初三数学圆的综合的专项培优练习题(含答案)及答案

1、TZ0HC=ZADB=90,.0CH-ABD,OH_OC_1初三数学圆的综合的专项培优练习题（含答案）及答案一、圆的综合1.（1）如图1,在矩形ABCD中，点0在边AB上，ZAOC=ZBOD,求证：AO=OB；（2）如图2,AB是OO的直径，PA与O0相切于点A,0P与O0相交于点C,连接CB,ZOPA=40，求ZABC的度数.【答案】（1）证明见解析；（2）25.【解析】试题分析：（1）根据等量代换可求得ZAOD=ZBOC，根据矩形的对边相等，每个角都是直角，可知ZA=ZB=90,AD=BC，根据三角形全等的判定AAS证得AODBOC，从而得证结论.（2）利用切线的性质和直角三角形的两个锐角

2、互余的性质得到圆心角ZPOA的度数，然后利用圆周角定理来求ZABC的度数.试题解析：（1）TZAOC=ZBODZAOC-ZCOD=ZBOD-ZCOD即卩ZAOD=ZBOCT四边形ABCD是矩形ZA=ZB=90,AD=BCAAOD=ABOC.AO=OB（2）解：TAB是OO的直径，PA与OO相切于点A,PA丄AB,ZA=90.又TZOPA=40,ZAOP=50,TOB=OC,.ZB=ZOCB.又TZAOP=ZB+ZOCB,1ZB二ZOCB=-ZAOP=25。22.如图，AB为OO的直径，点D为AB下方OO上一点，点C为弧ABD的中点，连接CD,CA.（1）求证:ZABD=2ZBDC；（2）过点C

3、作CH丄AB于H,交AD于E,求证：EA=EC；(3)在(2)的条件下，若0H=5,AD=24，求线段DE的长度.【解析】【分析】连接AD,如图1,设/BDC=a,ZADC邙，根据圆周角定理得到ZCAB=ZBDC=a，由AB为O0直径，得到ZADB=90，根据余角的性质即可得到结论；根据已知条件得到ZACE=ZADC，等量代换得到ZACE=ZCAE,于是得到结论；如图2,连接0C,根据圆周角定理得到ZC0B=2ZCAB,等量代换得到ZCOB=ZABD,根据相似三角形的性质得到0H=5，根据勾股定理得到AB=AD2+BD2=26,由相似三角形的性质即可得到结论.【详解】(1)连接AD.如图1,设

4、ZBDC=a,ZADC=B，则ZCAB=ZBDC=a,点C为弧ABD中点，二ac=cdzADC=ZDAC=B，ZDAB=-a,TAB为O0直径，ZADB=90,.a+B=90,.B=90-a,.ZABD=90-ZDAB=90-(B-a),ZABD=2a,.ZABD=2ZBDC；BETCH丄AB,.ZACE+ZCAB=ZADC+ZBDC=90,TZCAB=ZCDB,ZACE=ZADC,TZCAE=ZADC,.ZACE=ZCAE,.AE=CE；如图2,连接0C,.ZC0B=2ZCAB,TZABD=2ZBDC,ZBDC=ZCAB,.ZC0B=ZABD,TAHE-ADB,.B【点睛】BT0H=5,BD

5、=10，.ab=AD2+BD2=26,AO=13，.AH=18,AHAE18AE399ADAB，即24=云，A飞，DE=I*本题考查了垂径定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键.3.如图AB是AABC的外接圆OO的直径，过点C作OO的切线CM,延长BC到点D,使CD=BC,连接AD交CM于点E,若OOD半径为3,AE=5,（1）求证：CM丄AD；（2）求线段CE的长.【答案】（1）见解析；（2）空5【解析】分析：（1）连接OC，根据切线的性质和圆周角定理证得AC垂直平分BD,然后根据平行线的判定与性质证得结论；（2）根据相似三角形的判定与性质证明求解

6、即可.详解：证明：（1）连接OCCM切O0于点C,ZOCE=90,TAB是OO的直径，ZACB=90,TCD=BC,.AC垂直平分BD,AB=AD,ZB=ZDTZB=ZOCBZD=ZOCB.OCIIADZCED=ZOCE=90.CM丄AD.(2)TOA=OB,BC=CD.OC=AD2AD=6DE=AD-AE=1易证CDEACE.CEDEAECE.ce2=AExDE.CE=岛点睛：此题主要考查了切线的性质和相似三角形的判定与性质的应用，灵活判断边角之间的关系是解题关键，是中档题.如图，AB是OO的直径，点C,D是半圆O的三等分点，过点C作OO的切线交AD的延长线于点E,过点D作DF丄AB于点F,

7、交OO于点H,连接DC,AC.求证：ZAEC=90；试判断以点A,O,C,D为顶点的四边形的形状，并说明理由；若DC=2,求DH的长.四边形AOCD为菱形;DH=21【解析】试题分析：（1）连接OC，根据EC与OO切点C,则/OCE=90，由题意得rdrdrd:,ZDAC=ZCAB，即可证明AEIIOC，则/AEC+ZOCE=180，从而得出乙AEC=90；|v|旳（2）四边形AOCD为菱形.由（1）得小,贝贬DCA=ZCAB可证明四边形AOCD是平行四边形，再由OA=OC,即可证明平行四边形AOCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）；（3）连接OD.根据四边形AOCD为菱形，得OAD是

8、等边三角形，则ZAOD=60,再由DFDH丄AB于点F，AB为直径，在RtAOFD中，根据sinZAOD=，求得DH的长.试题解析：（1）连接OC,EC与OO切点C，OC丄EC，ZOCE=90，T点CD是半圆O的三等分点，|V|v|Ivl，ZDAC=ZCAB，OA=OC，ZCAB=ZOCA，ZDAC=ZOCA，AEIIOC（内错角相等，两直线平行）ZAEC+ZOCE=180，ZAEC=90；（2）四边形AOCD为菱形.理由是:raid，ZDCA=ZCAB，CDIOA，又TAEIIOC，四边形AOCD是平行四边形,OA=OC,平行四边形AOCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）；（3）连接

9、OD.T四边形AOCD为菱形，OA=AD=DC=2,TOA=OD,OA=OD=AD=2,.OAD是等边三角形，ZAOD=60,TDH丄AB于点F,AB为直径,DH=2DF,在RtAOFD中，sinZAOD=DF=ODsinZAOD=2sin60=.DH=2DF=2考点：1切线的性质2等边三角形的判定与性质3菱形的判定与性质4解直角三角形.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（1）用直尺和圆规作出AB所在圆的圆心0；（要求保留作图痕迹，不写作法）（2）若AB的中点C到弦AB的距离为20m,AB=80m，求Ab所在圆的半径.【答案】见解析；（2）50m【解析】分析：（1）连结AC、BC，分别作AC和B

10、C的垂直平分线，两垂直平分线的交点为点0,如图1;（2）连接OA,OC,OC交AB于D,如图2,根据垂径定理的推论，由C为AB的中点得到OC丄AB,AD二BD二-AB二40，则CD=20，设OO的半径为r,在R%OAD23中利用勾股定理得到r2=（r-20）2+402，然后解方程即可.点O为所求；（2）连接OA，OC，OC交AB于D，如图2,C为AB的中点，OC丄AB，AD=BD=1AB=40，2设OO的半径为厂，则OA=r，OD=OD一CD=r一20，在Rt厶OAD中，OA2=OD2+AD2，r2=（r一20）2+402，解得r=50，即AB所在圆的半径是50m.点睛：本题考查了垂径定理及勾

11、股定理的应用，在利用数学知识解决实际问题时，要善于把实际问题与数学中的理论知识联系起来，能将生活中的问题抽象为数学问题.6.如图，在OO中，直径AB丄弦CD于点E，连接AC，BC，点F是BA延长线上的一点,且ZFCA=ZB.求证：CF是OO的切线;(2)若AE=4，tanZACD=求FC的长.【答案】(1)见解析【解析】分析：(1)利用圆周角定理以及等腰三角形的性质得出/OCF=90。，进而得出答案；(2)根据正切的性质求出EC的长，然后利用垂径定理求出圆的半径，再根据等边三角形的性质，利用勾股定理求出即可.详解：证明：连接OC.TAB是OO的直径，ZACB=90,ZOCB+ZACO=90.T

12、OB=OC,ZB=ZOCB.又:ZFCA=ZB，ZFCA=ZOCB，ZFCA+ZACO=90，即ZFCO=90，.FC丄OC,FC是OO切线.(2)解：TAB丄CD，.Z设OA=OC=r，贝9OE=OAAE=r4.在RtAOEC中，OC2=OE2+CE2,即r2=(r4)2+(43)2,解得r=8.OE=r4=4=AE.TCE丄OA,.CA=CO=8,.AOC是等边三角形，ZFOC=60,ZF=30.在RtAFOC中，TZOCF=90,OC=8,ZF=30,.OF=2OC=16,.FC=、OF2_OC2=8再.点睛：此题主要考查了切线的判定、垂径定理的推论以及勾股定理等知识，得出BC的长是解题

13、关键.7.如图.在ABC中，ZC=90,AC=BC,AB=30cm，点P在AB上,AP=10cm，点E从点P出发沿线段PA以2cm/s的速度向点A运动，同时点F从点P出发沿线段PB以1cm/s的速度向点B运动，点E到达点A后立刻以原速度沿线段AB向点B运动，在点E、F运动过程中，以EF为边作正方形EFGH,使它与ABC在线段AB的同侧，设点E、F运动的时间为t(s)(0VtV20).当点H落在AC边上时，求t的值；设正方形EFGH与AABC重叠部分的面积为S.试求S关于t的函数表达式；以1点C为圆心，2t为半径作OC，当OC与GH所在的直线相切时，求此时S的值.9t2?(0t2)7【答案】(1

14、)t=2s或10s；(2)S=12+50t50(2t10)；i00cm2.1240t+400?(10t20)【解析】试题分析：(1)如图1中，当0tW5时，由题意AE=EH=EF，即10-2t=3t，t=2；如图2中，当5t20时，AE=HE，2t-10=10-(2t-10)+t，t=10；(2)分四种切线讨论a、如图3中，当0tW2时，重叠部分是正方形EFGH，S=(3t)2=9t2.彷、如图4中，当2t5时，重叠部分是五边形EFGMN.c、如图5中，当5t10时，重叠部分是五边形EFGMN.、如图6中，当10t20时，重叠部分是正方形EFGH.分别计算即可；分两种情形分别列出方程即可解决问

15、题.试题解析：解：(1)如图1中，当0t5时，由题意得：AE=EH=EF，即10-2t=3t，t=2El如图2中，当5t20时，AE=HE，2t-10=10-(2t-10)+t，t=10.综上所述：t=2s或10s时，点H落在AC边上.團2(2)如图3中，当0W2时，重叠部分是正方形EFGH,S=(3t)2=9t21如图4中，当2t5时，重叠部分是五边形EFGMN,S=(3t)2-(5t-10)2=-厶7t2+50t-50241如图5中，当5t10时，重叠部分是五边形EFGMN，S=(20-t)2-(30-3t)2=-厶7t2+50t-50.25如图6中，当10W20时，重叠部分是正方形EFG

16、H,S=(20-t)2=t2-40t+400.图i59t2?(0t2)7综上所述：S=-12+50t50(2t10).12-40t+400?(10t20)如图7中，当0VtW5时,30t+3t=15，解得：t=，此时S=100cm2，当5t20时,厶/1t+20-t=15，解得：t=10，此时S=100.综上所述：当C与GH所在的直线相切时，求此时S的值为100cm2点睛：本题考查了圆综合题、正方形的性质、等腰直角三角形的性质、切线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，注意不能漏解，属于中考压轴题.8.已知：BD为O0的直径，0为圆心，点A为圆上一点

17、，过点B作O0的切线交DA的延长线于点F,点C为O0上一点，且AB=AC,连接BC交AD于点E,连接AC.(1)如图1，求证：ZABF=ZABC；(2)如图2,点H为O0内部一点，连接OH，CH若ZOHC=ZHCA=90时，求证：CH=2DA在(2)的条件下，若0H=6，OO的半径为10,求CE的长.HlH221【答案】见解析;(2)见解析；(3)丁.【解析】【分析】(】)由BD为OO的直径，得到ZD+ZABD=90，根据切线的性质得到厶FBA+ZABD=90，根据等腰三角形的性质得到ZC=ZABC,等量代换即可得到结论；如图2,连接OC,根据平行线的判定和性质得到ZACO=zCOH，根据等腰

18、三角形的性质得到ZOBC=ZOCB,ZABC+ZCBO=ZACB+ZOCB，根据相似三角形的性质即可得到结论；根据相似三角形的性质得到二二2，根据勾股定理得到OHOCAD=：BD2-AB2=16，根据全等三角形的性质得到BF=BE,AF=AE，根据射影122定理得到AF=9，根据相交弦定理即可得到结论.16【详解】.BD为OO的直径，:,ZBAD=90,/.ZD+ZABD二90,FB是OO的切线，/ZFBD二90,/ZFBA+ZABD二90,/ZFBA=ZD,.AB=AC,/ZC=ZABC,ZC=ZD,/ZABF=ZABC；（2）如图2,连接OC,ZOHC二ZHCA二90,/AC/OH,/ZA

19、CO=ZCOH,.OB=OC,/ZOBC=ZOCB,/ZABC+ZCBO=ZACB+ZOCB,即ZABD=ZACO,/ZABC=ZCOH,ZH二ZBAD二90,ABD-aHOC,ADBDc/=2,CHOCCH=2DA；（3）由（2）知，MBCHOC,ABOHOH=6,OO的半径为10,/AB=2OH=12,BD=20,AD=JBD2-AB2=16，在ABF与ABE中，f上ABF=AABEAB=ABZBAF=ZBAE=90.ABF二aabe，BF=BE，AF=AE,ZFBD二ZBAD二90,AB2=AF-AD,122AF=9，16.AE=AF=9，DE=7，BE=AB2+AE2=15,TAD，B

20、C交于E，.AE-DE=BE-CE，AE-DE_9x721155CEBE【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理，射影定理，相交弦定理，正确的识别图形是解题的关键.9已知P是OO的直径BA延长线上的一个动点，ZP的另一边交OO于点C、D，两点位于AB的上方，AB=6，OP=m，sinP=3，如图所示另一个半径为6的OO经过点C、D，圆心距OO=n当m=6时，求线段CD的长；设圆心0在直线AB上方，试用n的代数式表示m；APOO在点P的运动过程中，是否能成为以00为腰的等腰三角形，如果能，试求出此时n的值；如果不能，请说明理

21、由.2n【答案】(1)CD二25;(2)m=3n2-81；(3)n的值为爭或|：15【解析】分析:(1)过点O作OH丄CD，垂足为点H，连接OC解RtAPOH，得到OH的长由勾股定理得CH的长，再由垂径定理即可得到结论；解RtAPOH，得到OH=?在RUOCH和RtAOCH中，由勾股定理即可得到结论；POO1成为等腰三角形可分以下几种情况讨论：当圆心O1、O在弦CD异侧时，分OP=OO、和OP=OO当圆心O、O在弦CD同侧时，同理可得结论.详解:(1)过点O作OH丄CD，垂足为点H，连接OCnOH=2VAB=6，二OC3由勾股定理得：CH=vOH丄DC，CD二2CH二25.(2)在RtAPOH

22、中，sinP=3,PO=m，在RtAOCH中,CH2=9-在RtAOCH中,CH2=36-、mn-3丿可得:36-mn-3丿=9(m解得:m=3n2-81(3)POO1成为等腰三角形可分以下几种情况：当圆心O1、O在弦CD异侧时3n281i)OP=OO，即m=n，由n=一，解得：n=9.12nO1外切不合题意舍去.即圆心距等于OO、OO的半径的和，就有OO、)o1p=oo1，由-彳)2+m2-(3)2=nTOC o 1-5 h z23n2-819/解得：m=-n，即三n=，解得：n=15.32n5Q1o当圆心OO在弦CD同侧时，同理可得：m=-n.12nZpooi是钝角，只能是m二n，即n=8

23、1-3，解得： HYPERLINK l bookmark2 o Current Document 12n5综上所述：n的值为*5或”15点睛：本题是圆的综合题考查了圆的有关性质和两圆的位置关系以及解直径三角形解答(3)的关键是要分类讨论.10如图，线段BC所在的直线是以AB为直径的圆的切线，点D为圆上一点，满足BD=BC,且点C、D位于直径AB的两侧，连接CD交圆于点E.点F是BD上一点，连接EF,分别交AB、BD于点G、H，且EF=BD.(1)求证:EFIIBC；若EH=4,HF=2，求BE的长.【答案】见解析；3v3k【解析】【分析】根据EF=BD可得EF=BD，进而得到BE二DF，根据“

24、在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等即可得出角相等进而可证.连接DF，根据切线的性质及垂径定理求出GF、GE的长，根据“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等及平行线求出相等的角，利用锐角三角函数求出ZBHG，进而求出ZBDE的度数，确定BE所对的圆心角的度数，根据ZDFH=90确定DE为直径，代入弧长公式即可求解.【详解】(1)TEF=BD，.EF=BD.BE二DFZD=ZDEF又BD=BC,ZDZC,ZDEF=ZCEFIIBCJ?TAB是直径，BC为切线，.AB丄BC又EFIIBC,AB丄EF,弧BF=弧BE,1GF=GE=2(HF+EH)=3,HG=1DB平分ZEDF,又BFI

25、ICD,ZFBD=ZFDB=ZBDE=ZBFHHB=HF=2ZBHG=60.hg1cosZBHGHB2ZFDB=ZBDE=30ZDFH=90,DE为直径，DE=4丫：3，且弧BE所对圆心角=60.TOC o 1-5 h z12弧BEx43兀=3兀63【点睛】本题是圆的综合题，主要考查圆周角、切线、垂径定理、弧长公式等相关知识，掌握圆周角的有关定理，切线的性质，垂径定理及弧长公式是解题关键.11.如图，已知AB是O0的直径，P是BA延长线上一点，PC切OO于点C,CD丄AB,垂足为D.(1)求证：ZPCA=ZABC；(2)过点A作AEIIPC交OO于点E,交CD于点F,交BC于点M,若/CAB=

26、2ZB,CF=3，求阴影部分的面积.【答案】(1)详见解析；(2)6兀阮3【解析】【分析】(1)如图，连接OC，利用圆的切线的性质和直径对应的圆周角是直角可得ZPCA=ZOCB,利用等量代换可得ZPCA=ZABC.(2)先求出OCA是等边三角形，在利用三角形的等边对等角定理求出FA=FC和CF=FM,然后分别求出AM、AC、MO、CD的值，分别求出SAaoe、S扇形boe、的值，利用气阴影部分二SAA0E+S扇形BOESAABM，然后通过计算即可解答.【详解】-PC切OO于点C,0C丄PC,.ZPCA+ZACO=90,-AB是OO的直径，:ZACB=ZACO+OCB=90.ZPCA=ZOCB,

27、OC=OBJZOBC=ZOCB,.ZPCA=ZABC；TACB中，ZACB=90,ZCAB=2ZB,ZB=30,ZCAB=60,.OCA是等边三角形，TCD丄AB：.ZACD+ZCAD=ZCAD+ZABC=90,ZACD=ZB=30,TPCIIAE,.ZPCA=ZCAE=30,.FC=FA,同理，CF=FM,.AM=2CF=2朽,RtAACM中，易得AC=2爲x=3=OC,24T乙B=ZCAE=30,.乙AOC=ZCOE=60,ZEOB=60,.ZEAB=ZABC=30,.MA=MB,连接OM,EG丄AB交AB于G点，如图所示，TOA=OB,.MO丄AB,.MO=OAxtan30=帯3TCDO

28、竺EDO(AAS),EG=CD=ACxsin60=3,.3,21_S=ABxMO=3：3TOC o 1-5 h zNABM2同样，易求S二痘,AAOE460kx323兀S-扇形boe3602S阴影部分S+SAA0E扇形BOE-SAABM3i3【点睛】本题考查了切线的性质、解直角三角形、扇形面积和识图的能力，综合性较强，有一定难度，熟练掌握定理并准确识图是解题的关键.12.如图，四边形ABCD内接于OO，ZBAD=90,AD、BC的延长线交于点F,点E在CF上，且ZDEC=ZBAC.求证：DE是O0的切线；当AB=AC时，若CE=2,EF=3，求OO的半径.【答案】(1)证明见解析;【解析】【分

29、析】先判断出BD是圆0的直径，再判断出BD丄DE,即可得出结论；根据余角的性质和等腰三角形的性质得到/F=ZEDF,根据等腰三角形的判定得到DE=EF=3，根据勾股定理得到CD=x：DE2-CE2，证明CDE-DBE，根据相似三角形的性质即可得到结论.【详解】(1)如图，连接BD.TZBAD=90，.点0必在BD上，即：BD是直径，二ZBCD=90，二ZDEC+ZCDE=90.TZDEC=ZBAC，.ZBAC+ZCDE=90.TZBAC=ZBDC，.ZBDC+ZCDE=90，.ZBDE=90，即：BD丄DE.T点D在O0上，.DE是O0的切线；(2)TZBAF=ZBDE=90，.ZF+ZABC

30、=ZFDE+ZADB=90.TAB=AC，J.ZABC=ZACB.TZADB=ZACB，ZF=ZFDE，.DE=EF=3.TCE=2,ZBCD=90，ZDCE=90，CD=；DE2CE2=：5TZBDE=90，CD丄BE,.ZDCE=ZBDE=90.TZDEC=ZBED,.CDEDBE，.=，.BD=.Oo的半CEDE22径=主54.【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定，勾股定理,求出DE=EF是解答本题的关键.13.如图，等边ABC内接于O0,P是弧AB上任一点(点P不与A、B重合)，连AP,BP,C作CMIIBP交PA的延长线于点M,(1)求证：PCM

31、为等边三角形；若PA=1,PB=2,求梯形PBCM的面积.15片【答案】(1)见解析；(2)才”3【解析】【分析】利用同弧所对的圆周角相等即可求得题目中的未知角，进而判定PCM为等边三角形；利用上题中得到的相等的角和等边三角形中相等的线段证得两三角形全等，进而利用PCM为等边三角形，进而求得PH的长，利用梯形的面积公式计算梯形的面积即可.【详解】证明：作PH丄CM于H，ABC是等边三角形，ZAPC=ZABC=60,ZBAC=ZBPC=60,TCMIIBP,ZBPC=ZPCM=60,.PCM为等边三角形；解：ABC是等边三角形，PCM为等边三角形，ZPCA+ZACM=ZBCP+ZPCA,ZBCP

32、=ZACM,在厶BCP和厶ACM中，BC=ACZBCP=AACM,、CP=CMBCP竺ACM(SAS),PB=AM,.CM=CP=PM=PA+AM=PA+PB=1+2=3在RtAPMH中，ZMPH=30,【点睛】本题考查圆周角定理、等边三角形的判定、全等三角形的性质及梯形的面积计算方法，是一道比较复杂的几何综合题.14.如图，四边形为菱形，且mm,以:为直径作门匕与交于点:.请仅用无刻度的直尺按下列要求画图.（保留作图痕迹）在如图中，过点作边上的高在如图中，过点作门八的切线线匕与川交于点【答案】（1）如图1所示.（答案不唯一），见解析；（2）如图2所示.（答案不唯一），见解析.【解析】【分析】（1）连接AC交圆于一点