2021-2022学年黑龙江省大庆中学高二上学期第一次月考数学试题 解析版

1、 PAGE 1 PAGE 15黑龙江省大庆中学2021-2022学年高二上学期第一次月考数学试题一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.若，则（ ）A.B.C.D.2.下列函数中，既是周期函数又是偶函数的是（ ）A.B.C.D.3.直线的倾斜角为60，经过点，则直线与直线的位置关系是（ ）A.平行B.垂直C.重合D.平行或重合4.圆：和圆：的公切线的条数为（ ）A.1B.2C.3D.45.设，向量，且，则（ ）A.B.3C.4D.6.如果数据的平均数为，方差为，则的平均数和方差分别为（ ）A.，B.，C.，D.，7.（ ）A.B.C.D.8.某组合体如图所示，上半部分是正四棱锥，下半部

2、分是长方体.正四棱锥的高为，则该组合体的表面积为（ ）A.16B.C.20D.9.已知平面的一个法向量，点在平面内，则点到平面的距离为（ ）A.10B.3C.D.10.已知圆的方程为，为圆上任意一点，则的取值范围是（ ）A.B.C.D.11.若圆上恰有三点到直线的距离为2，则的值为（ ）A.2B.1C.D.12.已知圆的圆心在坐标原点，且与直线相切，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线，A、B为切点，则直线AB经过定点（ ）A.B.C.D.二、多选题（本大题共2小题，共10.0分）13.已知直线与直线垂直，则实数的值可以是（ ）A.0B.C.D.14.已知直线与圆：，则（ ）A.对，直线恒过一

3、定点B.，使直线与圆相切C.对，直线与圆一定相交D.直线与圆相交且直线被圆所截得的最短弦长为三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）15.圆与圆的公共弦所在直线方程_.16.正方体的棱长为2，点M和N分别是和的中点，则异面直线AM和CN所成角的余弦值为_.17.直线：与曲线：有两个公共点，则的取值范围是_.18.一束光线从点出发经轴反射到圆：上，光线的最短路程是_.四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）19.已知直线与直线交于点.（1）求过点且平行于直线的直线的方程，并求出两平行线之间的距离；（直线方程写成一般式）（2）求过点并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的方程.（直线方程写成一

4、般式）20.已知圆：与直线相切.（1）求圆的方程；（2）过点作圆的切线，求切线方程；21.如图所示，平面平面，且四边形为矩形，四边形为直角梯形，.（1）求证平面；（2）求直线与平面所成角的大小.22.已知圆的圆心在直线上，与轴正半轴相切，且被直线：截得的弦长为.（1）求圆的方程；（2）设点在圆上运动，点，且点满足，求点的轨迹方程，并说明轨迹形状.23.如图，已知长方形中，为的中点，将沿折起，使得平面平面.（1）求证：；（2）若点是线段上的一动点，问点在何位置时，二面角的余弦值为.大庆中学2021-2022学年度高二上学期数学月考试题【答案】1.A 2.C 3.D 4.B 5.B 6.C 7.C

5、 8.C 9.D 10.C11.C 12.A 13.AB 14.ACD15.16.17.18.419.解：（1）由，得.设直线的方程为，代入点坐标得，所以直线的方程为，所以两平行线间的距离.（2）当直线过坐标原点时，直线的方程为，即；当直线不过坐标原点时，设直线的方程为，代入点坐标得，所以直线的方程的方程为，即.综上所述，直线的方程为或.20.解：（1）由题意，知圆心到直线的距离，所以圆的方程为.（2）或21.解：（1）取CE中点为G，连接DG、FG，且，四边形BFGC为平行四边形，则且.四边形ABCD为矩形，且，且，四边形AFGD为平行四边形，则.平面，平面，平面；（2）四边形为直角梯形，四

6、边形为矩形，又平面平面，且平面平面，平面.以C为原点，CB所在直线为x轴，CE所在直线为y轴，CD所在直线为z轴建立如图所示空间直角坐标系.根据题意我们可得以下点的坐标：，则，.设平面的一个法向量为，则，取，得.，直线与平面所成角的大小为.22.解：（1）由已知设圆心，则由圆与轴正半轴相切，可得半径，圆心到直线：的距离，由已知得，解得，故圆心为或，半径等于3.圆与轴正半轴相切，圆心只能为，故圆的方程为；（2）设，则，点在圆上运动，即，即，所以点的轨迹的方程为，它是一个以（5，5）为圆心，以1为半径的圆.23.（1）证明：长方形中，为的中点，则，平面平面，平面平面，平面，平面，平面，.（2）取M

7、中点O，连接DO，则平面ABCM，以O为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则平面ADM的一个法向量为，设，.设平面的一个法向量为，则，取，得.二面角的余弦值为.由，解得.为上靠近点的处.【解析】1.解：因为，所以，故.故选：A.先利用复数的运算法则求出复数的代数形式，再利用共轭复数的定义求解即可.本题考查了复数的运算，以及共轭复数的概念，解题的关键是掌握复数的运算法则，属于基础题.2.解：由于选项：A不是周期函数.选项B不是偶函数，选项D不是偶函数，故选：C.直接利用函数的性质的应用求出结果.本题考查的知识要点：函数的性质的应用，主要考查学生对定义的应用能力.3.【分析】本题主要考查利用直线的

8、斜率判断直线的位置关系，考查了学生的计算能力，属于基础题.求出直线MN的斜率，根据l1，的斜率关系即可得到.解：由点M，N可求得直线的斜率.因为直线的倾斜角为60，所以直线的斜率，则有，则直线与直线平行或重合.故选D.4.【分析】本题考查了两圆的位置关系的判定及确定公切线的条数，是基础题.根据圆心距与半径的和差的大小关系判定两圆的位置关系，进而得出公切线的条数.【解答】解：两个圆：与：，圆圆心为，半径为2，圆圆心为，半径为2，两圆圆心距为，两圆相交，有2条公切线.故选B.5.【分析】本题主要考查空间向量的平行、垂直关系及模长公式求解，属于基础题.根据，可得，即可求得，根据，可得对应坐标成比例，

9、即可求得，即可得坐标，代入模长公式，即可得答案.【详解】因为，所以，解得，所以，因为，所以，解得，所以，所以，所以.故选：B.6.【分析】主要考查了平均数和方差的概念，直接根据公式求解即可.【解答】解：的平均数为，的平均数是：.的方差为，的方差是：.故选C.7.【分析】本题考查三角函数化简求值，考查推理能力和计算能力，属于基础题.利用二倍角公式和辅助角公式将原始化为，再求解.【解答】解：原式.故选C.8.【分析】本题考查了组合体的表面积，求四棱锥的斜高是关键，考查了运算能力和空间想象能力，属于基础题.该组合体由一个正四棱锥和一个长方体组成，由勾股定理可计算出正四棱锥的斜高，即可运用三角形的面积

10、公式求出正四棱锥的侧面积，再求出长方体的侧面积和底面积，再求和即可.【解答】解：由题意，该组合体由一个正四棱锥和一个长方体组成，因为正四棱锥的高为，所以正四棱锥的斜高为，该组合体的表面积为.故选：C.9.【分析】本题主要考查了法向量的应用、向量数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.利用，即可得出.【解答】解：由已知得，故点到平面的距离.故选D.10.【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，利用斜率的几何意义求出取值范围.【解答】解：圆的方程为，过点（1，2）作圆的切线方程，设切线方程为，即.则，解得：.则的取值范围为.故选C.11.【分析】本题考查直线与圆的位置关系，考查点到

11、线的距离公式，是基础题.圆的圆心，半径，由圆上恰有三点到直线的距离为2，得到圆心到直线的距离为1，由此能出的值.【解答】解：圆，即，圆心，半径为3，圆上恰有三点到直线的距离为2，圆心到直线的距离为1，即，解得.故选C.12.【分析】本题考查了直线和圆的位置关系，圆和圆的位置关系，圆的切线性质，以及直线过定点问题，属于中档题.根据题意设的坐标为，由切线的性质得点A、B在以CP为直径的圆上，求出圆的方程，将两个圆的方程相减求出公共弦AB所在的直线方程，再求出直线AB过的定点坐标.【解答】解：因为是直线上的任一点，所以设，因为圆C：的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，所以C为坐标原点，且，则点A

12、、B在以CP为直径的圆上，即AB是圆C和圆的公共弦，则圆心的坐标是，且半径的平方是，所以圆的方程是，又，-得，即公共弦AB所在的直线方程是，即，由，得，所以直线恒过定点.故选A.13.【分析】本题主要考查了直线的点斜式方程，直线与直线垂直的判定及其性质的应用，属于基础题.分和两种情况讨论，当时，由斜率乘积等于-1求解.【解答】解：当时，直线与直线垂直，符合题意；当时，将直线变形，得，得，由直线，得，得，因为两直线垂直，所以，解得.综上，实数的值为0或.故选AB.14.【分析】本题考查了直线系方程的应用以及直线与圆的位置关系及判定，属基础题.结合题意，由过定点的直线系方程以及直线与圆的位置关系判

13、定分析各选项即可【解答】解：由题意，直线变形得，由得直线过定点，选项A正确；将圆变形得，即圆心，半径，所以，所以直线与圆一定相交，C正确，B错误；由平面几何知识可知，当直线与过定点A和圆心的直线垂直时，直线被圆截得的弦长取最小值，此时弦长为，D正确.故选ACD.15.解：根据题意，圆，即，圆，即，联立两个圆的方程，变形可得，即两圆公共弦的方程为，故答案为：，根据题意，将两圆的方程变形为一般方程，联立变形可得答案.本题考查圆与圆的位置关系，涉及圆的标准方程的应用，属于基础题.16.【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AM和CN所成角的余

14、弦值.本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用.【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，则，设异面直线AM和CN所成角为，则.异面直线AM和CN所成角的余弦值为.故答案为：.17.【分析】本题考查直线与圆的位置关系，属基础题，关键是将曲线C的方程，两边平方，并注意到，得到一个半圆，然后考查直线与半圆何时有两个公共点即可，画出图形，借助于直线与圆相切的条件求得相切时的b的值，然后结合图形观察即得.【解答】解：如图所示，是一个以原点为圆心，长度1为半径的半圆，是一个斜率为1的直线，要使两图有两个交点，连接和，直线必在

15、AB以上的半圆内平移，直到直线与半圆相切，则可求出两个临界位置直线的b值，当直线与AB重合时，；当直线与半圆相切时，.所以b的取值范围是.18.【分析】本题主要考查关于直线的对称问题，求一个点关于直线的对称点的方法，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题.求出点关于轴的对称点，则最短路径的长为，计算求得结果.【解答】解：由题意可得圆心，半径，点关于轴的对称点，如图：所以，因此光线的最短路程是.故答案为4.19.本题主要考查的是直线方程的求法，两直线平行的关系，是基础题.（1）先求得直线与直线交于点的坐标为（-1，1），直线的方程为，点代入方程即可求解；（2）对直线是否过坐标原点进行分类讨论

16、即可，20.此题考查了圆的标准方程，以及直线与圆的位置关系，涉及的知识有：韦达定理，直线的点斜式方程，点到直线的距离公式，以及恒过定点的直线方程，利用了分类讨论的思想，是一道综合性较强的试题，属于中档题.（1）由圆O与直线相切，得到圆心到切线的距离等于圆的半径，列出关于r的方程，求出方程的解得到r的值，即可确定出圆的方程；（2）分两种情况考虑：当直线斜率不存在时，直线满足题意；当直线斜率存在时，设出直线方程，根据直线与圆相切，得到圆心到直线的距离，列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，确定出此时直线的方程，综上，得到满足题意直线的方程；（3）根据题意求出A的坐标，设出直线AB的解析式，与圆

17、方程联立消去y得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理表示出两根之积，将A的横坐标代入表示出B的横坐标，进而表示出B的纵坐标，确定出B坐标，由题中，表示出C坐标，进而表示出直线BC的解析式，即可确定出直线BC恒过一个定点，求出定点坐标即可.21.本题主要考查了线面平行的判定，直线与平面所成角的计算，解题的关键是熟练掌握利用空间向量求线面的夹角，属于基础题.（1）取CE中点为G，连接DG、FG，推出，可证平面CDE；（2）以C为原点，CB所在直线为x轴，CE所在直线为y轴，CD所在直线为z轴建立如图所示空间直角坐标系，利用向量法能求出直线EF与平面ADE所成角的大小.22.本题圆的方程的求解及直线与圆的位置关系，同时考查动点轨迹的探求及定值定点问题，属于拔高题.（1）设圆的圆心坐标为，半径为r，利