八年级数学相似三角形华东师大版知识精讲

1、初二数学相似三角形华东师大版【同步教育信息】一.本周教学内容： 相似三角形重点、难点相似三角形的证明及应用 教学过程知识精析：.主要知识结构：日ZA-L平行型垂直型一斜交型【典型例题】基本知识概念应用例 1.若ABSABC , / A= 45 , / B= 100 ,则/ C =分析： ABS ABC/C与/C是对应角，/ C= / C/ C= 180 /A / B= 35例2.已知分析：设 I x则I贝U例 3.若 x： y： z = 2: 7: 5,且 ,求叵| 的值。分析：x： y: z = 2: 7: 5设 x=2k, y=7k, z = 5kk= 2x=4, y = 14, z =

2、10.基本图形的识别及应用例 1.如图，DE/ BC, AD DB= 1 : 4, EC EA= 9,求 A巳分析：DE/ BC又 EG- EA= 9则 |得：EA=3例2.如图，梯形 ABGD43, AD/ BC,对角线 AG BD相交于点 O。(1)若 Sa aou Saagid= 1 ： 3,则 AQ AG=,AO : OG=, Sa aod： S bog=;若 Sa aod= 4 , S bog= 9 , 则 AO GO=,AG : OG= , Sa ABG= , S 梯形 ABGD= 分析：(1 ) 若 Saaoed： Sa agd= 1 : 3. AODW AGD为等高三角形I x

3、 I .AQ AG= 1 : 3,3又. AOD BOGI(2)若|AO BOGIpn , AG OG= 5: 3又. AB* BOE等高三角形I. Sa abg= 15,同理：Sa adg= 10S梯形 abgd= 25例3.如图所示，/ AGB= / D= 90 , AD= 2,当AB=时，两个直角三角形相似。分析： AB* AGEltB,有两种对应关系：(1)00(2)Rt MBG中，/ AGB= 90所以，对（1）讲:对(2)讲:例4.如图，在正方形 ABCM,对角线 AC与BD相交于O,E是BC的中点，DE交AC于点F,DE=12,求EF的长。0分析：此图中含有X型图I S |即：I

4、. E是 BC中点，AD= BC3.构造基本图形解题：例1.如图，直立在点B的木棍AB= 2.6米，从人EF的头顶上看，点A与树尖C重合，地平线上的点F、B D共线，已知BD=10米，FB= 3米，EF= 1.7米，求CD的高(精确到 0.1米)S分析：将此题抽象出几何图形解决此问题关键是构造基本图形A型图回(1)中可设MF= x山H |再利用Z1得：CD= 5.6AM/ CNAM =2.6 1.7 =0.9EM =3, EN= 10ICN =3.9CD= 3.9 +1.7=5.6例2.如图， ABC中，D是BC中点，E是AD上一点，CE的延长线交 AB于F,求证：AE: EA 2AF: FB

5、国分析：要证 AE: ED= 2AF: FB观察所证四条线段位置AE、ED共线，AF、FB共线这种线段比值关系存在于 A型或X型图中所以，此题需构造 A型图、X型图。即添加平行线构图。思路1 :过D作DM/ FCs D是BC中点M是BF中点又. AE ED= AF: MF.AE: ED= 2AF: BF思路2:过D作DM/ ABs. D是BC中点，. M是FC中点I又. AF: DM= AE: ED.AE: ED= 2AF: BF思路3:过A作AM/ BC交CF延长线于MsI sP BIII思路4:过B作BM/ FC交延长线AD于M BA DCED= DMHI E隹 2EDII还可尝试其他方法

6、证明:例3.如图， ABC中，/ ACB= 90 , D是AB中点，过 D作AB的垂线交 CB于E,交AC的延长线于 F,求证：CD= DE DR分析：所证线段恰好在两个三角形中，可证相似D 是RtACB斜边BC中点， 制CD= BD, / 1 = Z B又证/ B= / F, .CDa CFDI ,CD= DE- DF.等比及等积代换的分析与证明例1.四边形ABCD43,/ A= /C= 90,过C作对角线BD的垂线交BQAD于E、F,求证：CD= DF-AD分析：双垂直基本图形 RtBCD中，CE! BD和斜A型图RtABD中，EF BD,由于要证 cD=DF- AD国1而CD DF、AD

7、不能构成两个有可能相似的三角形，所以只能进行等量代换，而在双垂直基本图RtBCD中，CE! BD,由射影定理可得： cD=DE- BD所以只需再证： DE BD= DF AD进一步分析可得： EF2 ABD有DE-BD= DF - AD,则此题可得证。证明：. / BCtD= 90 , CE! BD于 EcD= DE- BD. /A= 90 , FE BR / FED= 90./ FED= / A,又/ ADB= / EDF. DES DABx ,DE- BD= DF- ADCD= DF- AD例2.如图，正方形 ABCM, E是BD上一点，AE的延长线交 DC于点F,交BC的延长线于点 G,

8、你能证明aF=EF- EG吗?分析：要证aF=ef- eg需证：I观察I X IaF= ef- eg.综合应用：例.已知：如图，矩形 ABCM, AB= 2, BG= 3, P是BC边上与B、C两点不重合的任意一点，设PA= x, D点至U PA的距离为y,求y与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围。解：过D作DE! AP于E,则DE= y/ AD曰 / PAD= 90 / BA% / PAD= 90 ./ BAP= / ADE且 / ABC= / DEA= 90 . ABW DEA AB= 2, BC= AD= 3PA =x, DE= y叵 I N I （）【模拟试题】（答题时间：6

9、0分钟） 一、填空题. 已知：如图1, 4ABS AE：|AD= 5cm,EC=3cm,AC= 13cm,则它们的相似比为 ,AB=,它们的面积比为 .两个相似三角形的相似比为j,那么这两个三角形的周长比为 。.两个相似三角形面积分别为35cnf和15cm；则它们一组对应边上高线的比为 。. 已知：如图 2, DE/ BC, BE、CD相交于F,叵,贝14 DEF和 CBF的面积比为 .如果两个相似三角形的对应边的比为4: 5,周长的和为18cm,那么这两个三角形的周长分别为 。.如果两个相似多边形的最长边分别为35cm和14cm,它们的周长差为 60cm,那么这两个多边形的周长分别为 二、选

10、择题k (kw1),那么k的值为（.ABCA1B1G相似，且相似比为A1C1： AC/ B= / B1IABC周长： ABG周长.下面四组图形中必定相似的是（）各有一个角是30。的两个等腰三角形有两组边成比例的两个直角三角形有一个角相等的两个直角三角形各有一个角是91。的两个等腰三角形.由下面条件，能判断 ABSABC的是（）A./A= 50 , / B= 40 , / A =50 , / C = 80B./A= /A= 130 , AB= 4, AC= 10, AB =10, AC =24C. AB =48, BC= 80, CA= 60, AB =24, CA =30, BC =40D./

11、A= Z A = 90 , AB= 5, BC= 2J,AC = 7, BC=国10. 如图3, /AED= /B,则下面等式中，正确的是（A. AD :AE= CEDBB. AE :BC= ADDBC. AD :AE= AC:ABD. AD :AB= DEBC11. 如图4, / ACD=/B, DE/ BC,则图中共有（）对相似三角形。A. 212. ABC 中,A. ABC. AD=BD-=BD-B. 3D是BC上的点,BCDCC. 4要想使 CAD CBAB. CD2=AD- DBD. AC2=CD- CBD. 5则下面条件中必成立的是（三、解答题13.已知:如图5,DE/ BG DE

12、= 4cm, BG= 6cm, ABC的面积为12cm2,求梯形DECBW面积。14.已知:如图6,矩形ABCD勺对角线AC BD相交于。点,OF, AC于。点，交 AB于E,交CB延长线于 F点。求证 OB-OC= OE- OE15.已知:如图7, ABC中，Z ACB= 90 , M为 BC中点,图6CNL AM 求证：/ MBIN= / MAB16.已知:如图8, ABC中，AH是BC边上的高，四边形DEF助矩形，AH与GF交于K,若BC= 30cm,AH=15cm,EF:DE= 1 : 3,求矩形 DEFG勺周长。17.已知:如图9, ABC中，AD BC于 D, CE! AB于 E,

13、AC= 6,求DE的长。图9【试题答案】-、填空题1.5 : 13 26 25 : 1695 : 2g16 : 495.8cm , 10cm100cm , 40cm二、选择题9. C12. D7. D8. DC11. B三、解答题解：DE/ BC / ADZ B又 7 Z A=Z A. ADA ABCI X II X】Saabc= 27S 桶串 DECB= 1 5证明：二.矩形ABC前Z ABG= 90 , .EB曰 90. F+Z FEB= 90又 。口 AC丁./ AOR 90 Z BAGF Z AEO= 90/ FEB=Z AEOZ F=Z BAO又矩形ABCD43AO = BO= OCEBQ=Z BAO=Z F/ FOB是公共角. BOA FOBOB- OG=OE- OF证明：RtACB中，Z ACB= 90ON AMT NCl= MN- AM又M为BC中点M= MN- AMx又/ NMB=Z AMB. NMBA BMAMBIZ MAB解