2014高中数学 创新思维点拨 空间向量及其运算 北师大版选修2-1

1、 【高考导航】本节内容是高中教材新增加的内容，在近两年的高考考查中多作为解题的方法进行考查，主要是解题【例 1】 已知两个非零向量 e 、e 不共线，如果 =e +e ，AC =2e +8e ，AB=3e -3e .求证：A、B、C、12121212思维入门指导：要证 A、B、C、D 四点共面，只要能证明三向量共面，于是只要证明存ABAD=0 即可.1212则( +2+3)e +( +8-3)e =0.21230,0. 83ABAD故共面，所以 A、B、C、D 四点共面.ABAD二、应用思维点拨【例 2】 某人骑车以每小时 公里的速度向东行驶，感到风从正北方向吹来，而当速度为2 时，感到风从东

2、北方向吹来.试某某际风速和风向.思维入门指导：速度是矢量即为向量.因而本题先转化为向量的数学模型，然后进行求解，求风速和风向实质是求一向量.解:设 a 表示此人以每小时 公里的速度向东行驶的向量.在无风时,此人感到风速为-a,设实际风速为v,那么此人感到的风速向量为 v-a.如图 9-5-2.设OA =-a,OB =-2a.由于 PO +OA = ,从而 =v-a.这就PA PA是感受到的由正北方向吹来的风.其次，由于PO +OB =.于是，当此人的速度是原来的2PB.1 / 5 由题意,得PBO=45, PABO，BA=AO，从而PBO 为等腰直角三角形.故 PO=PB= 2 .即|v|=

3、2 .答：实际吹来的风是风速为 2 的西北风.点拨：向量与物理中的矢量是同样的概念，因而物理中的有关矢量的求解计算在数学上可化归到平面向量或空间向量进行计算求解.知识的交叉点正是高考考查的重点，也能体现以能力立意的高考方向.三、创新思维点拨【例 3】 如图 9-5-3(1)，已知 E、F、G、H 分别是空间四边形 ABCD 边 AB、BC、CD、DA 的中点.（1）用向量法证明 E、F、G、H 四点共面；（2）用向量法证明 BD平面 EFGH.思维入门指导:(1)要证 E、F、G、H 四点共面，根据共面向量定理的推论，只要能找到实数x,y,使EG =x+y与共线即可.EFEH1+=EB BF

4、EH EF EH+.EBEBBD1111-= 2- 2)= 2,ADABBDEHBD.又 EH 面 EFGH，BD 面 EFGH，BD平面 EFGH.点拨：利用向量证明平行、共面是创新之处，比较以前纯几何的证明，显而易见用向量证明比较简单明快.这也正是几何问题研究代数化的特点.11111与所成角即可.要求DEDE111A C1所成角，则可利用向量的数量积，只要求出及|即可.DEDE1解:设正方体棱长为 m,=a,=b,2 / 5 则|a|=|b|=|c|=m，ab=bc=ca=0.又+=a+b,11111111=+ 211111111=(a+b)(c+ 2 a)=ac+bc+ 2 a + 2

5、ab= 2 a = 2 m .2DE225又|= 2 m,|1|=m,2m251011mcos=2DE1111010=arccos 10 .即 A C 与 DE 所成角为 arccos 10 .1DE11点拨：A C 与 DE 为一对异面直线.在以前的解法中求异面直线所成角要先找（作），后求.而应用向量1DE【例 5】 （2000，全国，12 分）如图 9-5-5，已知平行六面体 ABCD 一 A B C D 的底面 ABCD 是菱形，且1 1 11111思维入门指导：根据两向量的数量积公式 ab=|a|b|cos知，两个向量垂直的充要条件是两向量的数量积为 0,即 ab ab=0, 所以要证

6、明两直线垂直,只要证明两直线对应的向量数量积为零即可.CC=c.由题可知|a|=|b|.设CD 、CB 、CC 中两两所成夹角为 ,于是(1)证明:设CD =a,CB =b,=CD -CB =a-b,11BD3 / 5 =c(a-b)=ca-cb=|c|a|cos -|c|b|cos =0,BD1(2)解:若使 A C平面 C BD,只须证 A CBD,A CDC ,由于:1111=(CA+11=1 时,A C平面 C BD.11点拨：对于向量数量积的运算一些结论仍是成立的.222五、经典类型题思维点拨【例 6】 证明：四面体中连接对棱中点的三条直线交于一点，且互相平分.（此点称为四面体的重心

7、）思维入门指导：如图 9-5-6 所示四面体 ABCD 中，E、F、G、H、P、Q 分别为各棱中点.要证明 EF、GH、PQ 相交于一点 O，且 O 为它们的中点.可以先证明两条直线 EF、GH 相交于一点 O，然后证明 P、O、Q 三点共线，即OP 、OQ 共线.从而说明 PQ 直线也过 O 点.11从而四边形 EGFH 为平行四边形，故其对角线 EF、GH 相交于一点 O，且 O 为它们的中点，连接 OP、OQ.OQHQ,而 O 为 GH 的中点，OP =OG +GP ,11OG +OH =0,GP 2 CD，QH 2 CD.11QH= 2 CD .11OP +OQ =OG +OH +GP

8、 +OP =-OQ=0+ 2 CD - 2 CD =0.4 / 5 PQ 经过O点，且O为 PQ 的中点.点拨:本例也可以用共线定理的推论来证明,事实上,设 EF 的中点为O.连接OP 、OQ,则-1FQ=-2FO ,则=-+2FO ,FO = (+FP2为 PQ 的中点，同理可得 GH 边经过O点且O为 GH 的中点，从而原命题得证.六、探究性学习点拨【例 7】 如图 9-5-7 所示，对于空间某一点O，空间四个点 A、B、C、D（无三点共线）分别对应着向量 a=OA ，b=OB ,c=OC ,d=OD .求证：A、B、C、D 四点共面的充要条件是存在四个非零实数 、，使 a+b+c+d=0，且 +=0.思维入门指导：分清充分性和必要性，应用共面向量定理.，AC 两向量不共线，因而存=x+yAC ,即 d-a=x(b-a)+y(c-a),(x