2022年全等三角形难题集锦

1、1、（2022 年成都）已知：如图,ABC 中, ABC=45 ,CDAB 于 D,BE 平分 ABC,且 BEAC于 E,与 CD 相交于点 F,H 是 BC 边的中点,连结 DH 与 BE 相交于点 G；.求证： BF=AC；2求证： CE=1 2BF；3CE 与 BC 的大小关系如何？试证明你的结论；2.（2022.内江）已知 ABC 为等边三角形,点 D 为直线 BC 上的一动点（点 D 不与 B、C 重合）,以AD 为边作菱形 ADEF（A、D、E、F 按逆时针排列）,使 DAF=60 ,连接 CF（1）如图 1,当点 D 在边 BC 上时,求证： BD=CF； AC=CF+CD ；

2、（2）如图 2,当点 D 在边 BC 的延长线上且其他条件不变时,结论 请写出 AC、CF、CD 之间存在的数量关系,并说明理由；AC=CF+CD 是否成立？如不成立,（3）如图 3,当点 D 在边 BC 的延长线上且其他条件不变时,补全图形,并直接写出 AC、CF、CD 之间存在的数量关系13（08 河北中考第 24 题）如图 14-1 ,在 ABC中, BC边在直线 l 上, ACBC,且 AC = BC EFP的边 FP也在直线 l 上,边 EF与边 AC重合,且 EF=FP（1）在图 14-1 中,请你通过观看、测量,猜想并写 出 AB与 AP所满意的数量关系和位置关系；（ 2）将 E

3、FP沿直线 l 向左平移到图 14-2 的位置时, EP交AC于点 Q,连结 AP,BQ猜想并写出 BQ与 AP所满意的数量关系和位置关系,请证明你的猜想；（3）将 EFP 沿直线 l 向左平移到图 14-3 的位置时, EP 的延长线交 AC 的延长线于点Q,连结AP,BQ你 认为（2）中所猜想的 BQ与 AP的数量关系和位置关系仍成立吗？如成立,给出证明；如不成立,请说明理由A （E）E A E A Q B C（F）P l B F C P l F P B Cl 图 14-1图 14-2图 14-3 Q 4. 如图 1、图 2、图 3, AOB, COD均是等腰直角三角形,AOBCOD90o

4、,（1）在图 1 中,AC与 BD相等吗,有怎样的位置关系？请说明理由；（2）如 COD绕点 O顺时针旋转肯定角度后,到达图 位置关系吗？为什么？（3）如 COD绕点 O顺时针旋转肯定角度后,到达图 中的位置关系吗？为什么？2 的位置,请问 AC与 BD仍相等吗,仍具有那种 3 的位置,请问 AC与 BD仍相等吗？仍具有上问考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形分析：（1）依据等腰三角形的两腰相 等进行解答（2）证明 DOB COA,依据全等三角形的对应边相等进行说明解答：解：（1）相等在图 1 中, AOB, COD均是等腰直角三角形,AOB=COD=90 ,OA=OB,O

5、C=OD0A-0C=0B-OD,AC=BD；（2）相等在图 2 中, 0D=OC, DOB=COA,OB=OA, DOB COA,BD=AC点评：此题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的性质以及旋转问题,在旋转的过程中要留意哪些量是不变的,找出图形中的对应边与对应角5（2022 河南）（9 分）复习“ 全等三角形” 的学问时,老师布置了一道作业题：“ 如图,已知在ABC中, AB=AC,P 是 ABC内部任意一点,将 BQ=CP”AP绕 A顺时针旋转至 AQ,使 QAP= BAC,连接 BQ、CP,就2小亮是个爱动脑筋的同学,他通过对图的分析,证明白ABQ ACP,从而证得 BQ=CP之后,将

6、点 P移到等腰三角形ABC之外,原题中的条件不变,发觉“BQ=CP” 仍旧成立,请你就图给出证明考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质专题：证明题；探究型分析：此题的两个小题 思路是一样的；已知 QAP=BAC ,那么这两个等角同时减去同一个角（2 题是加上同一个角）,来证 得QAB= PAC；而依据旋转的性质知： AP=AQ,且已知 AB=AC ,即可由 SAS 证得 ABQ ACP,进而得出 BQ=CP 的结论解答：证明： （1） QAP=BAC,QAP-BAP=BAC- BAP,即QAB= CAP；在 BQA 和 CPA 中,AQ=AP QAB= CAP AB=AC BQA CP

7、A（SAS）；,BQ=CP（2）BQ=CP 仍旧成立,理由如下：QAP=BAC ,QAP+PAB=BAC+ PAB,即QAB= PAC；在 QAB 和 PAC 中,AQ=AP QAB= PAC AB=AC QAB PAC（SAS）,BQ=CP点评：此题主要考查了等腰三角形的性质以及全等三角形的判定和性质；挑选并利用三角形 全等是正确解答此题的关键5（2022 山西太原）将一张透亮的平行四边形胶片沿对角线剪开,得到图中的两张三角形胶片ABC和DEF且ABCDEF；将这两张三角形胶片的顶点 B 与顶点 E 重合,把DEF 绕点 B 顺时针方向旋转,这时 AC 与 DF 相交于点 O 当DEF 旋转

8、至如图位置, 点 B E ,C,D 在同始终线上时,AFD 与 DCA的数量关系是当DEF连续旋转至如图位置时, （1）中的结论仍成立吗？ AO与 DO存在怎样的数量关系？请说明理由考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质专题：探究型分析：D+ABC ,DCA= A+ABC ,从而得出 AFD=DCA ；（1）依据外角的性质,得 AFD=（2）成立由 ABC DEF,可证明 ABF=DEC就 ABF DEC,从而证出 AFD= DCA ；（3）BOAD 由 ABC DEF,可证得点 B 在 AD 的垂直平分线上,进而证得点 O 在 AD 的垂直 平分线上,就直线 BO 是 AD 的垂直平分线,

9、即 BOAD解答：解：（1） AFD=DCA（或相等）（2）AFD=DCA （或成立）,理由如下：3方法一：由 ABC DEF,得 AB=DE ,BC=EF（或 BF=EC）,ABC=DEF,BAC= EDFABC- FBC=DEF-CBF,ABF=DEC在 ABF 和 DEC 中, AB=DE ABF= DEC BF=EC ABF DEC, BAF=EDCBAC- BAF=EDF-EDC, FAC=CDFAOD= FAC+AFD=CDF+DCA ,AFD= DCA 方法二：连接 AD同方法一ABF DEC,AF=DC由 ABC DEF,得 FD=CA在 AFD DCA , AF=DC FD=

10、CA AD=DA AFD DCA , AFD=DCA （3）如图, BOAD AD方法一：由 ABC DEF,点 B 与点 E 重合,F得BAC= BDF,BA=BD 点 B 在 AD 的垂直平分线上,且BAD= BDA BECOAD= BAD- BAC, ODA=BDA- BDF,OAD= ODA OA=OD,点 O 在 AD 的垂直平分线上直线 BO 是 AD 的垂直平分线, BOAD 方法二：延长 BO 交 AD 于点 G,同方法一, OA=OD在 ABO 和 DBO 中, AB=DB BO=BO OA=OD ABO DBO, ABO=DBO在 ABG 和 DBG 中, AB=DB AB

11、G=DBG BG=BG ABG DBG, AGB=DGB=90 BOAD 点评：此题考查了三角形全等的判定和性质以及旋转的性质,是基础学问要娴熟把握例 1 正方形 ABCD中,E为 BC上的一点, F 为 CD上的一点, BE+DF=EF,求 EAF的度数 . 考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质分析：延长 EB使得 BG=DF,易证 ABG ADF（SAS）可得 AF=AG,进而求证AEG AEF可得 EAG=EAF,再求出 EAG+EAF=90 即可解题解答：解：延长 在 ABG和 ADF中,EB使得 BG=DF,由 AB=AD ABG=ADF=90 BG=DF ,可得

12、ABG ADF（SAS）,DAF=BAG,AF=AG,又EF=DF+BE=EB+BG=EG,AE=AE, AEG AEF（SSS）,EAG=EAF,DAF+EAF+BAE=90EAG+EAF=90 ,EAF=45 答： EAF的角度为 45 点评：此题考查了正方形各内角均为直角,考查了全等三角形的判定,考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质,此题中求证EAG=EAF是解题的关键例 2 D 为等腰 Rt ABC 斜边 AB的中点, DMDN,DM,DN分别交 BC,CA于点 E,F；（1） 当MDN 绕点 D转动时,求证 DE=DF；B（2） 如 AB=2,求四边形 DECF的面积；AEMCF

13、AN考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形专题：运算题分析：（1）连 CD,根据等腰直角三角形的性质得到 CD平分 ACB,CDAB,A=45 ,CD=DA,就 BCD=45 ,CDA=90 ,由DMDN 得EDF=90 ,依据等角的余角相等得到CDE=ADF,依据全等三角形的判定易得DCE ADF,即可得到结论；（2）由 DCE ADF,就 S DCE=S ADF,于是四边形 DECF的面积 =S ACD,由而 AB=2可得 CD=DA=1,依据三角形的面积公式易求得S ACD,从而得到四边形DECF的面积解答：解：（1）连 CD,如图,D为等腰 Rt ABC斜边 AB的中

14、点,CD平分 ACB,CDAB,A=45 , CD=DA,BCD=45 , CDA=90 ,DMDN,EDF=90 ,CDE=ADF,在 DCE和 ADF中,AMBAMADEMDCE=DAF DC=DA CDE=ADF , DCE ADF,BEEBDE=DF；CFNDCFNDFC（2） DCE ADF,S DCE=S ADF,N四边形 DECF的面积 =S ACD,（图 2）（图 3）而 AB=2,（图 1）CD=DA=1,四边形 DECF的面积 =S ACD=1 2 CD.DA=1 2 点评：此题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等,即对应角相等,对应线段相等,对应点与旋转中心的连线段的夹角

15、等于旋转角也考查了等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质6、已知四边形 ABCD 中, AB AD ,BC CD , AB BC ,ABC 120,MBN 60,MBN 绕 B点旋转,它的两边分别交 AD,DC（或它们的延长线）于 E,F当MBN 绕 B 点旋转到 AE CF 时（如图 1）,易证 AE CF EF 当MBN 绕 B 点旋转到 AE CF 时,在图 2 和图 3 这两种情形下,上述结论是否成立？如成立,请赐予证明；如不成立,线段 AE,CF, EF 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想,不需证明57（西城 09 年一模） 已知 :PA= 2 ,PB=4, 以 AB为一边作

16、 正方形 ABCD,使 P、D两点落在直线 AB的两侧 . 1 如图 , 当APB=45 时 , 求 AB及 PD的长 ; 2 当 APB变化 , 且其它条件不变时 , 求 PD的最大值 , 及 相应 APB的大小 . 图 1 图 2 图 3 （ I）如图1,当点M 、N 边 AB、 AC 上,且DM=DN时, BM 、 NC、MN 之间的数量关系是； 此时 Q；L（II ）如图 2,点 M、N 边 AB 、AC 上,且当 DM例8（2022年马尾） 用两个全等的等边三角形DN 时,猜想（ I）问的两个结论仍成立吗？写出 ABC和 ACD拼成菱形 ABCD.把一个含 60 角的三角尺与这个菱形

17、叠合,使三角尺的 60 角的顶点与点 A重合,两边分别与 AB,AC重合 .将三角尺绕点 A按逆时针方向旋转 . （1）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC,CD相交于点 E,F时,（如图 131）,通过观看或测量BE,CF的长度,你能得出什么结论？并证明你的结论；（2）当三角尺的两边分别与菱形的两边 BC,CD的延长线相交于点 E,F时（如图 132）,你在（ 1）中得到的结论仍成立吗？简要说明理由 . 考点：菱形的性质；三角形的面积；全等三角形的判定与性质；旋转的性质分析：（1）利用全等三角形的判定得出ABE ACF即可得出答案；（2）依据已知可以得出 BAE=CAF,进而求出ABE ACF

18、即可；（3）利用四边形 AECF的面积 S=S AEC+S ACF=S AEC+S ABE=S ABC 求出即可解答：解：（1）得出结论是： BE=CF,证明： BAC=EAF=60 , BAC-EAC=EAF-EAC,即： BAE=CAF ,6又 AB=AC , ABE=ACF=60 , BAE=CAF AB=AC ABE= ACF , ABE ACF（ASA）,BE=CF,（2）仍成立,证明： BAC=EAF=60 , BAC+EAC=EAF+EAC,即 BAE=CAF ,又 AB=AC , ABE=ACF=60 ,即 BAE=CAF AB=AC ABE= ACF , ABE ACF（ASA）,BE=CF,（3）证明：ABE ACF,S ABE=S ACF,四边形 AECF的面积 S=S AEC