平面向量数量积的物理背景及几何意义课件

1、平面向量的数量积 2.4.1 平面向量数量积 物理背景及其含义已知两个非零向量a和b，作OA=a， OB=b，则AOB= （0 180）叫做向量a与b的夹角。OBA向量的夹角当0时，a与b同向；OAB当180时，a与b反向；OABB当90时，称a与b垂直， 记为ab.OAab一个物体在力F的作用下产生位移s（如图）FS那么力F所做的功W为：情景引入W=|F| |S|cos 其中是F与S的夹角从力所做的功出发，我们引入向量“数量积”的概念。数量积的定义（1）两向量的数量积是一个数量，注意 已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为 ，我们把数量 叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a b ，即（

2、2） a b不能写成ab ，不能省. 向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？思考：ab=|a| |b| cos当0 90时 ab为正；当90 180时 ab为负。当 =90时 ab为零。例题讲解例1已知 =5， =4， 与 的夹角 ，求 .变式:如图的菱形ABCD中，角A等于 ，AB=2,求下列各数量积.DABC例2 已知 =(1,1), =(2,0),求 。解： 重要性质:设是非零向量，方向相同的单位向量，的夹角，则特别地OAB abB1求模的方法判断垂直的又一条件求角 物理上力所做的功实际上是将力正交分解，只有在位移方向上的力做功sF？ 对非零向量a与b，定义| b |

3、 cos叫向量b 在a 方向上的投影| a | cos叫向量a在b 方向上的投影数量积的几何意义，过点B作则 的数量是| b | cos（不是向量） a b的几何意义：数量积a b等于a的长度|a|与b在a的方向上投影|b|cos的乘积。 为锐角时，| b | cos0为钝角时，| b | cos0为直角时，| b | cos=0数量积的几何意义OABbaB1B1OABbaOABba回顾实数运算中有关的运算律，类比数量积得运算律: 在实数中 在向量运算中交换律: ab=ba ( )结合律： (ab)c=a(bc) ( ) ( )分配律： (a+b)c=ab+bc ( )消去律: ab=bc(b

4、0) a=c ( )数量积的运算律数量积的运算律已知向量a、b、c和实数 ，则: 则： (a + b) c = ON |c| = (OM + MN) |c| = OM|c| + MN|c| = ac + bc . ONMa+bbac 向量a、b、a + b在c上的射影的数量分别是OM、MN、 ON, 证明运算律(3)典型例题例1.已知向量a，b,求证下列各式证明：（1）(ab)2(ab)(ab)(ab)a(ab)baabaabbba22abb2.（2）(ab)(ab)(ab)a(ab)b aabaabbb a2b2.向量的数量积运算类似于多项式运算解：a+kb与a-kb互相垂直的条件是 （ a

5、+kb） （a-kb）=0即a2-k2b2=0 9-16 =0所以，k= 例4、(2009海南、宁夏高考，理9)已知点O、N、P在ABC所在平面内，且 A重心、外心、垂心 B重心、外心、内心C外心、重心、垂心 D外心、重心、内心夹角的范围运算律性 质数量积(3) (ab) c =acbc aa=|a|2（简写 a2 = |a|2） 知识回顾:(2)(1) a b= b a(交换律)(分配律)判断正误，并说理.1.已知向量 和实数1若 ，则 中至少有一个为 2. 若b0，abcb ，则a=c4. 对任意向量 a 有3. (ab)c=a(bc)巩固练习2. 已知ABC中, AB=a, AC=b, 当 ab 0, ab =0时, ABC各是什么三角形？当a b0时， cos0，为钝角三角形当a b=0时，为直角三角形巩固练习3. 在ABC中a=5,b=8,C=60o, 求思考：用向量方法证明：直径所对的圆周角为直角。ABCO如图所示，已知O，AB为直径，C为O上任意