《高等几何》复习大纲及样题

1、(0464 )高等几旦复习大纲仿射坐标与仿射变换一、要求1.掌握透视仿射对应概念和性质，以及仿射坐标的定义和性质。熟练掌握单比的定义和坐标表示。2.掌握仿射变换的两 种等价定义；熟练掌握仿射变换的代数表示，以及几种特殊的仿射变 换的代数表示。3.掌握图形的仿射性质和仿射不变量。二、考试内容1.单比的定义和求法。2.仿射变换的代数表示式，以及图形的仿射性质和仿射不变量。3.仿射变换的不变点和不 变直线的求法。射影平面一、要求 1.掌握中心射影与无穷远元素的基本概念，理解无穷 远元素的引入。.熟练掌握笛萨格(Desargues)定理及其逆定理的应用。3.熟练掌 握齐次点坐标的概念及其有关性质。4.

2、理解线坐标、点方程的概念和 有关性质。5.掌握对偶命题、对偶原则的理论。二、考核内容1.中心投影与无穷远元素：中心投影，无穷远元素，图形的射影性质。.笛萨格(Desargues)定理：应用笛萨格(Desargues)定理及其逆 定理证明有关结论。.齐次点坐标：齐次点坐标的计算及其应用。4.线坐标：线坐标的计 算及其应用。.对偶原则：作对偶图形，写对偶命题，对偶原则和代数对偶的应用。亦即 12x+7x -26x =0为所求切线方程。1235、解：设渐近线的方程为a x +a x +a x + k(a x +a x +a x) = 011 1 12213312 1 22 2 32 3根据(2. 9

3、)有 一3%2 + 2% + 1 = 0解之，得k =1,k=-L所以渐近线方程为123工 + 丁 + 1+(工-3-2)=0和工 +1-1 (x-3y-2)=03化简，得所求为2x-2y-1 =0和2x + 6y + 5 = 0。6、解:因为A312 -22 0=4,A =一322 -22 0=-4代入（4.11）,得主轴为代入（4.11）,得主轴为4(2x + 2y-2) + 4(2x + 2y)=0解方程解方程2x + 2y-1 = 02x2 + 4xy + 2y2 -4x+1 = 02x + 2y -1 = 0得顶点之坐标为（2,5。8 87、解：设所求仿射变换为I x -a x+a

4、y+a(111213y - a x +a y +al212223于是有2 a133 a23解此方程组，得2=a +a +a111213= +a +a212223-a -a +a1112 137 = a a + ci212223c c 11a =2，a =3，a =_，a =_，13231 1 2122a = -4， a - 6212210,J 1故所求的仿射变换为r 2*2y+2yr = -4x + 6y + 3三、解：因为12 35-12二0110 71 2 3且 5 -1 2 = 06 1 5线。设C = A + XB,D = A + XB TOC o 1-5 h z 12由11 =1 +

5、 2x5,o =2 + 2x(1)7 =3 + 2x2%得 九=2叵J理可得Z =1 所以(AB CD) = 1=2127 T2四、证明：射影平面上建立了射影坐标后，设两个线束的方程分别为:a 一九p = 0(1)a，-=0(2)由于它们是射影对应，所以儿九，满足：cikTJ + bX + cXr + d = 0 (ad - be w 0)( 3 )从(1), (2), (3)中消去九得 a a a a d(那屋土绵)+年)+建。即aaaZ + bap，+ ca、+ d 陌=0(1.3)这里a, 0,a，, W都是关于 了,%的一次齐次式，所以(1.3)式表1,23示一条二阶曲线。由于a =0

6、,0 = 0的交点坐标和a，= 0,0，= 0的交点坐标都满足(1.3)。所以形成二阶曲线的两个线束的中心也在这条二阶曲 线上。11射影变换与射影坐标一、要求.熟练掌握共线四点与共点四线的交比与调和比的基本概念、性质和 应用。.掌握完全四点形与完全四线形的调和性及其应用。.掌握一维射影变换的概念、性质，代数表示式和参数表示式。.掌握二维射影变换的概念、性质以及代数表示式。.理解一维、二维射影坐标的概念以及它们与仿射坐标、笛氏坐标的 关系。二、考试内容.交比与调和比：交比的定义、基本性质及其计算方法，调和比的概 念及其性质。.完全四点形与完全四线形：完全四点形与完全四线形的概念及其调 和性。.

7、一维基本形的射影对应：一维射影对应的性质，与透视对应的关系， 以及代数表示式。.二维射影变换5.二维射影对应（变换）与非奇线性对应的关系。6.射影坐标：一维射影坐标、二维射影坐标。7.一维、二维射影变换的不变元素：求一维射影变换的不变点，二维射影变换的 不变点和不变直线。变换群与几何学、要求、要求. 了解变换群的概念。.理解几何学的群论观点。3.弄清欧氏几何、仿射几何、射影几何之间的关系及其各自的研究对 象。二、考试内容1.变换群与几何学的关系。2仿射几何、射影几何学相应的变换群、研究对象基本不变量和基本 不变性。二次曲线的射影理论一、要求 1.掌握二队（级）曲线的射影定义、二阶曲线与直线的

8、相关位置，二阶曲线的切线，二阶曲线与二级曲线的关系。2.掌握巴 斯加定理、布利安桑定理以及巴斯加定理特殊情形。.掌握极点，极线的概念和计算方法，熟练掌握配极原则。4.了解 二阶曲线的射影分类。二、考试内容1.二阶（级）曲线的概念，性质和互化，求二阶曲 线的主程和切线方程。.应用巴劳动保护加定理和布利安桑定理及其特殊情形证明有关问 题，解决相在的作图问题。.二阶曲线的射影分类。二次曲线的仿射性质和度量性质一、要求和考试内容 1.掌握二次曲线的中心、直径、共班直径、 渐近线等概念和性质。（0464 ）高等几何样题及答案一、填空题（每题2分，共10分）1、平行四边形的仿射对应图形为： ;2、线坐标（

9、1, 2, 1）的直线的齐次方程为： ； TOC o 1-5 h z 3、直线3% +2x =0上的无穷远点坐标为：；124、设（AB,CD）=2,则点偶调和分割点偶；5、两个射影点列成透视的充要条件是；二、作图题（每题6分，共6分）1、叙述下列图形中的点线结合关系及其对偶命题，并画出对偶图形。三、计算题（每题10分，共30分）求仿射变换式使直线x + 2y 1 = 0上的每个点都不变，且使点（1, -1）变为（-1, 2）求射影变换用=”的固定元素。, K=%2 pxr =x I 333、叙述二次曲线的中心、直径，共辗直径渐近线等概念，并举例说明。四、证明题（每题12分，共24分）1、叙述并

10、证明布利安桑定理。2、设（AB、CD）=-1,。为CD的中点，则0C2=0A0B （此题为有向线段）参考答案一、填空题1、平行四边形 2、x +2% +x =0 3、（2, -3, 0） 4、AC , BD 5、 123保持公共元素不变二、作图题1、每三点不共线的五个点，两两连线。对偶：没三线不共点的五条线，两两相交。对偶图形 就是自己 三、计算题1解 设所求仿射变换为鼠一。 + b y + c 在已知直线x+2yT=0 TOC o 1-5 h z V1119 = a x + h y + cl222上任取两点，例如取（1, 0）、（3, -1）,在仿射变换下，此二点不变。而点（1, T）变为（

11、T, 2）,把它们分别代入所设仿射变换式，得丁丁1，产+1=3=-1 由la +c =03a -b +c =-1la -b +c = 21 2 212221 2 22以上方程联立解得：a =2, b=2, C=-l ,111 3, _o 3a - 一 , b - 乙 ，C -2222 2xf=2x + 2y-1故所求的仿射变换为：L，_ . _2y+3 y ox 十22解由题设的射影变换式，得a = -1 ,a = 0,a = 0,oc =0,a =1,a =0,a =0,a = 0,a =1 把它们 111213212223313233代入射影变换的固定方程组6.5公式(2), 即(a. -

12、u)x +a x +a x =0 1 112 213 3v a x+ (a -u)x +a x = 021 1 +a 227 223 3a x x + (a u)x = 0l 31 132 2333(-1 -u)x =0得(1“卜2 =0(1 u)x = 0I 3(-1 -u)x =0得(1“卜2 =0(1 u)x = 0I 31 v00由此得特征方程为：01-00=0, 即001-u(1+u) (l-u)2=0 角窣得U=1 (二重I艮),u=1将u=1代入固定点方程组，即得固定点为(1, 0, 0)将u=l代入固定点方程组，得xl二0这是一固定点列即直线AA上的每一点都是固定点。把的值代入

13、射影变换的固定直线方程 2 3ij组6o 5公式(5),即3-丫)？+。2凡+%=得旧闵S=则特au + (a -v)u +a u =00 即 OC2=OA / OB高等几何试题、填空题（每题3分，共27分） TOC o 1-5 h z 1、两个三角形面积之比是（）o2、相交于影消线的二直线必射影成（）。3、如果两个三点形的对应顶点连线共点，则这个点叫做（ ）o4、一点=（x,x,%衽一直线比上的充要条件是 123123（）o5、已知（p p） = 3,则（p p ,p p ）二（），（p 卯）二（）。123 44 32 113 246、如果四直线p ,p ,p ,p满足（pp ,则称线偶p

14、,p和p12341 23 43412（ ）。7、两个点列间的对应是射线对应的充要条件是（）o8、不在二阶曲线上的两个点P（pp p），）关于二阶曲线1 2 31 2 3S三Z 6ZXX =0成共粗点的充要条件是（）oU i J9、仿射变换成为相似变换的充要条件是（）0二、计算题（每题8分，共56分）1、计算椭圆的面积（椭圆方程：三4一 0） 。2+ 2b22、求共点四线/ y = kx I ： y = k x， I ： y = k x，=的父比。 TOC o 1-5 h z 112233443、求射影变换.7二一、的不变元素。v px = X 22pxf = X1334、求二阶曲线6x2 %

15、2 24x2+11x% =0经过点尸（1,2,1）的切线方程。 1232 35、求双曲线%2 + 2盯-3y2 + 2%-4y = 0的渐近线方程。6、求抛物线2%2+ 4孙+ 2一 4%+1=0的主轴和顶点。7、求使三点0(0,oo)，(1,1)，尸(1,-1)顺次变到点O，(2,3)，(2,5)，尸(3,-7) 的仿射变换。三、已知 A(1,2,3)，8(5,-1,2)，C(11Q7)，(6,1,5)，验证它们共线并求 (ab,cd)0Wo (8 分)四、求证：两个不同中心的射影对应线束对应直线的交点构成一条二阶曲线。(9分)答案一、1、仿射不变量2、平行直线 3、透视中心 4、UX+ U

16、X +U X = 01 12 2335、3 26、调和分离7、任何四个对应点的交比相等 8、S =0 pq9、这个变换使圆点保持不变二、1、解：设在笛氏直角坐标系下椭圆的方程为.+1三1。2 b 2经过仿射变换y = yJ f Jb其对应图形为圆。2+.2 =成在仿射变换之下，AfA, BfB, OtO，所为A03对应nAO?, 其中AM1根据定理3. 6推论2,有1 SriAOB口4。夕所以椭圆面积兀。2cib 。222因此所给椭圆的面积为兀ah o2、解：化为齐次方程：I ：x -kx =0121 1I ： x 一左 x = 0323 1取Q :% = 0/： = 0为基线，则有 21I:x -kx=0222 1I ：x -kx=Q424 1I (a-kb) J (a-kb) J (a-kb) J (a- kb)11223344由定理i.n的推论，得 (/,/)=上二 1 2 3 4，(一4 +攵)(一左 +