2019-2020年高三上学期开学考试数学试题-含解析

1、2019-2020年高三上学期开学考试数学试题 含解析一、选择题（共12小题，共60分）1已知集合，则（ ）A B C D2已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是（ ）A B C D3已知为实数，函数在区间和上单调递增，则的取值范围为（ ）A B C D4平行线和的距离是（ ）A B2 C D5在三棱柱中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点是侧面的中心，则与平面所成角的大小是（ ）A B C D6已知是两个不同的平面，m ，n是两条不同的直线给出下列命题：若则；若，则；如果是异面直线，那么n与相交；若则n且.其中的真命题是（ ）A B C D7如图，在棱长均为2的正四棱锥中，点为中点，则下列命题

2、正确的是（ ）A平面，且直线到平面的距离为B平面，且直线到平面的距离为C不平行于平面，且到平面所成角大于D不平行于平面，且到平面所成角小于8抛掷两个骰子，至少有一个点或点出现时，就说这些试验成功，则在次试验中，成功次数的期望是（ ）A B C D9有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（ ）A B C D10从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件A=“第一次取到的是奇数”，B=“第二次取到的是奇数”，则P（B|A）=（ ）A B C D11如图是函数（，）图象的一部分为了得到这个函数

3、的图象，只要将（）的图象上所有的点（ ）A向左平移个单位长度，再把所有各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变B向左平移个单位长度，再把所有各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变C向左平移个单位长度，再把所有各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变D向左平移个单位长度，再把所有各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变12已知，若，则直线的倾斜角为（ ）A B C D第II卷（非选择题）二、填空题（4小题，共20分）13函数（）为增函数的区间是 14一个袋中有12个除颜色外完全相同的球， 2个红球，5个绿球，5个黄球，从中任取一球，不放回后再取一球，则第一次取出红球时第二次取出黄球的概率为 .15已知棱长

4、为1的立方体，则从顶点经过立方体表面到达正方形的心的最短路线有_条16已知不等式的解集为，函数的定义域为，则图中阴影部分表示的集合为 三、解答题（8小题，共70分）17若关于的实系数方程有两个根，一个根在区间内，另一根在区间内，记点对应的区域为.（1）设，求的取值范围；（2）过点的一束光线，射到轴被反射后经过区域，求反射光线所在直线经过区域内的整点（即横纵坐标为整数的点）时直线的方程.18已知函数在处取得极值.（1）求实数的值；（2）若关于的方程在区间上恰有两个不同的实数根，求实数的取值范围.19如图，直角三角形中，沿斜边上的高，将折起到的位置，点在线段上.（1）求证：；（2）过点作交于点，点

5、为中点，若平面，求的值.20选修4-1：几何证明选讲如图，圆是的外接圆，是弧的中点，交于点.（1）求证：；（2）若，点到的距离为1，求圆的半径.21某公司的两个部门招聘工作人员，应聘者从、两组试题中选择一组参加测试，成绩合格者可签约甲、乙、丙、丁四人参加应聘考试，其中甲、乙两人选择使用试题，且表示只要成绩合格就签约；丙、丁两人选择使用试题，并约定：两人成绩都合格就一同签约，否则两人都不签约已知甲、乙考试合格的概率都是，丙、丁考试合格的概率都是，且考试是否合格互不影响（）求丙、丁未签约的概率；（）记签约人数为，求的分布列和数学期望22为了了解某学段1000名学生的百米成绩情况，随机抽取了若干学生

6、的百米成绩，成绩全部介于13秒与18秒之间，将成绩按如下方式分成五组：第一组.按上述分组得到的频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右前3个组的频率之比为3:8:19，且第二组的频数为8.（1）将频率当作概率，请估计该学段学生中百米成绩在16,17)内的人数以及所有抽取学生的百米成绩的中位数（精确到0.01秒）；（2）若从第一、五组中随机取出两个成绩，求这两个成绩的差的绝对值大于1秒的概率.23已知函数（，）的最大值为，且最小正周期为（）求函数的解析式及其对称轴方程；（）若，求的值24已知向量，.（1）若，求的值；（2）记在中角的对边分别为，且满足，求的取值范围.参考答案1B【解析】试题分析：

7、由条件，.则.故本题答案选B.考点：1.一元二次不等式；2.含绝对值的不等式；3.交集.2C【解析】试题分析：画出函数图象如下图所示，由图可知，故选C.考点：函数图象与性质.【思路点晴】本题是年全国卷第题.主要的解题思路就是数形结合.有关函数的问题，往往可以先画出函数的图象，然后利用图象与性质来解决.本题分段函数中第一段是对数函数外面加绝对值，我们先画出绝对值里面的函数，然后把轴下方的图象向上翻折，就可以得到的图象；第二段是一次函数，图象为直线.3A【解析】试题分析：当时,不满足题设,故,此时,对称轴,显然,即,所以答案C被排除.容易验证当时,函数在区间和上不满足题设, 答案D被排除.当时,函

8、数在区间和上也满足题设,当时,函数在区间和上满足题设,故应选答案A.考点：二次函数的图象和性质【易错点晴】本题以含绝对值符号的二次函数为背景，考查的是函数中参数的取值范围问题.解答时充分借助函数的解析表达式,运用二次函数的图像等许多有关知识进行合理推理和判断.取值进行判断是解答本题的一大特色.解答时应充分依据题设条件,对题设中提供的几个命题进行分析推断最后作出真假命题的判断.对于假命题,仅举出一个反例,进行了推断从而说明它是假命题.运用反例是否定一个命题是真命题的有效方式和方法.4B【解析】试题分析：由两平行直线之间的距离公式可得,故应选B.考点：两条平行线之间的距离公式5C【解析】试题分析：

9、如图，取中点，连接、，依题意知三棱柱为正三棱柱，易得平面，故为与平面所成的角设各棱长为，则，故选C.考点：空间中直线与平面之间的位置关系.6D【解析】试题分析：若由线面垂直的可得面面垂直，即，正确；若，由线面垂直与线面平行的相关性质可得，错误；如果是异面直线，也可出现n与平行，错误；若由线面平行的相关性质可得且.正确.故本题答案选D.考点：线面间的位置关系的判定与性质7D【解析】试题分析：若平面，而平面，所以平面平面，矛盾，所以不正确.取中点，取中点，连接，依题意有，故，故，线面角为直线与平面内直线所成角的最小值，故到平面所成角小于.考点：直线与平面的位置关系.8D【解析】试题分析：在次试验中

10、,成功的次数服从二项分布,每次实验成功的概率为,故次试验中,成功次数的数学期望,故应选D.考点：随机变量的概率分布和数学期望9A【解析】试题分析：总的方法数有种，符合题意的有种，故概率为.考点：概率10D【解析】试题分析：事件A共有种取法，其中第二次取到的是奇数的有种取法，因此,选D.考点：条件概率11A【解析】试题分析：从图象提供的信息可以可以看出,由此可得,则,将代入可得,即,所以,所以,故应选A.考点：三角函数的图象及变换12D【解析】试题分析：由题设可知函数关于直线对称,因此,即,故,即,故，所以应选D.考点：三角函数的图象和性质及直线的斜率与倾斜角的关系13【解析】试题分析：因为,所

11、以只要求函数的减区间即可.解可得,即,所以,故答案为.考点：三角函数的图象和基本性质的运用【易错点晴】本题以函数的表达式的单调区间为背景,考查的是三角函数中形如的正弦函数的图象和性质.解答时先从题设中的条件增函数入手,对函数进行变形,将其变形为一般式,将其转化为求函数的减区间.最后将其转化为正弦函数的单调递减区间的求法.通过解不等式使得本题获解.14.【解析】试题分析：根据题意，第一次取出红球后不放回，剩余球的总个数为11个，黄球的个数为5个，再根据概率公式解答即可，所以其概率为故答案为：.考点：等可能事件的概率.152【解析】试题分析：沿边或展开将正方形与正方形或正方形共面，所以经过边或时，

12、路线最短，有2条考点：正方体展开图16【解析】试题分析：由题设得,则,则.考点：集合的交集补集运算17（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）借助题设建立不等式组运用线性规划的知识求解；（2）借助题设条件运用直线的点斜式方程求解.试题解析:方程的两根在区间和上的几何意义是：函数与轴的两个交点的横坐标分别在区间和内，由此可得不等式组，即，则在坐标平面内，点对应的区域如图阴影部分所示，易得图中三点的坐标分别为，（1） 令，则直线经过点时，取得最小值，经过点时取得最大值，即，又三点的值没有取到，所以；（2）过点的光线经轴反射后的光线必过点，由图可知，可能满足条件的整点为，再结合不等式知点符合条件，所

13、以此时直线方程为：，即.考点：线性规划的知识及直线的方程等有关知识的综合运用【易错点晴】本题以方程的根的分布为背景,考查的是线性约束条件与数形结合的数学思想的综合运用问题.解答时先依据题设条件建立不等式组,然后再构建平面直角坐标系,准确的画出满足题设条件的不等式组所表示的平面区域,然后借助该平面区域所表示的图形,数形结合求出中参数的取值范围和满足题设条件的反射光线所在直线的方程.18（1）（2）【解析】试题分析：（1）由极值定义得，解方程组得（2）方程根的个数往往转化为函数零点个数，先利用导数分析函数单调变化规律：在上单调递减，在上单调递增，因此要有两个零点，须，解得的取值范围.试题解析：（1

14、）由题设可知 当时，取得极值0 解得 经检验符合题意 （2）由（1）知，则方程 即为 令则方程在区间恰有两个不同实数根. 令=0，得x1=1 或 x2=（舍）当时，于是在上单调递减；当时，于是在上单调递增；依题意有 考点：极值，利用导数研究函数零点【思路点睛】涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.19（1）证明见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）由是边上的高，得出，由此证明平面，

15、即可证明；（2）连接，交与点，由平面，得出，证明是等边三角形，再利用直角三角形的边角关系求出的值即可试题解析：（1）因为是边上的高，所以，又，平面.平面，所以.（2）连接，交与点，平面，且平面，平面平面，,，又，是等边三角形设，则，.考点：（1）直线与平面垂直；（2）直线与平面平行的性质.【方法点晴】本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，也考查了空间想象能力与逻辑推理能力的应用问题，是综合性题目在第一问中主要通过线面垂判定定理得到线面垂直，然后得到线线垂直，线线垂直与线面垂直之间的互化是在证明垂直过程中常用的手段；在第二问中首先根据线面平行性质定理，得到，根据长度与角的关系得到是等边三角

16、形，可得解.20（1）证明见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）利用同弧所对的圆周相等，可证明,利用相似比可得；（2）连接，设交于点，由垂径定理有，通过解直角三角形可得，解得.试题解析：（1）证明：因为，所以.又，所以.所以，所以.（2）连接，设交于点.因为点是弧的中点，所以.在中，即.在中，所以，解得.考点：几何证明选讲.21（）；（）分布列见解析，.【解析】试题分析：（）运用对立事件和互斥事件的概率公式求解；（）借助题设条件运用数学期望的公式求解.试题解析:（）分别记事件甲、乙、丙、丁考试合格为，由题意知，相互独立，且，记事件“丙、丁未签约”为，由事件的独立性和互斥性得：（）的所有可能取

17、值为，；所以，的分布列是：的数学期望考点：对立事件、互斥事件的概率和随机变量的概率分布与数学期望公式的综合运用22（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）根据频率分步直方图中小正方形的面积是这组数据的频率，用长乘以宽得到面积，即为频率根据所有的频率之和是，列出关于的方程，解出的值，继而求出相应小组的人数，再设中位数为，列出关于的方程解得即可；（2）本题是一个古典概型，试验发生所包含的事件是从第一、五组中随机取出两个成绩，满足条件的事件是成绩的差的绝对值大于秒，列举出事件数，根据古典概型概率公式得到结果.试题解析：（1）设前组的频率依次为，则由题意可得，由此得：,所以第二组的频率为.因为第二组的

18、频率为，所以抽取的学生总人数为.由此可估计学生中百米成绩在内的人数为（人）.设所求中位数为，由上述计算可知第一组、第二组、第三组的频率分别为，则，解得.故所有抽取学生的百米成绩的中位数为秒.（2）记“两个成绩的差的绝对值大于秒”为事件.由（1）可知从第一组抽取的人数为，不妨记为，从第五组抽取的人数为，不妨记为，则从第一、五组中随机取出两个成绩有：这种可能；其中两个成绩的差的绝对值大于秒的来自不同的组，共有种.所以.故两个成绩的差的绝对值大于秒单调概率为.考点：（1）频率分布直方图；（2）古典概型.23（）,对称轴为（）；（）.【解析】试题分析：（）运用等价转化的方法将问题进行转化与化归；（）借助题设条件将复合命题分类转化进行求解.试题解析:（），由题意的周期为，所以，得最大值为，故，又，令，解得的对称轴为（）（）