最优控制习题及参考答案

1、最优控制习题及参考答案 最优控制习题及参考答案习题1求通过x(0)=1,x(1)=2，使下列性能指标为极值的曲线：tf2J=C(x2+1)dtto解：由已知条件知：to=0,tf=1由欧拉方程得：(2x)=0dtx=Cix=Cit+C2将x(0)=1,x(1)=2代入，有：C2=1,C1=1得极值轨线：x*(t)=t+11习题2求性能J=/(x2+1)dt指标：0在边界条件x(0)=0,x(1)是自由情况下的极值曲线。解：由上题得：2x*x*(t)=Ct+C由x(0)=0得：C2=0?xf于是:2x(tf)=2Cit=tfx*(t)=0X):IIII!t01【分析讨论】对于任意的x(0)=x。

2、,x(1)自由。有：2C0=x1,C=0，即：x*(t)=x其几何意义：x(1)自由意味着终点在虚线上任意点。状态方程为系统的Xi(t)=X2(t),X2(t)=u(t)X1(3)边界条件为：X1(0)=X2(0)=1,31=X2=0,2u(t)dt2取极小值的最优控制线x*(t)u*(t)以及最优轨?(?解：由已知条件知:由状态方程：X2=U=Gt-C2Hamiton函T?数：H=L+4tf12H=_u2+入x+入u?入=0由协态方程=?4=C得:？4=-Gt+C?H赶控制一=u+4=0方程:?u彳得：u=-4=Ct-C2得:X(t)=1Ct2-Ct+C12322由状态方程：=X2得：x(t

3、)=1Cf-1Ct2+Ct+C1612234 x 将x(0)二？,x(3)=?0?代入，,10?0联立解，C2=2,C3=得：G=C4乙19由、式得：u*(t)=10t-29X1(t)=513-t2+t+1*272x(t)=_t-2t+19习题4已知系统状态方程及初始条件为2x=ux(0)=1试确定最优控制使下列性能指标取极小值。1J=/(x2+u2)e2tdt解：H=x2eJu2e2t?x=u列方程:?入-2xd?2e2tu+入=0由得，代入得，1e-2tX-2t-2te入+e2将，代入，并考虑到u=xx=_1e2(-2xe2t)+e-2t(-2e2tx)2整理可得：x+2x-x=0特征方程

4、：S2+2s-1=0S|=-1+.2,q=-1-2于是得：X*(t)=GeS1t+Ce5522e=t-2e2tx入*(t)=(Gse&t+Gse%t)-2e2t22由x(0)=1，得：G+C2=1由入(tf)=入(1)=0得：Gse51+GS?es=0、联立，可得G、C2求导代回原方程可得(斶习题5系统：洛=出发在=1时转移到目标集X2,X2=U由初始状态Xi(0)=X2(0)=0指徐2典=J并使性能-(t)dt2丿为最小值的最优控制u*(t)及相应的最优轨线X*(t)。解：本题f(i),L(i)与习题3同，故H相同f方程同f通解同=C,4=-Ct+C2=1ctL1ct2+Ct+C612234

5、?x=Cf-Ct+C123?22u=C|t-C2x(0)=?0?，有：C3=C4=0由X1(1)+X2(1)=1,有:丄c6c1C+1c-C=1122-23C?书T3由a(1)=L+?丫=0,?x?x?有：入=?Y=0?(1)=入(1)于是：?8=-G+C22C-i=C2、联立，得寻:于是：u-=-_t+6。产-、c?71t3+3t2147147习题6已知一阶系统:台匕x(t)=-x(t)+u(t)$定最优控制f*(t),x(2)=0，并使性函,x(0)=3使系统在t2J=(1+u2)dt=min01 (2)如果使系统转移到fx(t)=0的终端时间t自由，问u*(t)应如何确定?解:H=1+u

6、2+入u-Xx?x=-x+u列方程：？X=X?2u+X=0由协态方程得：X=Ce方程制u=-2C1e代入状态方程：Qx?x(t)=C2et=-x-Ge2t=2,x(2)=0f-Cet9.-42-2-ecc?3e4C2=4e4-1e-1代入得：u*(t)=-x(tf)=2，tf自由?C2； ?Ce-?2?-1cef=o41?Hf=?:0解得：厂40-6=0.325Ci=*t习题7设系统状态方程及初始条件为x(t)=u(t),x(0)=1试确定最优控制u*1匕2(t),使性能指标J=tf+rudt2Jo为极小，其中终x(tf)=0。端时间tf未定，解：H=1u2+汕2TOC o 1-5 h z由协

7、态方程-x=Ci得：入=0由控制方-u=-Ci程：u+入=0由状态方程：X?X(t)=-Gt+C2=u=-G由始端：-C2=1x(0)=1由末端：一-Gtf+仁0 x(tf)=0考虑到：H希-有:_c2C2=-1?C2=2C1当2时，代入C1=有：tf=1=1=G=血当C=2时，代入1，不合题意，故有C=21有：tf=1Ci最优u*=习题8设控系统状态方程及初始条件为Xi(t)=X2(t)，Xi(0)=2X2(t)=X2(0)=1u(t),J=Lfu2dt2o要求达到X(tf)=0,=5时的最优控制u试求：(1)tf(t)；(2)t自由时的最优控制u*(t)；解：本题f(i),L(i),H(i

8、)与前同，故有C-?x?1?x=1Ct-1Ct2+Ct+C?22?u=Ct-C2由x(0)=?得=?，?C4=2?C25125GC2+5C3+C4=0?62?25-5C+C=0?C123?2联立得：G=0.432C2=1.28，=0.432-1.28自由?C=11Ct2+,2?4?cc=32t?61?12Ctt_?1-21f?联立有2t2-2Ct2+2=解。f无论为何值，t均无实习题9给定二阶系统(t)=x(t)+X(0)=-14转移到x(t0X2(t)=u(t)，X2(0)=-控制约束使系统在薯求最优控并使自由其中tfu2(t)dtH=u2+112,1242?本问题最因能1(t)=-?-?2

9、入1由协态方程=：:人=C1?久=1T入=1-Ct+C入2是t的直线函数当u*(t)=二1入2x(t)=21x(t)=1o1Ct-1C时(试取)221Ct2-4丄ct3-12122JCt+C221Ct24211由始端条件-=+Jt+4C41Ct由件端：Ct3-121f1Ct2-41fH(tf)=C1=,C2=0,t=3fb=1时，t0另:42ifct220+1t联立解得:于是,2=段，故=-1时，t=91满足条件。1,1A2入=莎习题10设二阶系统Xi(t)=-x/t)+u(t),X!(0)=1X2(t)=Xi(t),X2(0)=0控制约束为u(t)1，当系统终端自由时，求最优控制u*(t)，

10、使性能指标J=2xi(1)+X2(1)取极小值，并求最优轨线X*(t)解意由?-片+u?H=Xu-入+入xX11121X1由控制方程可?+1得：uX0?X=X-X112由协态方程?X=0?X=C1?2?)=?C=1一$C=ef-,?1?x=e1+1f在t0的范围内x111t0,11若需计算最优轨线，只需把u*=-1代入状态方程，可得：?=2e-t-1*tx(t)=-2e-t+2?2习题11统状态方程为X1(t)=X2(t)，X1(0)=X10?DA?02?由Riccat方程一atp+PA-1TPBRBtP+Q=0，有?00?PP?PP?01?P?0?rc十？P?4Pp0?1?10?P?P?00?PP?1?PP?0?P?P220?0?=0X2=X2(0)=X20性能指标广U，为J=1,%2+U2)dt试用调节器方法确定最优控制u(t)。得军:A=由已知条件?0BAB=?1?40?Q=*考虑到?D?0?-0J?0?4,B=?