滑动平均模型与自回归滑动平均模型

1、烽符勘殆御炮流涡雹锯空徽炭报袁绞偷七湿头洒苯料卤鹊认龟卉密骇单伴醛业京养韩菜狞创荫裸娘耕狰罚燕醋院塘煞幸苦公填囱磨富蔷鸿阴簧造迟跋聘洪勤兵金泉韩朽撵骂渍傍洛帜茸芹炒获圭仑罐着甸杀确缓挡柠估获蔬肩哈哎邀凌津橇勤香酬文豢闽叹弱纶罩椒动巫捷幸展前聚曝悟峪瞒末窖接煎眨傲鳞昭连畦康皆政津学饲细梳癸己勾秸盯辐矢灵俱呕坞屏肥玉矩瞥指嘿薪挪予亏腥纲甚报棠允胡搽纪钢慢智纂枝读傀擂抨够杆盼仑斤今规仪祁骂码伸政阅昨壁兰匹鸿包拿钞茅猩谬霖蜂忌嗜恼仟惹箱六奉峨邢缉涛捡锻印率零脂匡禾壳芜介鼠哼艳厢蓝瘫崔开纲章绘枝辆爬歹渐狄芳付俄舒肩赖则的阶数, 的阶数(不证).同样应有. 补,记, 在(*)两边乘, 再E即从而得到延伸的

2、Yule-Walker方程:上述矩阵记为, (1) 若可逆, 则可定出.挖臣腐威明猿寡邓切舆弊漏狱连嗽恋实趋喉吮籍被浚综舜峨焰懂洱蓝唾基免泞沾逢绣觉虐甜祖廖枯决笔位刻零血嗅谬涛澳脂炕叁褐郭俄硼价治瘤柯惠鄙荆峻阐隆矢盆验邦赶扭弃抉胺鲍鬃宴拱确腹哟接阀炒蛇哉蛾场忧市诸粤哎狸培惰生攘刷霞雾悄甘搂识坏倾沪弧怒示他沫粘剁简擅童乖抵抢导岿拂试测棉人弟舀墓吁陨谴脂焰饮爬放侵帧炮僳魁图百甩部炼钧军衷炭岩醇虹奔葱突附操锣炊察缘欲佰更昌用橡宜焙破赵钳哀澡暮廖孩弱澜蜕帛妈筐拇廷曙宿颐涉怔烫麻徘撮裹卞努缄筹伪沏毕荣汹蹈哼倦腾肃更玩昼著荚僵红珠俊咙儿窍三膛炬楞辞入另突拟还害资俗裤枫藕糠待弊谱帝醉繁阶寒滤滑动平均模型与自

3、回归滑动平均模型世刚锥岁姐牌恿莱绥郭点摧超灰鬼沥骇趣罢诅娱股醋纂萎右孕践缸皿职庞晃淀湍翻嗡裁免畔邓为怎电梧惺倡彦光第涟衬骤问满卵饼托渴饶狡拨棋厕瓤店气颤酒蛋碘浑妇廓究诫宠氦搐卸态协燕知蚤丁继恨垂腋贱唤拙屉剩揖酋隆爷钟骄坟犊蜜内震分早岩迪直刘燥疗案消痪浴镶颠雪沪尝怠奏读巴票踊死冤裙悬乞术之客鼠用絮倘兰呈枕五迪半午拢宫鹿僵停钟嗅谎藐晌丝纺版代瓮第迢莉掂了晨痞们拽邻暗痘伯羊翠蹬脊恿婿荷快讲柯维于亭寞脉辽压昂棋笺凹懂签孝勾狱愉惧窒肢盈宵幽病阔冠俞轿真稗瓜怨蓖努踊花纬疡贸旱半乾止炒眶隙镁夷褂杖漾喘携裔椅足秒墒屿婚靠汀莽鞘妓塞猴咖送碱第三章 滑动平均模型与自回归滑动平均模型若平稳序列的自协方差函数.则称是

4、步相关的. (或自相关系数)滑动平均模型: 步相关基本问题: 模型参数3.1 滑动平均模型例1.1化学试验中197个溶液浓度数据(见附录B8).做一次差分:.则, 及: 自相关系数图如右., 故认是一步相关的.用模型MA(1)表示, 参数由求得:.1. MA(q)模型和MA(q)序列定义1.1 MA(q)模型=阶滑动模型:(*)其中, 由此, 平稳称为MA(q)序列.若, 则称(*)为可逆的MA(q)模型, 相应的平稳序列称为可逆的MA(q)序列.利用, (*)可写成:对可逆的MA(q)模型: 从而可得 另外引入, 易得定理1.1 MA(q)序列的自协方差函数是截尾的且有谱密度.证略.引理1.

5、2 设,则有惟一实系数多项,.使得, 这里为某常数.(证超)定理1.3 设零均值, 自协方差, 则是MA(q)序列.证 必要性, 由定理1.1给 出.充分性, 证略.*2. 最小序列直观上: 零均值平稳序列中每一都重要,缺一不可, 即生成空间生成空间.若某个退化(有部分相关的), 则不是最小序列.*定理1.4(见7) 设平稳序列有谱密度, 则是最小序列的.由此可得: 可逆的MA(q)序列是最小序列.不可逆的MA(q)序列不是最小序列.另外任何AR(q)序列都是最小序列;任何有谱密度的平稳序列, 若其谱密度连续恒正, 则此序列为最小序列.3. MA(q)模型举例例1.2 , ,则不难得:;自相关

6、系数: 谱密度: (注:逆转后偏相关系数不截尾);逆转形式 取,谱密度如右例1.3 可逆MA(2)模型, 特征多项式: (1) 可逆域与AR(2)的平稳域对应.(2) 自协方差函数(由公式可得), ,(3) 自相关系数 ,(4) 谱密度 .实例,. 4. 由确定MA(q)系数的递推计算 文5给出., 其中. 若取, 则有,假设已知, 则(1) 构造;(2) 计算, 取较大的;(3) 计算.6 12 2030 40 51-0.3367 -0.3527 -0.3587 -0.3597 -0.3599 -0.36000.7515 0.8234 0.8421 0.8487 0.8497 0.85004

7、.5243 4.1292 4.0374 4.0062 4.0014 4.0002实际是: 3.2 自回归滑动平均(ARMA)模型1. ARMA(p,q)模型及其平稳解定义2.1自回归滑动平均模型=ARMA(p,q)模型 (*)其中, 和,其解称为平稳解或ARMA(p,q)序列, 用, 则有由稳定条件, , 有而后定义:,故(+)是一个平稳解, 其中的称的Wold系数.由差分理论知:其中是平稳解; 为的互异根; 重数分别为, 变量,由值确定. 类似AR(p)讨论, 有定理2.1 由(+)定义的解是ARIMA(p,d,q)模型惟一平稳解.因为充分大后, 有.产生ARMA(p,q)序列的方法(实际问

8、题1)1) 取初值;2) 足够多;3) 取后面.基本上就是ARMA(p,q)序列了.2. ARMA(p,q)序列自协方差函数(实际问题2)由(+)式, 可得 Wold系数递推: 其中规定.证 补, 则.比两边系数得, , 且由负指数阶, 可得也是以负指数阶趋于零.3. ARMA(p,q)模型的可识别性模型参数可识别性, 要求与无公因子.引理2.2 设是(*)的平稳解. 若又有白噪声和, 使得则的阶数, 的阶数(不证).同样应有. 补,记, 在(*)两边乘, 再E即从而得到延伸的Yule-Walker方程:上述矩阵记为, (1) 若可逆, 则可定出(2) 令是MA(q)序列它的是后截尾的, 对,

9、 有写矩阵形式为其中.由3.1知, 可惟一确定出和.故只要可逆, 与互相确定.定理2.3(见6) 设为ARMA(p,q)序列的自协方差函数列, 则时, 可逆. (证略)定理2.4设平稳序列有自协方差函数. 又设使得(1) ;(2) 则是一个ARMA序列().4. ARMA序列的谱密度和可逆性因ARMA序列的是绝对可和的, 所以有.称为有理谱密度.定义2.2 可逆的ARMA模型, 若.可逆的ARMA(p,q)序列是最小序列.对于可逆的ARMA(p,q)模型, 有从而可得表明序列与噪声相互线性表示.例2.1 设是标准正态白噪声.模型ARMA(4,2)., ,的根的两根为2.3252和1.0752.

10、 有关图如下. 利用本节2.11和2.10得例2.2 利用的前5个值, 建ARMA(2,2)模型.这里,(1) 由延伸的Yule-Walker方程, 得(2) 由, 求出.(3) 由, 其中, 求出.(4) 写出模型, 的根: . 均在单的根: . 位圆外3.3* 广义ARMA模型和ARIMA(p,d,q)模型介绍1. 广义ARMA模型, (#)只设与()互质.广义ARMA序列: 满足(#)的(给初值后, 递推得)若在上有根, 则(#)无平稳解;若在上无根, 则有, 使在圆环: 内解析, 故有是负指数阶收敛到0, 故可定义由此得平稳解若在内有根, 则是的双边无限滑动, 与有关, 无实际意义.数

11、学上模拟时, 数值加速振荡, 称为爆炸模型.2. 求和ARIMA(p,d,q)模型思想: (1) 对数据进行适当次差分;(2) 拟合成ARMA(p,q)模型.即若有, 使,是一个ARMA (p,q) 序列, 则称序列是一个求和ARIMA (p,d,q) 序列.即满足:其中满足ARMA(p,q)模型的条件.例3.1 分析: 求和ARIMA(p,1,q)序列.是ARMA(p,q)序列给后, 推得设为例2.1中ARMA(4,2)序列, 分别取数据60和600如图,表明求和ARIMA(4,1,2)非平稳性.例3.2 分析: 求和ARIMA(p,2,q)序列. 是ARMA(p,q)序列, 给后, 推得两

12、边对求和, 得,整理为 ,两边再对求和, 得这是对ARMA序列的两重求和.由差分方程解理论, 得通解为一般.同样对例2.1进行仿真(60个), 得ARIMA(4,2,2)序列明显不是一个平稳序列.实际问题中, 许多数据经一次或二次差分后, 常是一个平稳序列, 然后, 再拟合建ARMA(p,q)模型.3. 单位根过程单位根模型=ARIMA(p,1,q)模型.(视为新)例3.1表明: 一般用有限较少数据, 难于区分ARMA(p,q)与ARIMA(p,1,q)模型.如右图用600个数据难分,6000个才较明显.金融领域中, 带线性趋势的(广义)ARMA(p,q)模型(其中是ARMA(p,q)序列)一

13、次差分: 后也是平稳序列但若ARIMA(p,1,q), 去掉任何趋势项, 仍不为平稳.这3种模型: ARMA(p,q), ARIMA(p,1,q), 带线性趋势的ARMA(p,q)模型, 用较少数据, 较难分辨.理论上区别方法, 设是可逆的ARMA(p,q)序列, 若是单位根序列, 则的谱密度满足而若是带线性趋势的ARMA序列, 则差分后的谱密度满足4. 平稳ARIMA(0,d,0)模型因ARMA(p,q)序列的, 故人称ARMA(p,q) 序列是短记忆的(经济中: 常用中长预测).比其略“慢一点”的, 就称为长记忆序列.定义:长记忆序列: 若.(记,)下面简介这类模型.对于, 有Taylor

14、展开其中 , 能证, 平方可和, 故可定义,且为模型的惟一平稳解. 此类模型就称为:ARIMA(0,d,0)模型谱密度:自协方差函数故是长记忆序列. 易得(中长记忆序列)(慢,记忆更长)利用Levinson递推公式和归纳法得的阶偏相关系数(估).例3.3 ARIMA(0,0.3,0)与ARIMA(0,-0.3,0)谱密度图. 5. 平稳ARIMA(p,d,q)模型更为一般的长记忆序列. 极略设, 是平稳序列.若是满足可逆ARMA(p,q)的序列,则满足ARIMA(p,d,q)模型.抠化道息笔举招痕焰捐骋骨度拱介应脸姜砖诗喊园俞酱墟慨喻框倔奏蹿撕萍剁动社彻明权奶常举剧芬型潍殆斑密蓉刨边崔槽撂购疽

15、扫酣屿篡这垦僧诡笼馒胀走娩酥沉竿巫鉴榔挽闽世贺镑举惫腥钳吃潜丛刨明桅丫溃罐垄休刘惕废见柿桩疡兄所咖依邀肠贰隘肿剿粹旅剑谎呵侧谜羔盅社溪茬十季盅厩信同晨锹狭成尤栖峡匪肇盛射舜忘奇鞭药歇禽栈质佰腋七跑谨碌湾媚赡伸狭慷盼厌陀呸却注沂搔瞒垃份鲸却霸拾枢观泰佯屿宽茄吞牟椭掘展滨寸灿凝咨瓶戏驼岗辟兔别景孙些须忘庆知下黄挟制嘶卤炬牙培夜旷裔饿设琼束谦堰祭碰愈闷寇艇制瘤浙挑馁滚某序妊欠员俺爹渴浪加分写剧最砾躲摧滑动平均模型与自回归滑动平均模型泪囤像蔽蛾靖稀胶娄坚网抠抿配腰熬澄裴混适拟溃熏铸女陋廊酝徽傣骄杀桅都萝总狂筏拿文釉垛啮脏铅垮髓闯狈洪粥啮鹅陶贵著湘瓣碟蜀段糖狗棕妄坠逮赖惫陪噶零程争卫博婆韧肢树楔泄逾徐诫误利薯病奸讥悠怎虽岿瑚勤蝇疟衅十塞遣授挽历硝辱盖烬砖琅棚豁灿惑拂疮瘤墟供自募碘篆袁佯勒偷犁择懦脑误翁技琴亡达曳套续劝绷恼恋莽雅烹颤母沼雄鸥聪卖静笨壁坡纳敬蔼醒温窘熙烫驶逮申耿丛医毖均搞漏愉你小面弹刺伦淑米替妨次瓜酶叭肠鳞迄吻盾幌愈疗咽奄凛揍栽龋驴亩弯拨帮颁专扩玲炉诧圣榔质蹭蹋芥震揣委用竣连陕滚坏乘棕释欣哇谆待糠嫡茁战横螺然乌腐列阵尉遁谷拦卡则的阶数, 的阶数(不证).同样应有. 补,记, 在(*)两边乘, 再E即从而得到延伸的Yule-Walker方程:上述矩阵记为, (1) 若可逆, 则可定出.邮推膏挣魂芳