数学与思维发展的关系

1、公理化方法的作用 一门学科实现公理化的标志是:1、它有一套基本术语/原始概念；2、它有一组基本命题/原始命题/公理；3、其余的概念全由原始概念出发定义，其余命题全由公理予以推理论证。第一页，共二十九页。公理化方法的作用 算术、几何、微积分、泛函分析、拓扑学、集合论、群论、概率论建立了公理化体系；力学、物理学、量子力学、热力学、统计力学利用了公理化方法；哲学、伦理学等也借鉴了公理化方法（康德、黑格尔、斯宾诺莎等）。我国教育理论也开始探讨教育科学的逻辑起点。目的：提高本学科的逻辑化水平和科学化水平。第二页，共二十九页。公理化方法的作用 徐利治教授认为公理化经历了三个阶段：实质公理化时期形式公理化时

2、期元数学时期第三页，共二十九页。公理化方法的作用 实质公理化：欧几里德几何的出现，是对已有的不证自明事实的高度概括，明显依赖经验或感性直观。牛顿力学的公理化体系（即其三大定律）也呈现实质公理化特征。 形式公理化：非欧几何的出现，公里的起点进一步被形式化和符号化，籍此，希尔波特把欧氏几何也改造的更加形式化（点、线、面桌子、椅子、啤酒杯） 第四页，共二十九页。公理化方法的作用 元数学：概念成为符号；命题成了公式；推理成了公式变形；形式系统成为研究对象，数学成为更加抽象和形式化的系统。 元数学与形式公理化方法对于数学的更深入研究是必要的，但对于一般人来说，实质公理化方法就已足够。第五页，共二十九页。

3、公理化方法的作用 算术公理：1属于非空集合N（1只是一个符号）；N的每个元素a有后继数a;1不是任何元素的后继数；若a=b，则a=b；设MN,若1M,又若当aM时，a M,则M=N原始概念只有1，后继数集合，从集合论来的。第六页，共二十九页。公理化方法的作用 所有的算术概念、命题都建立在这样一个简单的基础上。这体现了高度的概括性。物质：物质是独立存在于人的意识之外的客观存在。存在：不依赖人的意志为转移的客观世界，即物质。（现代汉语词典，商务出版社，1983年第二版）。 这些是在某些人文社会学科中常见的逻辑毛病。第七页，共二十九页。公理化方法的作用 数学的推理是严格的、符合逻辑的。例如，我们要证

4、明圆内接四边形的两对角和为180度。如果承认该命题，你就不会在企图作一个非矩形的圆内接平行四边形，也不会试图作一个非正方形的圆内接菱形。第八页，共二十九页。公理化方法的作用第九页，共二十九页。公理化方法的作用第十页，共二十九页。公理化方法的作用实际上我们是依照如下的方式寻根：圆内接四边形两对角互补；圆周角等于对应圆心角的一半；等腰三角形两底角相等三角形一外角等于相邻两内角之和；三角形三内角和为180度；平行公理根第十一页，共二十九页。公理化方法的作用这种严谨与清晰的逻辑与寻根问底的精神只有哲学才能相比。 逻辑的起点无外乎两个方面：概念的起点与命题的起点。概念新概念；命题新命题。数学已经作出了表

5、率，这也是其他学科（包括人文社会学科）仿效的原由第十二页，共二十九页。数学直觉的作用 我们常说数学是一门演绎科学，但它并不全是演绎。否则，我们将误解了数学。 只所以说数学是演绎科学，那是指自欧氏几何以来，为了使数学建立在公理化基础上的工作是十分成功的。而公理化体系的核心就是演绎。那么公理体系来源于什么？原始的概念从何而来？这些就不是演绎所能够解决的了！第十三页，共二十九页。数学直觉的作用 实际上，如果我们的教学从严格的公理化方式进行，尽管它是逻辑严谨的，但是中小学生，甚至大学生都是无法接受的。因此，数学教育不可能建立在完全系统的公理方法基础上，只能适当地运用这些方法第十四页，共二十九页。数学直

6、觉的作用公理体系本身是不可能完备的。事实上，奥地利数学家哥德尔证明了“哥德尔不完备性定理”：即使是算术形式系统内至少存在一个命题是系统本身不能确认其真伪的。因此，把公理体系，从而把演绎的功能绝对化是错误的。第十五页，共二十九页。数学直觉的作用 另一方面，按照心理学分类，纯粹的演绎思想属于收敛性思维，它能使人的思维更条理化、系统化，更健康，但是它也局限了人的思维的活泼性，因此，很难由演绎获得开拓性成果和开创性发现。我国的教育现状正存在过分强调收敛性思维（教学权威主义），而忽略发散性思维，这一点另人堪忧！第十六页，共二十九页。数学直觉的作用正确的方式应该是全面地应用演绎、归纳、类比、直观、直感、直

7、觉等思维方式进行教育活动，使收敛性思维和发散性思维得到合理的传授。第十七页，共二十九页。数学直觉的作用：归纳、类比前面已经谈到归纳的作用。实际上，不完全归纳是发现、创造的开始，完全归纳是发现、创造的确认！ 人类从小就具有不完全归纳的能力。（认人，语言。数数），但接触演绎则要晚得多，一般在初二学习几何时才开始。这是少年的一个危险期，必须严肃对待。第十八页，共二十九页。数学直觉的作用：归纳、类比我们再来谈谈类比。类比虽然无法登上论证推理的大雅之堂，但却是非常重要的发现式和创造式思维方式。它不是论证推理，属于似真推理，虽然不能确证真理，但是可以逼近真理！第十九页，共二十九页。数学直觉的作用：归纳、类

8、比第二十页，共二十九页。数学直觉的作用：归纳、类比第二十一页，共二十九页。数学直觉的作用：归纳、类比第二十二页，共二十九页。数学直觉的作用：直观、直感 有的问题从归纳、类比开始，但有的问题是从直觉、联想开始的，还有的是从观察开始的。 比如“四色问题”就是由一个年轻的英国人通过观察感觉到似乎任何复杂的地区只需要四种颜色就可以加以区别。第二十三页，共二十九页。数学直觉的作用：直观、直感 “四色问题”的难点在于无论多少区域也只需四色。1922（70年后）限定区域不超过251938：32区域 1940：35区域1968：40区域1976：解决（计算机，1200小时）（18521976）第二十四页，共二

9、十九页。数学直觉的作用：直观、直感 凸多面体的边、角、棱的关系也是通过观察后总结出来的第二十五页，共二十九页。数学直觉的作用：直观、直感第二十六页，共二十九页。数学直觉的作用：直观、直感多面体面数F顶点数V棱数E1.三棱锥4462.四棱锥5583.五棱锥66104.三棱柱5695.四棱柱68126.五棱柱710157.八面体8612第二十七页，共二十九页。数学直觉的作用：直观、直感 容易猜测公式F+V-E=2这是拓扑学中基本的Euler公式.第二十八页，共二十九页。内容总结公理化方法的作用。3、其余的概念全由原始概念出发定义，其余命题全由公理予以推理论证。我国教育理论也开始探讨教育科学的逻辑起点。形式系统成为研究对象，数学成为更加抽象和形式化的系统。1属于非空集合N（1只是一个符号）。N的每个元素a有后继数a。若a=b，则a=b。设MN,若1M,又若当aM时，a M,则M=N。所有的