中考数学复习位似变换的应用

1、位似变换的应用位似变换是一种特殊的相似变换，是相似变换的延伸和深化位似变换具有很多重要性质，在求轨迹解作图、求函数解析式、几何证明中，位似变换是一个有力的工具利用位似变换的性质能提高学生解决问题的能力，感受数学创造的乐趣，增进学好数学的信心；利用位似变换的定义和定理可以很快判断出两个图形是否是位似形一、位似变换在函数中的应用利用位似比、位似中心及位似图形的性质求函数解析式，既简单又方便例1已知反比例函数y数解析式1x，求以坐标原点为位似中心，位似比为2：1的反比例函分析要求反比例函数解析式，只要知道一点的坐标因此，在y1x上的图象上找一点A，所求反比例函数图象上对应点为A，由已知OA：OA2：

2、1，从而求出A点坐标解如图1，在y1图象上取一点A(1，1)，连结OA并延长OA至点A，使OA：xOA2：1，则得图象上的对应点A(2，2)所求反比例函数关系式y4x例2已知，如图2，抛物线yx22x2，求以原点为位似中心，且位似比为2：1的抛物线的关系式分析要求抛物线的关系式，可以寻找特殊点的坐标，已知抛物线顶点A（1，3），与y轴交点B(0，2)，根据位似性质可以求出未知抛物线的顶点A以及与y轴交点B的1坐标解yx22x2（x1)23，顶点A（1，3），与y轴交点B(0，2).所求抛物线与已知抛物线是位似图形，根据位似图形的性质，可得所求抛物线顶A（2，6），与y轴交点B（0，4）可设所求

3、抛物线解析式为ya(x2)26将B坐标值代入该式，可得4a(02)26，解得a12，抛物线解析式为y1(x2)262由例1、例2得出：求位似变换后函数图象关系式一般方法：先在原函数图象上取一些特殊点，然后根据位似中心、位似比以及位似图形的性质，求出所求图象上的一些特殊点的坐标，因此解题关键是如何选择特殊点，具体选法要根据函数图像性质来确定二、位似变换在作图中的应用根据位似图形的性质，利用位似变换来完成某些作图，是一种常用的方法位似变化的理论对某些几何作图的解法起着重要的作用，利用位似的性质解作图题的方法叫位似法例3如图3，已知AOB，E为AOB内一定点，求作C，使C经过E点，且与AOB两边都相

4、切2分析要使C经过E点，且与AOB两边相切，先暂时放弃过E点这个条件，保留与AOB两边相切，这时可作无数个圆，它们都与要作C位似，以O为位似中心，这些圆的圆心都在AOB的平分线OD上，在OD上任意取一点C，即可以C为圆心，作C与AOB两边相切，则C与C是以O为位似中心的位似图形，根据位似的性质，点E的对应点E是OE与C的交点，那么点E可以作出作法1作AOB的平分线OD；2在OD上任取一点C，作C使之与两边OA、OB相切；3连结OE，交C于点E；4连结EC；5过点E作ECEC交OD于点C；6作C(以CE为半径)则C就是所求作的圆例4已知ABC，在ABC内，求作一个正方形GDEF，使DE在BC上，

5、G、F分别在AB、AC上分析假设所求作正方形GDEF，两顶点D、E在ABC的边BC上，点G、F分别在AB、AC上先放弃F在AC上的要求，而保留其他要求，则可得到以B为位似中心的正方形GDEF的位似图形GDEF，并且FF过点B，由此可得作图方法作法如图41作正方形GDEF，使G在BA上，DE在BC上；2连结BF并延长交AC于点F；3作EFBC于点E，作FGCB交AB于点G；4作GDBC于点D3正方形GDEF即为所求作正方形，由例3、例4得出位似变换解作图题的一般方法：先作一个和求作图形的相似图形S，然后选择适当的位似中心和位似比，作出图形S的位似图形S，使S的位置或大小符合作图题的要求因此，其关

6、键是如何选择位似中心，具体选法要看图形的性质、题意和解题思想方法来决定三、位似变换在证明题中的应用利用位似中心、位似比、位似变换的性质证明几何问题，可以使有难度的几何证明题迎刃而解例5设四边形ABCD，若O为其对角线交点，AD、BC交于点E，AB、DC交于点F，过点O作AB的平行线OH交对边DC于点G，交EF于点H，求证：OGGH.思考本例题中设有平行条件，提供了多个位似中心，给应用位似变换打开了方便之门证明如图5，假设OH交于BE于点J，并延长HO交AE于点I若选择点E为位似中心，EJEB为位似比，则有IJJHABBF，IJAB即JHBF若选择点C为位似中心，CJCB为位似比，则有OJJGABBF，即OJABJGBF，IJOJ于是JHJG等比定理，得IJOFIOABJHJGGHBF再选择D为位似中心，DODB为位似比，4则有IOABOGGH2BDIOIO所以OGGH从而OGGH例6如图6，AB、AC是O的两条等弦CD是过C点的O的切线，DE垂直于CA的延长线于点E，求证BD2CE.证明连结BC，