0)用斜二测画法画AB的直观图AB,则AB的长度是.在新坐标系xOy中OA=4,OB2,【解析】结合直角坐标系xOy中条件知,作BH丄x轴于点H在RtOBH中，易知BH=1；由RtBAH中，易知AB=.12+32=;五.【答案】!0如图1212所示是水平放置的ABC在直角坐标系中的直观图，其中D是AC的中点，原ACB中，ZACB工30,贝V原图形中与线段BD的长相等的线段有条.【解析】先按照斜二测画法把直观图还原为真正的平面图形，然后根据平面图形的几何性质找与线段BD长度相等的线段，把厶ABC还原后为直角

19、三角形，则D为斜边AC的中点,AD=DC=BD.【答案】2三、解答题画水平放置的直角梯形的直观图.【解】(1)在已知的直角梯形OBCD中，以底边OB所在直线为x轴，垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立直角坐标系，如图(1)所示.1画相应的x轴和y轴，使ZxOy=45.在X轴上取OB=OB,在y轴上取OD=2OD,过D作x轴的平行线1，在l上沿x轴正方向取点C,使得DC=DC，如图(2)所示.连接BC，所得四边形OBCD就是直角梯形OBCD的直观图，如图(3).画出底面边长为2cm,高为3cm的正四棱锥的直观图.【解】画法如下：(1)画轴：如图(1),画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O,使厶Oy

20、=45,厶Oz=90.图图(2)画底面：以点O为中点，在%轴上取线段MN,在y轴上取线段PQ，分别使MN=2cm,PQ=1cm,再分别过点M、N作y轴的平行线，过点P、Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A、B、C、D,四边形ABCD即为正四棱锥的底面ABCD.(3)画高，在z轴上截取OS=3cm.成图，连接SA,SB,SC,SD,并去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，就得正四棱锥的直观图，如图(2)11.在水平放置的平面Q内有一边长为1的正方形ABCD,如图1213，其中对角线AC在水平位置.已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的真实图形并求出其面积.【解】真实图形如图所示.因为AC在水平位置，四边形ABCQ，为正方形，所以在四边形ABCD