勾股定理典型分类练习题

1、勾股定理典型分类练习题边，它的顶端B恰好落到D点，并求水池的深度 ACuZ w+n 5题型一：直接考查勾股定理ABC 中， C 90 .已知AC 6 , BC 8 .求AB的长 已知AB 17, AC 15,求BC的长变式1:已知， ABC中，AB=17cm BC=16cm BC边上的中线 AD=15cm 试说明 ABC 是等腰三角形。变式2：已知 ABC的三边a、b、c,且a+b=17, ab=60, c=13, 4ABC是否是直角三角形?你能说明理由吗？题型二：利用勾股定理测量长度 例1如果梯子的底端离建筑物 9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米?例2如图，水池中离岸边 D

2、点1.5米的C处，直立长着一根芦苇，出水部分BC的长是0.5米，把芦苇拉到岸题型三：勾股定理和逆定理并用一 ,一 一， ，,1例3 如图3,正万形ABCD43, E是BC边上的中点，F是AB上一点，且FB _ AB那么4 DEF是直角三角形吗？为什么题型四：旋转中的勾股定理的运用：例4、如图， ABC是直角三角形，BC是斜边，将 ABP绕点A逆时针旋转后，能与 ACP重合，若 AP=3求PP的长。变式：如图， 幅等边三角形ABCJ一点，PA=2,PB=2j3,PC=4,求 ABC勺边长.分析：利用旋转变换，将 BP颜点B逆时针选择60。，将三条线段集中到同一个三角形中，根据它们的数量关系，由勾

3、股定理可知这是一个直角三角形尸题型五：翻折问题 例5:如图，矩形纸片 ABCM边AB=10cm BC=6cm E为BC上一点，将矩形纸片沿BAE折叠，点B恰好落在CD边上的点G处，求BE的长.变式：如图，已知长方形 ABCD AB=8cm,BC=10cm在边CD上取一点 E,将4ADE折叠使点 D好落在BC边上的 点F,求CE的长.题型6:勾股定理在实际中的应用：例6、如图，公路 M明口公路PQ在P点处交汇，点 A处有一所中学，AP=160米，点A到 公路MN的距离为80米，假使拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路MN?皆PN方向行驶时，学校是否会受到影响，请说明理由

4、；如果受到影响， 已知拖拉机的速度是 18千米/小时，那么学校受到影响的时间为多少？CA变式：如图，铁路上 A、B两点相距25km, C、D为两村庄，若 DA=10km,CB=15kmDAI AB于A, CB AB于B,现要在AB上建一个中转站 E,使得C、D两村到E站的距离相等.求E应建在距A多 远处？关于最短性问题例5、如右图1 19,壁虎在一座底面半径为 2米，高为4米的油罐的下底边沿 A处, 它发现在自己的正上方油罐上边缘的B处有一只害虫，便决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿一条螺旋路线，从背后对害虫进行 突然袭击.结果，壁虎的偷袭得到成功，获得了

5、一顿美餐.请问壁虎至少要爬行多少路 程才能捕到害虫？（兀取3.14,结果保留1位小数，可以用计算器计算）选择题.在三边分别为下列长度的三角形中，不是直角三角形的是（A.5, 12, 13B.4, 5, 7C.2, 3,D.1, 22 , 0）;mf-n2、2mn mf+n2 （m n 为正整数，且 mnj）其中可以构成直角三角形的有（）A 5组；B、4 组；C、3 组；D、2 组.下列结论错误的是（）A、三个角度之比为 1 ： 2 ： 3的三角形是直角三角形；日 三条边长之比为 3： 4 ： 5的三角形是直角三角形；C三条边长之比为 8 ： 16 ： 17的三角形是直角三角形；D三个角度之比为

6、 1 ： 1 ： 2的三角形是直角三角形。.下面几组数：7,8,9 ; 12,9,15 ; m2 + n 2, m 2 - n2, 2mn （m, n 均为正整数,m n） a2, a2 1, a22 .其中能组成直角三角形的三边长的是（）A. B. C. D. .三角形的三边为a、b、c,由下列条件不能判断它是直角三角形的是（）A. a:b:c=8 ：16：17 B . a 2-b 2=c2 C . a2=（b+c）（b-c） D . a:b:c =13： 5 ： 12（a b）2c2 2ab,则这个三角形是（）A.等边三角形B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 锐角三角形.三角形的三条

7、中位线长分别为6、8、10,则该三角形为（）a b c的长为_三边的三角B. a 1,b、. 2,c 1Ca:b:c 3:4:5 D.形中，不是直角三角形的是)A a 7,b 24,c 2510.已知三角形的三边长为2a、b、c,如果 a 5b 12 c2 26c 169 0,则4ab城(1520, 2425,现将他们摆成两个直角三角形,其中正确的摆放是（11.有五根小木棒,AA）12.若三角形ABC中,其长度分别为7BB)CB： / C=2：1,a、b、c分别是/DD）A、/ B、/ C的对边，则下列等式中，成立的22a ba22c2 C.22c 2aD. c22b2a 12,b 13, c

8、 15.已知一个Rt的两边长分别为3和4,则第三边长的平方是（）A 、25B、14C、7D、7 或 25.三角形的三边长分别为6,8,10 ,它的最短边上的高为（）A. 6 B. 4.5 C. 2.4 D. 8三角形三边长分别为6、8、10,那么最大边上的高是（）16.若直角三角形的两条直角边长分别为3cnr4cm,则斜边上的高为（A、5 cmB cm C 、5 cmD cm212517.直角二角形的两直角边分别为5cm,12cm,其中斜边上的高为（）A.6cmB. 8.5cm C .30 cmD . 60cm1313) ABC中，/ C=90 ,如果 AB=10,BC： AC=3： 4,A.

9、6B.8C.10则 BC=（）、以上都不对 TOC o 1-5 h z .已知一个直角三角形的两边长分别为 _3和4,则第三边长是（）A. 5B . 25 C . 77D . 5 或 7.等腰三角形的底边为 16cm,底边上的高为 6cm,则腰长为（）A.8 cm B 9cm C 10cm D 13cm一直角边的长为11,另两边为自然数，则Rt 的周长为（）A 、121 B、120C、132D 、不能确定.直角三角形中一直角边的长为9,另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（A. 121 B . 120C. 90D .不能确定.已知直角三角形两边的长为3和4,则此三角形的周长为（）.A. 1

10、2B. 7+ 77C. 12 或 7+ 60 ： 13B、5 ： 12C、12 ： 13D、60 ： 169 ABC中，/ C=90 ,若 a+b=14cm, c=10cm,则 Rt ABC的面积是（）A、24cm2B、36cm2C、48cm2D、60cm2.等腰三角形底边上的高为8,周长为32,则三角形的面积为（）A 、56B、48C 400 32.一个三角形的三边长分别是5、13、12,则它的面积等于（）.已知，如图长方形 ABCD43, AB=3cm AD=9cm将此长方形折叠，使点 B与点D重合,）2D、 12cmAB=5的三角形沿最长边AB翻折后得到 ABC ,则CC的长等于（折痕为

11、EF,则 ABE的面积为（A、6cRB、8cm2 C、10cm.在同一平面上把三边 BC=3, AC=41224-531.在MBC中，/ ACB=90 , AC=12)BC=5 AM=AC BN=BC 贝U MN的长为(.如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端 A到墙根O的距离为2m,梯子白顶端 B到地 面的距离为7m，现将梯子的底端 A向外移动到A,使梯子的底端 A到墙根O的距离 等于3m.同时梯子的顶端 B下降至B,那么BB （ ）.A.小于1m B.大于1m C.等于1mD.小于或等于 1m.将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm,高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的

12、长度为hcm,则h的取值范围是（）.A. hw 17cmB . h 8cm C . 15cm hw 16cm D. 7cmw hw 16cm第31题填空题1,在 RtABC中，/ C=9Oo,如果 a=8,c=17,贝U b= ABC中，/ C=90 (1)若 a=5, b=12,贝U c= (2) b=8, c=17,贝U Saabc= ABC, / 0= 90 ,且 2a=3b, c= 213 ,贝U a =, b=.4.直角三角形 ABC中，/ C=90o,若 C=5,则 a2+b2+c2= ABC中，AB=8cm,BC=15cm要使 CB=9S,则 AC长为 cm：28 ： 53,则这

13、个三角形是 （按角分类） 。.若三角形三边长为 9、40、41 ,则此三角形是 .直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为。.设直角三角形的三条边长为连续自然数，则这个直角三角形的面积是 .三个内角之比为1: 2: 3的三角形的最短边为1,则此三角形的面积为 ABC中，若其三条边白长度分别为9、12、15,则以两个这样的三角形所拼成的长方形的面积是. 4ABC中,AB=AC=17cm BC=16cm AD） BC于 D,贝U AD=。.直角三角形的两直角边长分别是16、12,则斜边上的高为 RtABC中，E是斜边 AB上的一点，把 RtABC沿CE折叠，点 A与点B正好重合，如果 AC=4,则

14、AB=.如果梯子底端离建筑物 9m,那么15m长的梯子可达到建筑物的高度是。解答题:1.如图,2.如图,求如图，AD= 4, CD= 3, Z ADC= 90 , AB= 13, BC= 12,求该图形的面积。C.已知：如图，折叠长方形的一边AD,使点D落在BC边上的点F处，如AB=8cm BC=10cm求EC的长DF.如图， ABC的三边分另I为 AC=5 BC=12, AB=13,将 ABCg AD折叠，使 AC哈在 AB上，求 DC的长.（题6图）.如图一梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端 B与墙角C的距离为.5米，梯子滑动后停在 DE的位置上，测得 BD长为0.5米，

15、求梯子顶端 A下落了多少米?图8米，梯子的顶端下滑 2米后，底端将水.一个长10米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直高度为平滑动2米吗?边AB上，且与 AE重合，你能求出 CD的长吗?.如图，有一个直角三角形纸片，两直角边 AC=6cm BC=8cm现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜1 .勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a, b,斜边为c,那么a2 b2 c2勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变根据同一种图形的面积不同的表示方

16、法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：122 八一、一方法：4SS正方形efgh S正方形abcd，4 3 ab a) c ,化间可证.方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积.四个直角三角形的面积与 TOC o 1-5 h z 小正方形面积的和为S 4 2 ab c2 2ab c2 大正方形面积为 S (a b)2 a2 2ab b2所2 2.22a b c 111 2万法二：S弟形一(ab) (a b) ,S弟形2Sade S abe 2abc ,化间得证222.勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于

17、锐角三角形 和钝角三角形的三边就不具有这一特征。.勾股定理的应用 已知直角三角形的任意两边长，求第三边在 ABC中，C 90,则c Ja2 b2 , b Jc2 a2 , a Jc2 b2知道直角三角形一边,可得另外两边之间的数量关系可运用勾股定理解决一些实际问题如果三角形三边长 a, b, c满足a2 b2 c2,那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过 数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和a2 b2与较长边的平方c2作比较，若它们相等时，以 a, b, c为 三边的三角形是直角三角形

18、；寓若a2 b2 c2,时，以a, b, c为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c ,时，以 a , b ,c为三边的三角形是锐角三角形； 定理中a,b,c及a2 b2 c2只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a,b,一 222c满足a c b ,那么以a, b, c为三边的三角形是直角三角形，但是 b为斜边能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即a2 b2 c2中，a,b,c为正整数时,称a, b, c为一组勾股数记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5; 6,8,10； 5,12,13； 7,24,25等用含字母的代数式表示n组勾股数：n2 1,2

19、n,n2 1 （ n 2, n 为正整数）;2n 1,2n2 2n,2n2 2n 1 （ n 为正整数）m2 n2,2mn,m2 n2（m n, m , n为正整数）.勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题.在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形， 以便正确使用 勾股定理进行求解.勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边

20、的平方和与最长边的平方进行 比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论.勾股定理及其逆定理的应用C通常既要通完成对问题勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体. 过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成,的解决.常见图形:10、互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如 果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。二、经典例题精讲题型一：直接考查勾股定理例题1例1 .在ABC中， C 90 .已知AC 6, BC 8 .求AB的长已知

21、AB 17, AC 15,求BC的长:题型二：利用勾股定理测量长度例题2如果梯子的底端离建筑物的高度是多少米？例题3如图（8）,水池中离岸边1-9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物fLXHEC墨5D点的C处，直立长着一根芦苇，出水部分BC的长是，把芦苇拉到岸边，它的顶端B恰好落到D点，并求水池，的深度 A *C.萼加 仁AA8图2题型三：勾股定理和逆定理并用一一例题4 如图3,止方形 ABC邛，E是BC边上的中点，F是AB上一点，是直角三角形吗？为什么？例题5如图4,已知长方形 ABCD43 AB=8cm,BC=10cm在边CD上取一点好落在BC边上的点F,求CE的长.题型五：利用勾股定理逆

22、定理判断垂直一一序感j_且FB AB那么4DEF4E,将4ADE折叠使点D恰题型七：关于翻折问题例1、如图，矩形纸片 ABCD的边AB=10cm, BC=6cm, E为BC上一点，将矩形纸片 沿AE折叠，点B恰好落在CD边上的点G处，求BE的长.变式：如图，AD是4ABC的中线，/ ADC=45 ,把 ADC沿直线AD翻折，点C落在点C的位置，BC=4求BC的长./例题6如图5,王师傅想要检测桌子的表面AD边是否垂直与 AB边和CD边，他测得AD=80cm AB60cm, BD=100cm AD边与AB边垂直吗？怎样去验证 AD边与CDi是否垂直?就自动打开，一个身高的学生，要走到离门多远的地

23、方灯刚好打开?例题7有一个传感器控制的灯，安装在门上方，离地高的墙上，任何东西只要移至5米以内，灯题型六：旋转问题:例1、如图，公路MN和公路PQ在P点处交汇，点A处有一所中学,AP=160米，点A至ij公路MN的距离为80米，假使拖拉机行驶时,EAF=45题型八：关于勾股定理在实际中的应用变式1:如图,P是等边三角形 ABC内一点,PA=2,PB=2 J3 ,PC=4,求 ABC的边长.变式2、如图，ABC1等腰直角三角形， /BAC=90 , E、F是BC的点,试探究BE2、CF2、EF 2间的关系，并说明理由且/周围100米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路MN上?& PN方向行驶时，

24、学校是否会受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是18千米/小时，那么学校受到影响的时间为多少?题型九：关于最短性问题例5、如右图1 19,壁虎在一座底面半径为 2米，高为4米的油罐的下底边沿 A处，它发现在自己的正上方油 罐上边缘的B处有一只害虫，便决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐， 沿一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击.结果，壁虎的偷袭得到成功，获得了一顿美餐.请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫 ？（兀取3.14,结果保留1位小数，可以用计算器计算）变式：如图为一棱长为3cm的正方体，把所有面都分为 9个小正方形，其边长都是 1cm

25、,假设一只蚂蚁每秒爬行 2cm,则它从下地面 A点 沿表面爬行至右侧面的 B点，最少要花几秒钟？、选择题.下列各数组中，不能作为直角三角形三边长的是（）A. 9,12,15B.5,12,13 C. 6,8,10 D. 3,5,7.将直角三角形的各边都缩小或扩大同样的倍数后，得到的三角形（）A.可能是锐角三角形B.不可能是直角三角形15m,则目测点到杆顶的距离为（设.在测量旗杆的方案中，若旗杆高为21m,目测点到杆的距离为目高为1m）. 一等腰三角形底边长为10cm,腰长为13cm,则腰上的高为60A. 12cm B.C.120cm13D.已知直角三角形一个锐角60 ,斜边长为1,那么此直角三角形的周长是A. 5B.3 C. 3 +2.3 3D.2二、填空题.如图,64、400分别为所在正方形的面积，则图中字母A所代表的正方形面积是 .如图，一根树在离地面 9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处.树折断之前有 米. T