新编数学数列专题复习之典型例题含答案

1、数列知识点求通项TOC o 1-5 h z一、由数列的前几项求数列的通项：观察法和分拆与类比法猜测证明（略）二、由an与Sn的关系求通项annnn例1已知数列a的前n项和为S=3n1,则它的通项公式为a=.nnn答案23T练1已知数列a的前n项和S=3n22n+1,则其通项公式为nn2n=1答案a=L匚“n16n5,n三2三、由数列的递推公式求通项例3、（1）设数列a的前n项和为S.已知a=a,a=S+3n,ngN*.设nn1n+1nb=S-3n，求数列b的通项公式；nnn答案：b二S3n二（a3）2n-1,ngN*.nn22(2)(4)在数列a中，a二1,a二2，且a二(1+q)aqa(n2

2、,q丰0).n12n+1nn1(I)设b二aa(ngN*)，证明b是等比数列;nn+1nn(II)求数列a的通项公式;n答案:n,1qn11qq丰1,q=1.(3)在数列ta中，a=2,a=ka+九n+1+(2九)2n(ngN*)，其中九0n1n+1n求数列a的通项公式；n求数列a的前n项和S；nn答案：a=(n1)九n+2nSnn(n一1)尢n+2一n九n+1+九2(1九)2+2n+12(九丰1)n(n1)+2n+12(九=1)4)n+1已知数列a满足：a=3,a+a-=2n+2(neN*)n21)求数列a的通项公式;n2)答案：an设T=1+1+L+naaaa1234r1-qn-11+1-

3、qn,1aa2n-12nq丰1,q=1.求limTnns注意：由数列的递推式求通项常见类型(请同学们查看高一笔记)1.a二a+f(n)2a二f(n)a.3a二pa+q(其中p,q均为常数，TOC o 1-5 h zn+1nn+1nn+1n(pq(p-1)丰0)。4.a二pa+=pa+qn(其中p，q均为常数, HYPERLINK l bookmark101 o Current Document n+1nn+1n(pq(p-1)(q-1)丰0)。(或a二pa+rqn,其中p，q,r均为常数)(2)n+1na二pa+an+b(p丰l、O,a丰0)5.递推公式为a二pa+qa(其中p，q均为n+1n

4、n+2n+1nfs+1二p常数)先把原递推公式转化为a-sa=t(a-sa)其中S，t满足5 HYPERLINK l bookmark97 o Current Document n+2n+1n+1n6、递推公式为S与a的关系式。(或S二f(a)7、a二par(p0,a0)nnnnn+1nn8an+1f(n)ang(n)a+h(n)n9.a+a二pn+q或a-a二pqnn+1nn+1n10.双数列型数列知识点求和问题一、掌握数列求和的常见方法：cn(a+a)n(n一1)”1.公式法求和：(1)等差数列S=1n=na+d;q=1q丰1n212na12)等比数列a(1一qn)a一aq1=1n1一q1

5、一q错位相减法：主要用于求数列ab的前n项和，其中a、b中一个为等差数nnnn列，另一个为等比数列。裂项相消法：一般适用于通项为的前n项和，其中a为等差数列。aannn+1常见的裂项技巧有：1n(n+k)1丄kn)(其中k为整数)(2)1+k+-Jn1n+k(3)1(2n-1)(2n+1)12n+1n(n+1)(n+2)=21n(n+1)(n+1)(n+2)倒序相加法：分类相加法：将数列适当拆分，重新组合，变成几个可以求和的部分再分别求和。分奇数项，偶数项求和二、例题巩固例1.求和：111(1)(1+1)+(-+4)+(+7)+(+3n-2)aa2an-1(2)sin21+sin22+sin2

6、3+八+sin288+sin289解：(1)a=1时,(3n+1)n;a丰1时，(3n-1)n89a-1222n-1丿例2.求和sn=i+i+2j+i+2+4jJ+2+4宀解：Sn=2n2(】_1_2-12n2.例3.（08安徽卷）在等差数列a中，a=1，前n项和S满足条件TOC o 1-5 h zn1nS4n+22,n1,2,，Sn+1n求数列a的通项公式；n记bapan(p0)，求数列b的前n项和T。nnnn解：(I)annI)Tn(n+1)2P(1-Pn)(1-P)2p1npn+11-p例4.在数列a中，a1=1,当n2时，其前n项和S满足S2=a|Sn2n1nnnS求S”的表达式；设b

7、n=2n+1，求bn的前n项和Tn.11(1An解(1)S=7.(2)T=212T1=匸7.丿n2n1n2|2n十1丿2n+1例5.正数数列a的前n项和为S，且对任意的ngN*,满足a2-2aS+1二0nnnnn求数列a的通项公式；n记b=，数列b前n项和为T，求证：T2(+1-1)nSnnnn解：(1)a=.n一1(ngN)n+数列知识点数列的单调性例1、已知函数f(x)=(x2)(1)求f(x)的反函数f-i(x)；(2)设a二1,#x241=f-i(a)(nwN*),求a；(3)设S二a2+a2+a2,b=SS否annn12nn2n+1nn+1m存在最小正整数m，使得对任意nwN*,有b

8、1,a=匸3n+(1)n-1-2n+(1)nn5假设对任意n1有aa，求a的取值范围.nn101解：a0的取值范围为(，3)数列知识点数列的综合应用一、数列与函数的综合应用例1(2012南昌模拟)等比数列an的前n项和为S”，已知对任意的nN*，点(n,S”)均在函数y=bx+r(b0且bH1,b,r均为常数)的图象上.求r的值；当b=2时，记bn=n+14a(nN*),求数列bn的前n项和Tn.解：(1)1n+13n+3r=1.(2)Tn=22n盯=2廿.练1(2011.福建)已知等比数列an的公比q=3,前3项和S3=y.(1)求数列an的通项公式；n若函数fx)=Asin(2x+p)(A

9、O,OV0Vn)在x=g处取得最大值，且最大值为a3,求函数fx)的解析式.解an=|x3n-1=3n-2.(2)函数fx)的解析式为fx)=3sin(2x+6)二、数列与不等式的综合应用TOC o 1-5 h z12例2、设数列a的前n项和S,ax2“+】+,n=l,2,3,33求首项a1与通项an；2nn3(II)设T=，n=1,2,3,.，证明:T-nSJ2n解：(I)a=4n2n,n=1,2,3,，n练2在数列IaI,IbI中,产2,nn1b=4,且a,1nb,na成等差数列,n+1b，a，b成nn+1n+1等比数列（ngN*）(I)求a2,a3，a4及b2，b3，b4,由此猜测|a|

10、,|b|的通项公式,n并证明你的结论；(II)证明:11+a+ba+b112215+6时，|S2|1.nn五、数阵问题例5练习n2(n4)个正数排成几行几列:aaan1n2n3an4annaaaaa111213141naaaaa212223242naaaaa313233343n其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比相等，已知a24-1，a424316试求a+a1122HFa的值.nn解：S二2-2导.2n-12n数列知识点求通项一、由数列的前几项求数列的通项：观察法和分拆与类比法猜测证明（略）二、由an与Sn的关系求通项annnnTOC o 1-5 h z例1已知数列a的

11、前n项和为S=3“一1,则它的通项公式为a=.答案23“一练1已知数列a的前n项和S=3n设T=丄+丄+L+1，求limT2n+1,则其通项公式为.nn2n=1答案a匚“6“一5,n三2三、由数列的递推公式求通项例3、（1）设数列a的前n项和为S.已知a=a,a=S+3“,ngN*.设nn1n+1nb=S-3n，求数列b的通项公式；nnn答案：b二S3n二(a3)2n-1,ngN*.nn(2)在数列a中，a=2,a=ka+九n+1+(2九)2n(ngN*)，其中九o.n1n+1n求数列a的通项公式；n求数列a的前n项和S；nn(n-1)九n+2-n九n+1+九2-答案：a二(n1)九n+2nS

12、=+2n+12(九H1)nn(1九)2S二n(n1)+2n+12(九二1)n2(3)已知数列a满足：a2=naaaaaa心竝n12342n12n,a+a1=2n+2(ngN*)n2nn+1求数列a的通项公式；n1qn11+H,q丰1,答案:a=n1qn,q=1.(4)在数列a中,a二1,a二n12(I)设b二aa(ngN*),nn+1n(II)求数列a的通n公式;r1qn11+H?q丰1,答案:a=2,q丰0).n+1nn-1请同学们查看高一笔记)a=pa+q(其中p，q均为常数,n+1n1.a二a+f(n)2a二f(n)a.3TOC o 1-5 h zn+1nn+1n(pq(p1)丰0)。4

13、.a二pa+=pa+qn(其中p,q均为常数,q,n+1nn+1n(pq(p1)(q1)丰0)。(或a二pa+rqn,其中p,q,r均为常数)(2)n+1na二pa+an+b(p丰l、0,a丰0)5.递推公式为a二pa+qa(其中p,q均为n+1nn+2n+1nIs+1二p常数)先把原递推公式转化为a-sa=t(a-sa)其中s,t满足5n+2n+1n+1n6、递推公式为S与a的关系式。(或S二f(a)7、a二par(p0,a0)nnnnn+1nn8an+1f(n)ang(n)a+h(n)n9.a+a二pn+q或a-a二pqnn+1nn+1n10.双数列型数列知识点求和问题一、掌握数列求和的常

14、见方法：1.公式法求和：n(a+a)(1)等差数列S=1上n2=na+n(nza)d122）等比数列na1a(1-qn)a-aq1=1n1-q1-q2.错位相减法：主要用于求数列ab的前n项和，其中a、b中一个为等差数nnnn列，另一个为等比数列。3.裂项相消法：一般适用于通项为的前n项和，其中a为等差数列。aannn+111_1(1-厶)(其中k为整数)n(n+k)knn+k11=n+k+；nk常见的裂项技巧有：(3)=-(一)(2n-1)(2n+1)22n-12n+11_1n(n+1)(n+2)2n(n+1)(n+1)(n+2)4.倒序相加法5.分类相加法6.分奇数项，二、例题巩固例1.求

15、和：将数列适当拆分，重新组合，变成几个可以求和的部分再分别求和。偶数项求和(1)(1+1)+(丄+4)+(丄+7)+(丄+3n-2)aa2an-i(2)sin21+sin22+sin23+八dsin288+sin289解：(1)a=1时,(3n+1)n;a丰1时;0=(3n-1)n2a-12例2.求和sn=i+(i+2j+(i+2+4+(1+2+42n_i丿解和式中第k项为11,i1k/i、ak=i+2+423=T=2(i_2丿2+剳2例3.(08安徽卷)在等差数列lan中，ai=1，前n项和$满足条件(I)求数列a的通项公式；n(II)记b=apan(P0)，求数列b的前n项和T。nnnna

16、+ai2=3，所以a=2,a2iS4n+2解：(I)设等差数列la的公差为d，由才=得：Sn+1na+nd+a2f21xn2(a+nd+a)=n1=a+an14n+2=S即d=aa=1，又2in+12nSn2a+an1xn22(a+n+1)n，所以a=noa+1nn(II)由b=apan，得b=npn。所以T=p+2p2+3p3+(n1)pn-i+npn，nnnn当p=1时，=n(n+1)n2当p丰1时,pT=p2+2p3+3p4+(n-1)pn+npn+1,(1-P)Tn-p+p2+p3+pn-1+pn-npn+1=(1)-npn+11-pp二1n(n+1)2-p(1-pn)npn+1n日仃

17、Tp(1pn)nPn+1日仃丁,p主1、(1-p)21-pn(1-p)21-pn例4在数列an中，=1,当n$2时，其前n项和Sn满足S2=as.S求Sn的表达式；设bn=2nJp1，求bn的前n项和Tn.解(l).S2=a(S-2j,a=SS,n$2),n2丿nnn1、7(1AS2=(SSJS-2丿，即2S上=S4-S，nnn1n2丿n1nn1n由题意Sn1，旷，式两边同除以Sn1，Sn，得;1一S=2n1f1数列是首项为.、n丿占=1，公差为2的等差数列.S1a1亍=1+2(n1)=2n1，Sn=2nn又bn=2n+1=(2n-1；2n+1)=2矿2n+.T=b1+b_+b=2n12n21

18、-3丿+3-5丿+(11YJ2n12n+1J_il12n+1j=2n+r-例5.正数数列a的前n项和为S，且对任意的neN*，满足a2-2aS+1=0nnnnn(1)求数列a的通项公式；nTOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark12 o Current Document (2)记b=，数列b前n项和为T，求证：T2(、：n+1-1)nSnnnn解:(1)Va22aS+1=0，令n1，:a22aS+1=0nnn111/aS,a0，:a111n1TaSS，:(SS)22(SS)S+10nnn1nn1nn1nS2S21(n2且neN)nn1+数列S2是以1为首项，1为公差

19、的等差数列，S2nnn/a0，.:Sjnnn:.a=：nxin一1(n2且neN)n+当n1时，a1、111a=pn、$n一1(neN)n+2)bnS訪nn+pnTb+b+b+bn123n111+ HYPERLINK l bookmark121 o Current Document 2(J2p1+f2+4：3+pn+1pn)2(pn+11)14分数列知识点数列的单调性例1、已知函数f(x)(xV2)(1)求f(x)的反函数f-1(x)；(2)设a1，x2-41-f-1(a)(neN*)，求a；(3)设Sa2+a2+a2,bS-S否annn12nn2n+1nn+1m存在最小正整数m，使得对任意n

20、eN*，有bV成立？若存在，求出m的值；若不存n25在，说明理由.例2.设数列a的前n项和为S.已知aa，aS+3n，ngN*.nn1n+1n(I)设bS-3n，求数列b的通项公式；TOC o 1-5 h znnn(II)若a上a，ngN*，求a的取值范围.n+1n解：(I)依题意，S-SaS+3n，即S2S+3，由此得 HYPERLINK l bookmark57 o Current Document n+1nn+1nn+1nS-3n+12(S-3n).因此，所求通项公式为bS-3n(a-3)2”-1,ngN*n+1nnn(II)由知S3n+(a3)2n-1,ngN*，于是,n当n2时，aS

21、S3“+(a3)x2nt-3n-1(a3)x2n-2nnn-112,2x3n-i+(a3)2“-2,a-a4x3n-1+(a-3)2n-22n-2n+1n当n三2时，a三ao12n+1nI+a-3三0oa三-9.又aa+3a.211综上，所求的a的取值范围是-9,+8).例3设a为常数，且a3n-1-2a(ngN)TOC o 1-5 h z0nn-1证明对任意n1,a3n+(-1)n-12n+(-1)n-2nan50假设对任意n1有aa，求a的取值范围.nn-10(1)证法一：(i)当n=l时，由已知a1=12a0，等式成立；（ii）假设当n=k（k三1）等式成立，则a,k二13k+(-1)k

22、-12k-(-1)k2a,50k+1那么a二3k-2a二3k-23k+(-1)k-12k-(-1)k2k+1ak50=3k+1+(-1)k2k+1+(-1)k+12k+1a.50也就是说，当n=k+1时，等式也成立.根据（i）和（ii）,可知等式对任何nN，成立.1证法二：如果设a二3n12(aa3n-1),用a二3n12a代入，可解出a二.n-1nn-1nn-15九|是公比为一2,首项为5a-3的等比数列.15:.a曽=(12a5)(-2)n-1(neN).053n+(1)n12n+(-1)n2na.02）解法一：由a通项公式na-ann-12X3n-1+(1)n-13X2n-1+(-1)n

23、3X2n-1a.0aann-1(neN)等价于(1)n-1(5a01)(3)n-2(neN).2(i)当n=2k1，k=1，2，时,式即为(I)2k-2(5a1)()2k-3即为a1(3)2k-3+10525式对k=1,2,都成立，有丄x(3)-1+1=15253(ii)当n=2k，k=1，2，时，式即为(-1)2k-1(5a0一1)-1X(3)2k-2+1.525式对k=1，2，都成立，有12x1-2+=0.51故a0的取值范围为（，3）.1综上，式对任意nN*，成立，有0a0an-1（N*）成立，特别取n=1，2有a1-a0二1-3a0aa二6a0.2101因此0a02x2n-1+3x2n

24、-1-5x3x2n-1二0当n=2k,k=1,2时，5(aa)=2x3n-13x2n-1+5x3x2n-1ann-102x3n-13x2n-101故a0的取值范围为(，3)数列知识点数列的综合应用一、数列与函数的综合应用例1（2012南昌模拟）等比数列an的前n项和为S”，已知对任意的nN*，点（n,S”）均在函数y=bx+r（b0且bH1,b,r均为常数）的图象上.(1)求r的值；n1当b=2时，记b=4A(nN*),求数列化的前n项和Tn.n审题视点第(1)问将点(n,Sn)代入函数解析式，利用你二Sn-Sn_(n2)，得到a，再利用a二S可求r.n11第(2)问错位相减求和解(1)由题意

25、，S=Bn+r,当n三2时，S1=Bn-1+r,所以a=SS.=Bnnn1nnn1-】(b1),由于b0且bHl,所以n2时，an是以b为公比的等比数列，又a=br,a2=b(b1),斜b,即時b解得r=1.n+1n+1(2)由(1)知，nN*,an=(b1)bn-1=2n-1，所以bn=4X2n_1=2；厂=2|3,4.n+1Tn=22十23十24+2n+1，1t丄+色2Tn23+24n|n+12+12+2，1211两式相减得匚二习+刃+刃1n12n12n23_丄n+142+12+2，31n13n322n2nl22nlTn此类问题常常以函数的解析式为载体，转化为数列问题，常用的数学思想方法有

26、“函数与方程”“等价转化”等二、数列与不等式的综合应用12例2、设数列a的前n项和S=了a一二x2n+1+亍=1,2,3,nn3n33求首项a1与通项an；2nn3(II)设T=，n=l,2,3,.,证明:TSi=12n412解：（1I)由SaX2n+1+T,n1,2,3,n3n33412得a=SaX4+ll3l33所以al=2TOC o 1-5 h z412再由有s=aJ2n+，n=2,3,n-13n-13341将和相减得a二S-S二(a-a)-x(2n+1-2n),n二2,3,nnn-13nn-13整理得a+2n二4(a+2n-1),n=2,3,nn-1因而数列a+2n是首项为a,+2=4

27、，公比为4的等比数列，即n1a+2n=4x4-1=4nn=1,2,3,n因而a=4n2n,n=1,2,3,n(II)2n将a=4n-2n代入得T=3x-丄-=3x(丄-nn2(2n+1-1)x(2n-1)22n-12n+11所以，工T=3工(丄i22i-1i=1i=1-1)=-x(2i+1-1221-1-)32n+1-12练2在数列IaI,IbI中,nna1=2,b1=4,且a,1nb，na成等差数列，b,n+1na,b成n+1n+1等比数列(ngN*)(I)求a2,a3,a4及b2，b3，b4,由此猜测|a|，|b|的通项公式，并证明你的结论；n11(II)证明：+-a+ba+b1122+1

28、5-a+b12nn解：(I)由条件得2b=a+a,nnn+1a2=bbn+1nn+1由此可得a=6,b=9,a=12,223b=16,a=20,34猜测a=n(n+1)b=(n+1)2.nn用数学归纳法证明：当n=1时，由上可得结论成立.假设当n=k时，结论成立，即a=k(k+1)b=(k+1)2,kk那么当n=k+1时k11二(k+2)2.bka二2b-a二2(k+1)2-k(k+1)二(k+l)(k+2),bTOC o 1-5 h zk+1kkk+1所以当n=k+1时,结论也成立由，可知a二n(n+1),b二(n+1)2对一切正整数都成立.nn HYPERLINK l bookmark15

29、1 o Current Document 115(ID7=,2(n+1)n.nna+b111+a+b221+a+bnn一+11)+3x4n(n+1)丿TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark103 o Current Document 1111+.+334n6时，S2nan12nnn2n兀兀解（I）因为管1,a2=2,所以a=(1+cos2)a+sin2=a+1=2,32121a=(1+cos2兀)a+sin2兀二2a=4.n22(2k1加2k1a2k-1一般地，当n=2k1(kgN*)时，a=1+cos2a+sin2兀2k+12=a+1,2k-1即aa=1.2k+

30、12k-1所以数列a是首项为1、公差为1的等差数列，因此a2k-12k-1故数列a的通项公式为a=6时，|S2|6时，：+2)1成立.2n证法(1)当n=6时，十=昔=46)时不等式成立，即1.2k(k+1)(k+3)k(k+2)(k+1)(k+3)(k+1)(k+3)则当n=k+1时，=x1.2k+12k2k(k+2)(k+2后k由(1)、(2)所述，当n36时，1，即当n26时，|S-26),则c-cn+1n(n+1)(n+3)n(n+2)_3-n22n+1222n+16时，c6时，cc_6时，6时，|S-2nn例3三、数列与解析几何的综合应用（点列问题）如图，从点P1（0,0）作x轴的垂

31、线交于曲线y=ex于点Q（0,1），曲线在Q点处的切线与x轴交与点P2。再从P2作x轴的垂线交曲线于点Q2，依次重复上述过程得到一系列点：P1，Qi；P2,Qj.Pn，Qn，记丫点的坐标为（x，0）归,2,，n）。（I）试求xk与xk_i的关系3）；(II)求|PQ|+|PQ+|PQ|+.+|PQ|112233nnQ3,解(I)设P(x,0)，由y=ex得Q(x,e)点处切线方程为k-1k-1k-1k-1y-exk-1二exk-1(x-x),k-1由y=0得x二x1(2k,即k时，4k2IPPI2+51+9=10.22211而此时0II1,所以21PP|28x1+2二10.故2IPP|24k2

32、丨PP|2+5.2knn1111当0IkI，即kg(-,0)50,三)时，4k2IPPI2+51,所以2IPPI28x1+2二10.故2IPPI24k2IPPI2+5.2knn13四、数阵问题例5练习n2（n4）个正数排成几行几列:aaan1n2n3an4annaaaaa111213141naaaaa212223242naaaaa313233343n其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比相等，已知a24二1,a4216试求a+aHFa的值.1122nn解：设第一行数列公差为d，各列数列的公比为q，则第四行数列公差是dq3,于是可得a=(a240，从而有a=d112k于是对任意的1k冬n，有akk=aqk-i=a+(k一1)dqk-11k11S=1+?+A+丄,222232n丄s=丄+A+A+.+丄22223242n+111111nTOC o 1-5 h z两式相减后得:恳S-+-2222232n2n+11n所以S二2-一-.2n-12n例6(I)设a是集合2t+2s10st,且s,teZ中所有的数从小到大排列成的n数列，即a二3,a二5,a二6,a二9,a二10,a二12,.123456将数列a各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表：n1210(i)写出这个三角