书上的初等模型

1、数学建模12.1 数列模型模型实例模型评价2 个月还清。 分期付款的第一个月应该付款 （万元） 第二个月应该付款 （万元） 第三个月应该付款 (万元） 第20个月应该付款 （万元）一共付款 (万元) （万元） 或（万元）即第十个月应该付款55.5万元，一共花了1255万元。回顾：这是一个等差数列模型，第个月需还款是等差数列的求通项问题，求总和又是等差数列的求和问题。例1 某单位用分期付款的方式为职工购买40套住房，共需1150万元。购买当天先付150万元，以后每月这天都交付50万元，并加付欠款利息，月利率为1%。若交付150万元后的第一个月开始算分期付款的第一个月，问到分期付款第10个月应该付

2、多少钱？全部贷款付清后买这40套住房实际花了多少钱？分析：这是一个非等额分期付款问题，是数列模型的应用题。每月还50万元，欠款减少，但剩余欠款的欠款时间在增加。 模型实例3 分期付款的第一个月应该付款 第二个月应该付款 第三个月应该付款 第20个月应该付款 一共付款 解：由题意可知，需 个月还清。4或即第十个月应该付款55.5万元，一共花了1255万元。是等差数列的求通项问题，求总和又是等差数列的求和问题。回顾：这是一个等差数列模型，第i个月需还款5例2 一对夫妇为给他们的独生子女支付将来上大学的学费，从孩子一出生每年都到银行储蓄一笔钱。设大学学费每年需2500元，四年共需1万元，银行储蓄年利

3、率为11%。每年按复利计算，为了使到18周岁上大学时本利和共1万元，他们每年需存多少钱？（精确到元， ) 分析：这是一个积攒学费的问题，学费每年2500元是一个不变的量，但逐年存入的钱到期时本利和构成一数列，需求此数列的和，恰为1万元。6（元） 解：设每年需存入x元，则7例3 某家庭为给其独生孩子准备一笔上大学的学费，从孩子出生起就在每年孩子生日这天到银行储蓄一笔钱。若目前上大学费用为每年3000元，四年共需12000元，并因物价上涨等因素影响，学费将以每年6%的幅度增加。假定银行的年利率为4%，且在今后的18年内不变，计复利，试问当孩子18岁上大学时，要存满相当于上大学当年的四年学费，每年生

4、日时应存入多少钱？ 分析：这也是一个积攒学费的问题，与例2不同的是，题中涉及两个数列。一个是四年所需学费（逐年上涨）所构成的数列，另一个是逐年所存入的钱到期时的本利和所构成的数列。本题所需求的每年生日所存入多少钱才能使所有的存款的本息和等于18年后所需的学费。 8解：12000元学费，按6%的幅度增加，18年后应为设每年应存入 元，按复利计算，这个应从孩子0岁到17周岁共存了18笔款，它们到孩子18周岁时，各笔款的存期分别为18年，17年，1年，因此它们的本利和为即每年需存入1284元. (元)回顾：本题可用计数器计算。通过本题的求解，可见认真分析题中的隐含条件，熟练掌握建模方法是十分重要的。

5、本题的结果又告诉我们，教育投资应从长计议。 9例6 年底，小王承包了一个小商店，一月初向银行贷款10000元作为投资用于进货。每月月底可售出全部货物，获得毛利（当月销售收入与投入资金之差）是该月月初投入资金的20%，每月月底需要支付税款等费用共占该毛利的60%，此外，小王每月还得支付生活费300元，余额作为下月投入资金用于进货，如此继续。问到年底，小王拥有多少资金？若贷款利率为10.98%，问小王的纯收入为多少？解：设第n个月的月底小王拥有资金元，贷款金额为a0，则整理得：分析：这是一个贷款经营问题，要分清毛利与纯收入之间的区别10这是一个非齐次的差分方程，即差比数列方程。设 则 （元）其中

6、(元)纯收入为 即小王年底拥有资金19488.6元，纯收入为8390.6元。(元)，11例8 在一次人才招聘会上，有A、B两家公司分别开出他们的工资标准：A公司承诺第一年月工资为1500元，以后每年月工资比上一年增加230 元；B公司承诺第一年月工资为2000元，以后每年月工资在上一年月工 资的基础上递增5%，设某人年初被两家公司同时录取，试问： 若该人分别在A或B公司连续工作n年，则他到第n年的月工资分别是多少？ 该人打算连续在一家公司工作10年，仅从工资收入总量较多作为应聘的标准（不计其它因素），该人应该选择哪家公司？为什么？ 在月工资较多的公司工作月工资比月工资较少的公司每月多收入多少元

7、？（精确到元）并说明理由。 分析：A公司的月工资以年为单位是成等差数列递增。B公司的月工资以年为单位成等比数列递增，由此建立模型。12解：（1）设、分别为此人在A、B公司的第n年月工资，由已知可得此人在A、B公司工作第n年的月工资分别为)(2) 若此人在A公司连续工作10年，则他的工资收入总量为(元)，同理在B公司连续工作10年，他的工资收入总量为 (元)，因为A公司的收入总量较高，所以此人应该选择A公司。13(3) 此问题等价于求的最大值。当 时,若 ,则 即 时因此当时，,于是当时， 是数列的最大项，此时 即在A公司工作比在B公司工作的月工资最多可多827元。(元)，14例9 一电视台某天有n次插播广告时刻，一共播了m条广告，第一次播了一条以及余下(m-1)条的1/8，第二次播了2条以及余下的1/8,以后每次按此规律插播广告，在最后一次即第n次播了余下的最后n条广告，问这几天有几次插播广告？并求播出广告的条数m。分析：这是一个比较现实的电视台插播广告问题，从已知条件建立数列模型。于是 解：设播出k次广告后，还剩下 条广告未播，则第k次播出的广告条数为15由此递推式可得： (1)由之定义可得 (2)(1)-(2)得 16 对于,显然有又，而m是正整数，因此有即,此时。回顾：此题巧妙构思了数列的递推式，而在解法上又应用了方法，它是等差，等