56二叉树期权定价模型

1、第五章5.6二叉树定价模型引见.一个简单的二叉树模型股票的现价为 $20三个月之后股票的价钱或为 $22 或为 $18Stock Price = $22Stock Price = $18Stock price = $20.Stock Price = $22Option Price = $1Stock Price = $18Option Price = $0Stock price = $20Option Price=?一份看涨期权一份基于该股票的三个月到期的看涨期权，其执行价钱为$ 21. .思索一个资产组合:持有 D 份股票 成为一份看涨期权的空头当 22D 1 = 18D or D = 0.

2、25，资产组合是无风险的22D 118D构造无风险资产组合.资产组合的估值( 无风险利率为 12% )无风险组合为: 持有 0.25份股票成为一份看涨期权的空头三个月后组合的价值为 220.25 1 = 4.50组合在时辰0的价值为 4.5e 0.120.25 = 4.3670.期权的估值资产组合为 持有 0.25份股票 成为一份看涨期权的空头 组合在时辰0的价值为4.3670股票的价值是 5.000 (= 0.2520 )从而，期权的价钱为 0.633 (= 5.000 4.367 ).推行到普通情形一个依赖于股票的衍生证券，到期时间为 TSu uSd dS.推行到普通情形(continue

3、d)思索一个组合：持有D份股票，成为一份衍生证券的空头当 D满足下面的条件时，组合为无风险： SuD u = Sd D d orSuD uSdD d.推行到普通情形(continued)组合在时辰 T的价值为 Su D u组合在时辰0的价值为 (Su D u )erT组合在时辰0 的价值又可以表达为 S D f从而 = S D (Su D u )erT .推行到普通情形(continued)于是，我们得到 = p u + (1 p )d erT其中 .Risk-Neutral Valuation = p u + (1 p )d e-rT变量 p和 (1 p ) 可以解释为股票价钱上升和下降的风

4、险中性概率衍生证券的价值就是它的到期时辰的期望收益的现值Su uSd dSp(1 p ).最初例子的修正由于 p 是风险中性概率，所以 20e0.12 0.25 = 22p + 18(1 p ); p = 0.6523或者，我们可以利用公式Su = 22 u = 1Sd = 18 d = 0S p(1 p ).期权的估值期权的价值为 e0.120.25 0.65231 + 0.34770 = 0.633Su = 22 u = 1Sd = 18 d = 0S0.65230.3477.两步二叉树模型每步长为3个月20221824.219.816.2.欧式看涨期权的估值在节点 B的价值 = e0.1

5、20.25(0.65233.2 + 0.34770) = 2.0257在节点 A的价值 = e0.120.25(0.65232.0257 + 0.34770) = 1.2823201.2823221824.23.219.80.016.20.02.02570.0ABCDEF.一个看跌期权的例子：X52504.1923604072048432201.41479.4636ABCDEF.美式期权该如何估值？ 505.0894604072048432201.414712.0ABCDEF.1 二叉树期权定价模型1.1 二叉树模型的根本方法 熟习1.2 根本二叉树方法的扩展 熟习1.3 构造树图的其他方法和

6、思绪 了解1.4 二叉树定价模型的深化了解 熟习2 蒙特卡罗模拟2.1 蒙特卡罗模拟的根本过程 熟习2.2 蒙特卡罗模拟的技术实现 熟习2.3 减少方差的技巧 了解2.4 蒙特卡罗模拟的了解和运用 了解3 有限差分方法3.1 隐性有限差分法 熟习3.2 显性有限差分法 熟习3.3 有限差分方法的比较分析和改良 了解3.4 有限差分方法的运用 了解5.6 二叉树定价模型.1、从开场的 上升到原先的 倍，即到达 ； 2、下降到原先的 倍，即 。图5.1 时间内资产价钱的变动把期权的有效期分为很多很小的时间间隔 ，并假设在每一个时间间隔 内证券价钱只需两种运动的能够：其中 .如图5.1所示。价钱上升

7、的概率假设为 ，下降的概率假设为 。相应地，期权价值也会有所不同，分别为 和 。1.二叉树期权定价模型.二叉树模型实践上是在用大量离散的小幅度二值运动来模拟延续的资产价钱运动 1.二叉树期权定价模型.二叉树模型可分为以下几种方法：一单步二叉树模型 1.无套利定价法 2.风险中性定价法 3.风险中性定价法二证券价钱的树型构造 4.证券价钱的树型构造三倒推定价法 5. 倒推定价法二叉树方法的普通定价过程以无收益证券的美式看跌期权为例 6.普通定价过程1.1二叉树模型的根本方法.构造投资组合包括 份股票多头和1份看涨期权空头当 那么组合为无风险组合此时 由于是无风险组合，可用无风险利率贴现，得将 代

8、入上式就可得到：其中 1.1二叉树模型的根本方法无套利定价法：.在风险中性世界里：1一切可买卖证券的期望收益都是无风险利率；2未来现金流可以用其期望值按无风险利率贴现。在风险中性的条件下, 参数值满足条件：假设证券价钱遵照几何布朗运动，那么：再设定： 第三个条件的设定那么可以有所不同， 这是Cox、Ross和Rubinstein所用的条件 由以上三式可得，当 很小时：从而 以上可知，无套利定价法和风险中性定价法具有内在一致性。1.1二叉树模型的根本方法.普通而言，在 时辰，证券价钱有 种能够，它们可用符号表示为： 其中留意：由于 ，使得许多结点是重合的，从而大大简化了树图。 1.1二叉树模型的

9、根本方法. 得到每个结点的资产价钱之后，就可以在二叉树模型中采用倒推定价法，从树型构造图的末端T时辰开场往回倒推，为期权定价。 假设是欧式期权，可经过将 时辰的期权价值的预期值在 时间长度内以无风险利率 贴现求出每一结点上的期权价值； 假设是美式期权，就要在树型构造的每一个结点上，比较在本时辰提早执行期权和继续再持有 时间，到下一个时辰再执行期权，选择其中较大者作为本结点的期权价值。 1.1二叉树模型的根本方法.假设把一期权有效期划分成N个长度为 的小区间，同时用 表示结点 处的证券价钱可得：其中假定期权不被提早执行， 后，那么： 表示在时间 时第j个结点处的欧式看跌期权的价值假设有提早执行的

10、能够性，那么：1.1二叉树模型的根本方法.1.2根本二叉树方法的扩展.支付延续红利率资产的期权定价当标的资产支付延续收益率为 的红利时，在风险中性条件下，证券价钱的增长率应该为 ， 因此：1.2根本二叉树方法的扩展对于股价指数期权来说， 为股票组合的红利收益率；对于外汇期来说， 为国外无风险利率，因此以上式子可用于股价指数和外汇的美式期权定价。.支付知红利率资产的期权定价支付知收益资产的期权定价 可经过调整在各个结点上的证券价钱，算出期权价钱； 假设时辰 在除权日之前，那么结点处证券价钱仍为：假设时辰 在除权日之后，那么结点处证券价钱相应调整为：假设在期权有效期内有多个知红利率，那么 时辰结点

11、的相应的证券价钱为： 为0时辰到 时辰之间一切除权日的总红利支付率1.2根本二叉树方法的扩展. 将证券价钱分为两个部分：一部分是不确定的；另一部分是期权有效期内一切未来红利的现值。 假设在期权有效期内只需一次红利，除息日在到之间，那么在时辰不确定部分的价值为： 当 时当 时表示红利在 时辰：当 时，这个树上每个结点对应的证券价钱为：当 时，这个树上每个结点对应的证券价钱为： 为零时辰的 值1.2根本二叉树方法的扩展知红利额.利率是时间依赖的情形 假设 ，即在时辰 的结点上，其运用的利率等于 到 时间内的远期利率，那么：这一假设并不会改动二叉树图的几何外形，改动的是上升和下降的概率，所以我们依然

12、可以象以前一样构造出二叉树图1.2根本二叉树方法的扩展.的二叉树图在确定参数 、 和 时，不再假设 ，而令 ，可得： 该方法优点在于无论 和 如何变化，概率总是不变的 1.3构造树图的其他方法和思绪.三叉树图 每一个时间间隔 内证券价钱有三种运动的能够：1、从开场的 上升到原先的 倍，即到达 ；2、坚持不变，仍为 ；3、下降到原先的 倍，即1.3构造树图的其他方法和思绪.一些相关参数：1.3构造树图的其他方法和思绪.控制方差技术 根本原理：期权A和期权B的性质类似，我们可以得到期权B的解析定价公式，而只能得到期权A的数值方法解。假设： 代表期权B的真实价值， 表示关于期权A的较优估计值， 和

13、表示用同一个二叉树、一样的蒙特卡罗模拟或是同样的有限差分过程得到的估计值那么期权A 的更优估计值为： 1.3构造树图的其他方法和思绪.在运用三叉树图为美式期权定价时，当资产价钱接近执行价钱时和接近到期时，用高密度的树图来取代原先低密度的树图。 即在树图中那些提早执行能够性较大的部分，将一个时间步长 进一步细分，如分为 ，每个小步长依然采用一样的三叉树定价过程 1.3构造树图的其他方法和思绪顺应性网状模型. 经过构建一个与目前市场上的期权价钱信息相一致的资产价钱树图，从而得到市场对标的资产价钱未来概率分布的看法。 其详细方法是在二叉树图中，经过前一时辰每个结点的期权价钱向前推出留意不是倒推下一时

14、辰每个结点的资产价钱和相应概率 隐含树图的主要作用在于从买卖活泼的常规期权中得到的关于动摇率浅笑和期限构造的信息，来为奇特期权定价 1.3构造树图的其他方法和思绪隐含树图. 二叉树图模型的根本出发点：假设资产价钱的运动是由大量的小幅度二值运动构成，用离散的随机游走模型模拟资产价钱的延续运动能够遵照的途径。模型中隐含导出的概率是风险中性世界中的概率 ，从而为期权定价取当前时辰为 ，在给定参数 、 和 的条件下，当 时，二叉树公式：可以在 进展泰勒展开，最终可以化简为：在 时，二叉树模型收敛于布莱克斯科尔偏微分方程。1.4二叉树定价模型的深化了解.Monte Carlo: Based On Pro

15、bability & Chance根本思绪：由于大部分期权价值实践上都可以归结为期权到期报答(payoff)的期望值的贴现；因此，尽能够地模拟风险中性世界中标的资产价钱的多种运动途径，计算每种途径结果下的期权报答均值，之后贴现就可以得到期权价值。2.1 蒙特卡洛模拟的根本过程. 随机途径：在风险中性世界中， 为了模拟的途径，我们把期权的有效期分为N个长度为时间段，那么上式的近似方程为 或 是从规范正态分布中抽取的一个随机样本反复以上的模拟至足够大的次数，计算报答值的平均值，折现后就得到了期权的期望值2.2 蒙特卡洛模拟的技术实现.单个变量和多个变量的蒙特卡罗模拟：1、当报答仅仅取决于到期时 的

16、最终价值时 可直接用一个大步 假设初始时辰为零时辰来多次模拟最终的资产价钱，得到期权价值：2、当报答依赖于多个市场变量时每次模拟运算中对每个变量的途径都必需进展抽样，从样本途径进展的每次模拟运算可以得出期权的终值。 的离散过程可以写为： 期权依赖于 个变量， ， 为 的动摇率， 为 在风险中性世界中的期望增长率， 为 和 之间的瞬间相关系数2.2 蒙特卡洛模拟的技术实现. 常数利率和随机利率的蒙特卡罗模拟 利率为常数时：期权价值为初始时辰设为0：. 其中， 表示风险中性世界中的期望。 利率为变量时：期权价值为初始时辰设为0： 为有效期内瞬间无风险利率的平均值。2.2 蒙特卡洛模拟的技术实现.随

17、机样本的产生和模拟运算次数确实定：1. 的产生 是服从规范正态分布的一个随机数。假设只需一个单变量，那么可以经过下式获得：其中 是0到1的相互独立的随机数。2. 模拟运算次数确实定假设对估计值要求95的置信度，那么期权价值应满足 是进展运算的个数， 为均值， 是规范差2.2 蒙特卡洛模拟的技术实现.一对偶变量技术二控制方差技术三重点抽样法四间隔抽样法五样本矩匹配法六准随机序列抽样法七树图取样法2.3 减少方差的技术.主要优点： 1. 在大多数情况下，人们可以很直接地运用蒙特卡罗模拟方法，而无需对期权定价模型有深化的了解 2. 蒙特卡罗模拟的适用情形相当广泛主要缺陷：1. 只能为欧式期权定价，难

18、以处置提早执行的情形。2. 为了到达一定的准确度，普通需求大量的模拟运算。2.4蒙特卡洛模拟的了解和运用.主要思想是：运用有限差分方法将衍生证券所满足的偏微分方程转化为一系列近似的差分方程，即用离散算子逼近 、 和 各项，之后用迭代法求解，得到期权价值。详细地说，有限差分方法就是用有限的离散区域来替代延续的时间和资产价钱在坐标图上，有限差分方法那么表达为格点Grids3 有限差分方法.可以了解为从格点图内部向外推知外部格点的期权价值。如下图：下面引见一下 、 和 的差分近似3.1 隐形有限差分方法.1. 的近似对于坐标方格内部的点 ，期权价值对资产价钱的一阶导数可以用三种差分来表示： 、 和2

19、. 的近似对于 点处的 ，我们那么采取前向差分近似以使 时辰的值和 时辰的值相关联：3. 的近似 点 处的 的后向差分近似为 ，因此点处期权价值对标的资产价钱的二阶差分为这个二阶差分也是中心差分，其误差为 。3.1 隐形有限差分方法.差分方程把以上三个近似代入布莱克舒尔斯偏微分方程，整理得到：其中， 3.1 隐形有限差分方法.边境条件1. 时辰看跌期权的价值为 其中 2. 当股票价钱为零时，下方边境上一切格点的期权价值： 3. 当股票价钱趋于无穷时 3.1 隐形有限差分方法.求解期权价值：联立 个方程： 和 时， 时，解出每个 的期权价值最后可以计算出 ，当 等于初始资产价钱时，该格点对应的 就是我们要求的期权价值。 3.1 隐形有限差分方法.页面呈现显性有限差分法： 其中， 即直接从 时辰的三个相邻格点的期权价值求出 时辰资产价钱为 时的期权价值，可了解为从格点图外部推知内部格点期权价值的方法3.2 显形有限差分方法.有限差分方法树图方法VS一样点：两种方法都用离散的模型模拟资产价钱的延续运动不同点：树图方法中包含了资产价钱的分散和动摇率