向量的加法运算及其几何意义教学设计

1、向量的加法运算及其几何意义教学设计授课教师：大港实验中学武凤英一.教学目标知识目标：理解向量加法的含义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作出两个向量的和； 掌握向量加法的交换律与结合律，并会用它们进行向量运算.能力目标：经历向量加法概念、法则的建构过程，感受和体会将实际问题抽象为数学概念的过程和思 想，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力.情感目标：经历运用数学描述和刻画现实世界的过程，体验探索的乐趣，激发学生的学习热情.培养 学生勇于探索、创新的个性品质.二.重点难点重点：向量加法运算的意义和法则.难点：向量加法法则及其几何意义的理解.三.教学方法采用“启发探究”式教学方法，结

2、合多媒体辅助教学.四.教学过程I.创设情境 直观感知香港B设计两个问题情境如下：问题1：两岸通航之前，由于大陆和台湾没有直航，因此春节探亲，乘飞机要先从台北到香港，再从香港到天津，则飞机的位移是多少 ？7月4日两岸通航之后，可以从香港直飞天津，则飞机的位移又是多少？它们之间有什么关系？两次位移的结果可称为两次位移的和，如何用等式来刻画这三个位移的关 系？问题2：斜拉桥的两根拉索对塔柱的拉力分别为F1、F2,则它们对塔柱的共同作用效果如何？合力F可称为力F1与F；的和，如何用等式来刻画这三个力的关系？力与位移都是物理中的矢量，既有大小又有方向，若去掉它们的物理属性，就是数学中的向量.它们的和也就

3、可以抽象成向量与向量之间的一种运算一一向量的加法（引出课题）n .抽象概括形成定义（一）建立数学模型抽象数学概念探究一：给出任意两个向量 a, b,如何求a b学生探究：由两位学生板演两种画法，并借助几何图形用自然简洁的语言给出两个向量加法的法则.教师强调求 和法则及特点，并板书及多媒体演示，加深学生理解，记忆.教师引导学生分析在什么条件下两种方法求和的结果是一样的，可见，向量加法的三角形法则与平行 四边形法则在本质上是一致的.在具体求和时，应根据情况灵活地选择.并对规定：a 0 0 a a做出合理解释，并强调向量加法的三角形法则具有更强的实用性.（二）尝试运用法则练习一：已知a,b,选择适当

4、的加法法则作出a b向量加法的三角形法则对共线向量的求和仍然是适用的，反映了三角形法则具有广泛的适用性.m.结合作图探究性质 探究二：根据你所作的图形，探究a/b3a b之间的关系.W.类比猜想 探究性质探究三：加法其实我们并不陌生，从小就开始学习数、字母、式的加法，实数的加法有哪些运算性质？向量的加法是否也满足类似的性质？如果满足，具体形式是什么？实数的加法向量的加法运算律abba(a b) c a (b c)abba事.-4-F-(ab)ca(bc)根据你所作的图形，验证交换律，通过练习验证结合律，然后用多媒体演示.已知 a,b,c,作出(a b) c.已知 a, b,c,作出(b c)

5、a研究结果表明：向量的加法也满足交换律和结合律，这与数的加法是一致的.有了交换律与结合律, 向量的加法就可以按任意的组合与任意的次序进行，从而丰富了向量加法的内涵.W.数学运用深化认识一艘船从海河南岸 A点出发，以73 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的速度为向东1km/h.(1)试用向量表示河水速度、船速以及船实际航行的速度；(2)求船实际航行的速度的大小与方向(用与河水速度的夹角来表示)。AD表分析：首先将实际问题数学化，把三个速度分别用向量来表示：如图，设AB表示水流速度，示船的速度，那谁是船的实际速度？AC ,三个向量应满足什么关系？AC AB AD .解：如图，设 AB

6、表示水流速度， AD表示船的速度， AC、表示船的实际速度，因为 AC AB 所以四边形ABCD为平行四边形.解:(2)在RtABC中,|AB| 1,| BC | m| AC| ./ AB |2|BC|2,12 ( 3)22-tan CAB -3、3 1CAB 60.答：船实际航行速度为 4km/h,方向与河水的流速间的夹角为60o.V .回顾反思拓展延伸一、课时小结：同学们想一想：本节课你有些什么收获呢？知识内容：向量加法的二个运算法则、向量加法中模的性质以及二个运算律.本节课我们从物理原型抽象出数学模型，在此基础上去研究数学模型，最后应用到生活实践中去.再一次告诉我们，数学源于生活，又服务

7、于生活.物理原型l| 一数学模型应用模型V研究模型数学思想方法：特殊到一般归纳与类比数形结合思想分类讨论思想二、拓展延伸：(1)作业：P94-练习 3P101 习题 2. 2 的 1, 2, 3, ,4- (1) (2) (3),最后要能使船垂直过河，则船速与水速的夹角多大？并作图探(2)拓展探究：请同学们课后完成下面的拓展探究题：思考题中若水流速度和船速的大小保持不变 究.8.1向量的坐标表示及其运算教学目标知识目标：了解基本单位向量、位置向量、向量的正交分解等概念； 理解向量的坐标表示方法及其运算法则；掌握向量模的求法，知道模的几.何意义；理解并掌握两个非零向量平行的充要条件，巩固加深充要

8、条件的证明方式能力目标：会用两向量的坐标形式的和、 差及实数与向量的积等运算解决相关问题；会用平行的充要条件解决点共线问题情感目标：感知数学中的运动、变化、 相互联系与相互转化的规律，加深对辩证唯物主义观点的体验；发展从数学的角度分析和解决问题的能力，以及通过积极参与数学学习和问题解决的过程，增强学习的主体意识，形成数学的应用意识，养成严谨、慎密的思维习惯.教学重、难点 重点：如何写向量的坐标以及向量坐标形式的运算及其应用 难点：向量坐标形式的运算及其应用一、新课引入：上海市莘庄中学的健美操队四名队员A B、C、D在一个长10米，宽8米的矩形表演区域EFG印进行健美操表演.(1)若在某时刻t1

9、,四名队员 A B、C D保持如图1所示的平行四边形队形.队员AED1- -1-OA OM ON), OM与ON能用基本单位向量i, j来表示吗？(依向量与实数相乘的几何意义可得 OM xi,ON yj),于是可得：OA OM ON xi y ji, j的线性组合，这种向量的表示方法我(3)向量的正交分解： 由上面这个式子，我们可以看到：平面直角坐标系内的任一位置向 量oA都能表示成两个相互垂直的基本单位向量们称为向量的正交分解.2、向量的坐标表不思考2：对于平面直角坐标系内的任意一个向量a,我们都能将它正交分解为基本单位向量i, j的线性组合吗？如下图左.由于任意一个位置向量都可以正交分解为

10、基本单位向量i, j的线性.组合，所以平面内r r任意的一个向量 a都可以正交分解为基本单位向量i,j的线性组合.即：ri.ba = OA=xi y j为了简,便，通常我彳门将系数 x,y抽取出来，得到有序实数对(x,y ).可知有序实数对r(x,y)与向量a的位置向量OA是一一对应的.因而可用有序实数对(x,y )表示向量a ,并称(x,y )为向量a的坐标，记作：a= (x,y )Ar说明(x,y)不仅是向量a的坐标，而且也是与 a相等的位置向量 OA的终点a的坐标！AA当将向量a的起点置于坐标原点时，其终点 a的坐标是唯一的，所以向量a的坐标也是唯一的.这样，我们就将点与向量、向量与坐标

11、统一起来，使复杂问题简单化显然，依上面的表示法，我们有：i (1,0), j (0,1),0 (0,0).3、例题举隅 例1.（课本例题）如图，写出向量 a,b,c的坐标.解：由图知a 1,2 ,与向量b相等的位置向量为 OA,可知b OA 1,2 ,与向量c相等的位置向量为 OB,可知C OB 1, 2说明对于位置向量a ,它的终点的坐标就是向量的坐标； 对于起点不在原点的向量 b,c, 我们是通过先找到与它相等的位置向量，再利用位置向量的坐标得到它们的坐标.那么，有没有不通过位置向量，直接就写出任意向量的坐标的方法呢？答案是肯定的，而且很简便，但我们需几分钟后再来解决这个问题.让我们先学习

12、向量坐标表示的运算：4、向量的坐标表不运算我们学过向量的运算，知道向量有加法、减法、实数与向量的乘法等运算，那么，在学习了向量的坐标表示以后，我们怎么用向量的坐标形式来表示这些运算呢？设 是一个实数，a (x1,y1),b (x2,y2).由于 a （x1,y1） xi yj, b （X2,y2） x?i y2 j所以 a b （x1,y1）（X2, y2）为i yjX2i y2j. . X1i x?iyJ y?j. X1 X2 iy1 y2 jX1 X2, V1 y2-I-i-I-*a（X1，y1）X1i yjX1iyjX1，V1于是有： 向量的和（差）：（xm） 区）为 x2,y y2数与

13、向量的积：（x1,y1）x1, y1说明上面第一个式子用语言可表述为： 两个向量的和（差）的横坐标等于它们对应的横坐标的和（差），两个向量的和（差）的纵坐标也等于它们对应的纵坐标的和（差），可笼统地简称为：两个向量和（差）的坐标等于对应坐标的和（差）；同样，第二个式子用语言可表述为：数与向量的积的横坐标等于数与向量的横坐标的积，数与向量的积的纵坐标等于数与向量的纵坐标DC AB的积，也可笼统地简称为：数与向量积的坐标等于数与向量对应坐标的积5、例题举隅例2、如下图左，设 P x1,y1、Q x2,y2是平面直角坐标系内的任意两点，如何用P、Q的坐标来表示向量 PQ ?X2,V2Xi,ViX2

14、x,y2 Vi从而有PQ x2Xi, V2 Vi说明平面直角坐标系内的任意向量的横坐标等于它终点的横坐标与它起点的横坐标的差，纵坐标也等于它终点的纵坐标与它起点的纵坐标的差，可简称为“任意向量坐标=终点坐标-起点坐标例3、如图，平面上 a b、C三点的坐标分别为2,1、3,21,3(1)写出向量AC, BC的坐标；(2)如果四边形 ABC比平行四边形，求 D的坐标.解：(1)AC 1 2,3 13,2BC 13 ,3 22,1(2)在上图中，因为四边形ABCD是平行四边形r,所以设点D的坐标为xD,yD ,于是有 1 Xd,3 VdAB又 AB 3 2,2 15,1 ,故 1 xd,3 yD1

15、 Xd5Xd4由此可得D解得3 Vd 1Vd 2因此点d的坐标为4,2 .5,1例4、已知向量a 4, 1与b5,2 ，求2a 3b的坐标.解：因为 2a 8, 2 , 3b 15,6所以 2a 3b 8 15, 2 623,4例5、已知平面内两点P、Q的坐标分别为(-2,4 )、(2,1 ),求PQ的单位向量a0解：因为PQ 22 ,1 44, 3 ,故 PQ 5,PQ1 / c所以 ao 4, 3Ipq 57、向量的平行(1)向量平行的概念：对任意两个向量a, b,若存在一个常数，使得a b成立，则两向量a与向量b平行，记为：a /b.思考1：在坐标平面上描出下列三点A(0,1), B(1

16、,3),C(3,7)，完成下列问题:请把下列向量的坐标与模填在表格内:ABBCAC向量坐标(1,2)(2,4)(3,6)向量的模而2753后通过画图，你得出什么结论?三点A B、C在一条直口线上分析表格中向量的模，你发现了什么?ABBCAC分析表格中向量，你还发现了什么？BC 2AB, AC 3AB,分析表格中向量坐标，你又发现了什么？向量坐标之间存在比例关系 .思考3：如果向量a,b 1T用坐标表示为a (x1,y1),b (x2,y2),则上 义是ab的()X2 y2条件.A、充要 B 、必要不充分C 、充分不必要D 、既不充分也不必要(2)判断三点共线.的方法方法一：计算三个向量的模长关

17、系.方法二：看两个非零向量之间是否存在非零常数.(向量的坐标存在比例关系)例5、若a,b是两个非零向量，且 a (x1,y1),b (x2,y2),则ab的充要条件是Xiy2 x2yi.证明：分两步证明，(I)先证必要性：a/b x1y2 x2y1非零向量a/b存在非零实数，使得ab,即 xix9(x1，yi)(x2,y2),化简整理可得：，消去 即信xy2 x21yiy2*(n)再证充分性：xi y2 x2 yia/bQi)若x1y2 x2y1 0,则x1、x2、y,、y2全不为零，显然有 石 丛 0,即x2 y2 (xi,yi)(x2,y2)a b ab(2)若x1y2 x2yi 0,则x

18、,、x2、y2中至少有两个为零.如果x1 0,则由a是非零向量得出一定有yix20又由b是非零向量得出 y2 0,从而，此时存在0 使(0,y1)(0,y2),即丫2a b a / b如果x1 0,则有y2 0,同理可证a/b综上，当x1y2 x2 y1时，总有a/b所以，命题得证.且a （x，y1）,b 区遥），则a/b的两向量平行的充要条件：若a,b是两个非零向量,充要条件是x1 y2x2 y1.8、例题举隅例6、已知P是直线RR上的一点，且 ppPR （为任意实数，且1), P、P2 的坐标分别为 x1,y1、 x2, y2 ,求点p的坐标 x,y解：由PPPP2 ,可知 TOC o 1-5 h z x x1x2 x HYPERLINK l bookmark82 o Current Document yy1y2yx2由于 1 ,所以解得x11y1y21x1x2向量pp2的定比分点坐标公式:x 1y1y2y 1x1x2特别地，当1时，P为p,、P2的中点，中点的坐标公式为2y1y2例7、已知平面上 A、B、C三点的坐标分别为 （x1,y1）、（x2,y2）、（x3,y3）, G是 ABC的重心，