应用绕组函数法和改进绕组函数法的电机建模

1、第3章应用绕组函数法和改进绕组函数法的电机建模维多利亚大学SubhasisNandi博士3.1概述旋转电机通常由一个空心圆柱的静止构件（在交流电机中称为定子，在直流电机中称为磁极），和安装在轴承上并且放置在空心静止构件之内的旋转圆柱（在交流电机中称为转子，在直流电机中称为电枢）组成。静止部分和旋转部分都是由叠层钢片组成，并且它们带有载流的铜或铝导体，以便能够将电能转换成机械能并产生转矩，或者反之将机械能转换成电能并发出电压。因为电机是一个电磁设备，分析它最好的可行方法是获得电机的电磁场分布。这需要解拉普拉斯或泊松方程，就算是现今最好的电脑，对于即使是最简单的电机，由于其结构的复杂，这也是一个很

2、繁重的任务。电气故障诊断通常需要分析电机线电流的谐波、磁通、转矩、和速度。因为在前面段落描述的原因，通过磁场求解分析电机来识别故障信号，将会非常地耗费时间。将电机按照耦合磁路分组描述，这提供了获得它们的运行特性的另一种方式。通常其电路元件包含电阻和电感。对于这两个元件，电感是最难以计算的，因为它们和磁饱和一样是随着旋转部件的位置的变化而改变。绕组函数法和改进绕组函数法（WFA/MWFA）提供了计算这些电感的必要的丁具，它提供了从电机绕组和气隙数据来佔算电感的一个计算上非常有效的方法。因为绕组结构决定了电机磁动势和电机的大部分气隙磁导；磁通、磁链、以及每安匝产生的磁链、或是电感都可以使用这种方法

3、很容易地计算出来。甚至如磁饱和与开槽的影响也可以通过适当修改气隙的磁导来建模。斜槽和非一致转子偏心（倾斜偏心）的三维效果也可以得到。下面将描述绕组函数法和改进绕组函数法（WFA/MWFA）,-3o该分析也做了如下假设：磁通径向穿过气隙（轴向磁通忽略不计）。磁饱和忽略不计。平均铁心饱和是利用卡特（Carter）系数来调整气隙长度的方法进行合并。4涡流、摩擦、风阻损失都忽略不计。磁性材料的磁导为无限大。齿槽效应忽略不计。 电机建模、状态监测与故障诊断第3章应用绕组函数法和改进绕组函数法的电机建模 3.2绕组函数法和改进绕组函数法图3.1所示为一个基本的带有圆柱形定子和转子的非凸极电动机。定子和转子

4、铁心的磁导率与气隙的磁导率相比被认为是无限大的。图3.1的封闭路径abcda的定子参考位置，角，是沿着气隙的任意一点处得到的。点a和d分别是定子上对应角度0和少的对应点，点b和c位于转子上。对于气隙平滑的电机，磁力线可以被认为是径向的，与转子和定子相交为直角。使用高斯磁场定律，点b和c是唯一确定的，因为两条磁力线不可能来自于同一点，如果点a和d是固定在定子上的。图3.1气隙均匀的非凸极电机基本组成(来自SNandi,uFaultAnalysisforConditionMonitoringofInductionMotors”,I專士学位论文，徳克萨斯A&M大学，2000年5月)考虑图3.1的路径

5、abcda,对于任意角度由安培定律得到#Hdl=jjdS(3.1)abcdaS式中S必cda包围路径的面积，因为封闭路径内包含的所有的线圈都是通了相同的电流i.方程(3.1)简化为#Hdl=?i(0,0)d(3.2)abcda式中H磁场强度；dl定义为沿着起始或终止于封闭路径abcda上的两个点的磁力线的路径;加“，0)匝数函数，它代表了被路径必cda包围的线圈匝数。一般来说，对于一个定子线圈，它只是一个关于e的函数。对于转子线圈则假定是一个关于e和转子位置角e的函数。如果匝电流：的方向朝向页面里就被被认为是正的，而如果匝电流i方向朝向页面外面就被被认为是负的。由于磁动势（MMF）是顺着磁路下

6、降的，式（3.2）可以写为心）+片“+Fca+尸晶二（3.3）因为铁材料被认为是有无限导磁能力的，沿着卩応、F血下降的磁动势（MMF）可忽略不计，方程（3.3）可简化为Fab（0,&）+Fc（l（f,6）=n（）,0）i（3.4）应用高斯磁场定律可以得到在时的磁动势化b（o,0）的表达式，可以由下式得到丽S=0（3.5）S式中B磁通密度。曲面积分以任意体积的表面为边界面进行。假设曲面S是一个正好位于在定子内表面的圆柱体，方程（3.5）可以写为2ttI(3.6)JJ“（）H（少，0）Xdl）（cl（f）=0oo式中l电机轴向迭片的长度；r定子内半径；/）真空磁导率；e转子相对于定子的角位置。因为

7、3不随轴向长度的变化而变化，MMFXF（氛0）是径向长度（区0,&）和磁场强度（H（0,&）的乘积，那么有(3.7)将方程（3.4）除以气隙函数g（氛0）,然后从0到2仃积分得到:(3.8)7z爲加=7*因为由高斯定律可以发现左边的第二项是零，式（3.8）将简化如下:2tt(3.9)f曲（）=1：。、加e，&）&（e，&）帥2仃vg（）f）式中气隙逆函数的平均值，将式（3.9）代入到式（3.4）中,并且解出Fcd（0,0）：2ITF“i（e，&）=加e，o）-777（g，e）g_1（e,e2飞%(3.10) 电机建模、状态监测与故障诊断第3章应用绕组函数法和改进绕组函数法的电机建模 #从最后一

8、个方程，绕组函数和改进绕组函数一般地可以分别定义如下:MG,0）=死（,0）-比（少，0）“，0）二my,0）-m（g，&）其中2ttn（0,&）=占”（e，0）d0（）2tt(来自：NA.Al-Nuaim和H.A.Toliyat.Anovelmethodformodelingdynamicair-gapeccentricityinsynchronousmachinesbasedonmodifiedwindingfunctiontheoiyConversion,13卷，第2册，pp.当气隙对称时，式（3.11）是适用的。然而当电机有气隙偏心或凸起时，式（3.12）一般是适用(3.11)(3.1

9、2)(3.13)(3.14)的，因为气隙变成了一个关于0和&的函数。图3.2就是这样一个偏心电机的例子。还要注意的是，当由式（3.13）和式（3.14）给出的匝数函数的平均值并不完全地决定于角度0,参考点的选择对它也有一定的影响。例31a.计算如图3.3所示定子他匝（7VS=100）整节距绕组的绕组函数。起始点已经按照使绕组函数的,IEEETransactionsonEnergy156-162,1998年6月。得到许可)基波是一个余弦函数来选择。假设气隙是均匀的,图3.3定子上他匝线圈和转子上的M匝线圈的基本组成且G，&）二go。 #电机建模、状态监测与故障诊断第3章应用绕组函数法和改进绕组函

10、数法的电机建模 b计算当气隙偏心时相同的绕组的改进绕组函数，并且偏心给定为g（e,0）=gQ-8gQcos（/,以及3=0.5O050一1000123456500-500I23456500023456 #电机建模、状态监测与故障诊断第3章应用绕组函数法和改进绕组函数法的电机建模 # 电机建模、状态监测与故障诊断第3章应用绕组函数法和改进绕组函数法的电机建模 图3.4（从上至下）匝数函数、绕组函数和改进绕组函数解答：a.首先利用式（3.2）计算图3.3中给定的绕组的匝数函数。该绕组的绕组函数可以利用式（311）计算得到为他（氛。）=普丫二|35（一1不同e值的匝数函数和绕组函数分别如图3.4（上

11、图）和图3.4（中图）所示，利用N式（3.13）很容易得到心0）二-亍，但是如果导体中的表示电流方向的箭头和箭尾互换，或者是必和為参考点按照逆时针方向旋转90。，就有5（0,0）=Nyo这就解释了加氛0）所隐含的位置相关性。b由于g（0,0）二qA,+A2cos（I）,并且/I=,g（）-5g（）cosg（）/r二声A2=1（1_沪）。利用式（3.11）到式（3.14）可以证明,go声5砍0）=孚一*o然后利用式（3.11）和式（3.12）得到M（M）=MNA0）-宁。图3.4（下）显示为改进绕组函数。3.3应用绕组函数法和改进绕组函数法的电机电感计算在前面的小节中，铁材料的相对磁导率被认为是

12、无限大的，即在铁中的磁动势MMF的降落被忽略不计。因此，气隙中的电机绕组的磁动势分布，可以简单地利用从式（3.11）或式（3.12）计算得到的WFA或MWFA与流经绕组的电流的乘积计算得到。图3.1中，绕组A和B都位于气隙中，并且可以被关联到转子或是定子。由于绕组A的电流几引起绕组B的互感可以被计算出来。绕组B在气隙中的位置是任意安排的，为了便于讲解说明的需要，假定它有两个线圈边1-1和2-2,有不同的匝分布在气隙中。参考角0不能自由选择，应该使用以前计算改进绕组函数A（G，&）或氛0）时已经使用的相同的参考位置。下面的推导过程利用了MWFA方法。利用WFA方法也可以得到类似的结果,只是需要把

13、妙、（氛0）替换为A（氛0）即可，并且注意气隙函数和气隙逆函数可以当作为常量。由于电流几引起的分布在气隙中的磁动势可以计算得到为Fa（e，0）二MJe，（3.15）由于磁路中的磁通量是磁动势MMF（F）和磁路径的磁导（P）的乘积。因此有二FP（3.16）磁导可以由下式得到P二伴（3.17）式中（JL磁导率；A横截面积；I磁路径长度。从转子到定子穿过气隙并且通过由长度）和横截面积弘妙组成的一个小微分体积的磁通量微分为=Fa（少，0少，0）d（3.18）连接绕组B的线圈边1-1的磁通量可以通过下面的积分来计算：2tt=必川”im（$，&）fe，e）g-（e，eMe（3.19）0式中nBl（0,&）

14、图3.1中参考角度咖和e；之间的线圈1-1边的匝数，否则将为零。线圈边1是线圈边1的返回路径。继续进行绕组B其他线圈侧的这个计算磁链的过程，一般的任意线圈边k-亡的磁链为2tt亡二“（）”e，o）心（e，&）g（e，&）呦（3.20）0式中，几Bk（e，&）、心（氛0）和g（e，0）必须要有相同的参考位置e。由于绕组a电流导致的连接绕组B的总通量可以定义如下：（liqi2n入ba=XOk-匕=“（）丫J“Bk（&）心（g，&）g（e，&（3.21）k=10或写为2”Qi入ba=“（）”JX死b）g“（3.22）0a=i其中nB（G，0）二丫几皿（少，0）（3.23）k=是假设绕组B的仏个线圈边

15、是被串联连接时的匝数函数。由于绕组A的电流导致的绕组B的互感厶爪为入2厶ba=“（）”Jb（G，&）姦（少，0）g（G，0）d0（3.24）A0使用相同的步骤，绕组A的磁化电感可以定义为2打Laa=JnA（少，0）Ma（0,0）g_1（,0）d（3.25）o式（3.24）和式（3.25）所示的积分运算可以通过将匝数函数、改进绕组函数、气隙逆函数表示为傅里叶级数来完成计算。通过这种方法，空间与气隙磁导谐波的影响就可以包含在仿真研究之中。定子和转子槽的影响也还可以通过添加一个与槽数有关的函数作为频率成分的正弦函数进行归总研究。甚至也可以对饱和效应和转子偏移进行研究。图3.5所示为一个使用饱和效应计

16、算得到的电感剖面分布图。在这种情况下的气隙逆函数被定义为(3.26)式（3.26）中，是从a相轴测量得到的气隙磁通量的位置，是基木的极对数，g堤存在饱和的情况下修改后的气隙平均值，以及札点是假设饱和是以气隙磁通密度矗的两倍频率来调节气隙磁导而推导出的饱和系数。经常出现的问题是，在气隙存在不均匀性的情况下互易定理是否也适用于互感；也就是说，下式是否成立：1+A;gsatcos2(pOf)图3.5感应电机定子A相和转子环路1之间电感剖面分布图仿真结果Lab=厶ba（3.27）以下的推导表明，该式确实是成立的。将式（3.24）中Ma（其中假设饱和导致在气隙中气隙磁通矢量的顶部增加了6%（忍細=0.0

17、6）,&是转子位置，孙是气隙磁通矢量的位置。转子斜槽偏移了约一个转子槽的42%o来自：S.Nandi,Adetailedmodelofinductionmachineswithsaturationextendablefor（0）用式（3.12）中的右边相等量替换代入，得faultanalysisIEEETransactionsonIndustryApplications,40卷，第5册.pp.1302-1309,2004年9/10月。得到许可)或写为2“=“（）”JB（G，0）（”A（G，0）-MJG，&）g（e，0）de（03.28）2ttJ7ZB（0,0）7lA（0,0）g（e，0）d厶B

18、A3.29）（3.30）02tt-J%（g，氛&）昇（e，meL0因为叭（氛0）是一个常数，它可以提到积分符号之外。因此2ttJB（G，0）71A（G，0）g（e，0）d（f）02IT-a21、BA=“（）i（3.31）.一2ttMa（g，&）Mb（e，&）g“（e，o）2tt式（3.31）可以通过将式（3.30）中的Jb（G，0）g（e，的部分替换0为（4&）g（e，&）来得到，而这是从式（3.14）中可观察推论出的关系式。类似的步骤可以证明，由于绕组B的电流讣导致的绕组A的互感厶AB将为21T厶ab二“（）Ja（少，0）Mb（少，0）g_l（G，0）d（f）（3.32）o它也等于式（3.3

19、1）o这就完成了式（3.27）的证明。最近在使用MWFA方法计算电感时，轴向气隙不对称也被考虑进去。这样电感值计算为/2jrG，0，y）b（G，0，y）g（0,0，y=W0（）3.33） #电机建模、状态监测与故障诊断第3章应用绕组函数法和改进绕组函数法的电机建模 # 电机建模、状态监测与故障诊断第3章应用绕组函数法和改进绕组函数法的电机建模 #-2ttMa（如&,y）X-b（,0,y）Xg_1（Q,0,y）o #电机建模、状态监测与故障诊断第3章应用绕组函数法和改进绕组函数法的电机建模 同样可以得到前述的结论Lab=BAo在这种情况下改进的绕组函数被定义为：M（少，0,y）二比（少，0,y）

20、-,0,y）（3.34）式中n（氛0,y）绕组匝数函数；|n(,0,y)gJ(少，0,y)d(/(3.35)少()M（0,0,y）改进的绕组函数的平均值，它可以表示为其中2-7Tg（e，e,y）=占Jge，e，y）d（3.36）（）是g（e，0，y）的平均值。例32a.计算如图3.3所示的定子他匝（他=100）整节距绕组和转子化匝（化.=50）整节距绕组的互感。假设气隙是均匀的，且g（Q,0）=g0=0.5mm;假设L=100mm并且r=25mmob计算当气隙静态偏心时定子和转子的互感，并且静态偏心给定为=go-5g（）cos（/,以及5=0.5,厶和7的值同上。解答：a.由于气隙均匀，方程（

21、3.24）可简化为厶认二业二豊Ub（G，。）弘（氛乙Ag（）（）&）环，因为绕组A的绕组函数是周期的，具有零均值。并且yVB（少，0）二N0）二-Y（-1）2cos（h（l）hn1仃,5以及2MNA,&)=N、(e，B)二/ITT(-1)2cos/i(G-&)=1,3,5 电机建模、状态监测与故障诊断第3章应用绕组函数法和改进绕组函数法的电机建模 可以计算出G为gF“I仃,5cos(h0).h2厶u与&的关系如图3.6（上）所示。b.利用方程（3.24）和例3.1中得到的A】、A?可以证明，存在静态偏心时刈4一各f叮77人1A=1,3,5h厶沁与0的关系如图3.6（下）所示。图3.6定子-转子

22、之间的互感：气隙均匀（上）和气隙有静态偏心（下）。3.4应用绕组函数法和改进绕组函数法的电机电感计算的验证以这种方法得到电感是电机建模的关键。然而，一个显而易见的问题可能出现在读者的脑海里，即是对于基于WFA和MWFA的技术方法的真实性和准确性的问题，特别是考虑到在3.2节中过于简化的假设。虽然几乎是不可能在一个真正的电机里衡量这些电感，如果电动机结构细节精确已知，真实的和接近的结果可以通过求解麦克斯韦方程得到。这可以很容易地通过使用可以得到的各种基于有限元（FE）的麦克斯韦方程解算软件来解决，来自Ansoft公司的“Maxwell”就是一个目前可以购买到的比较流行的、基于有限元场分布的解算软

23、件。使用WFA和MWFA生成的电感剖面分布图中的基于有限元的验证图示例，就是利用这个软件包来完成的。图3.7所示为一个正常的感应电机与具有混合偏心的感应电机时使用WFA/MWFA和有限元得到的比较图。使用的数据值为15%的静态偏心和5%的动态偏心。有限元图中的纹波是由于转子和定子有开槽，而在WFA/MWFA中又对此没有进行建模。图3.8给出了已经使用MWFA对电机齿槽效应进行建模的对比图。感应电机模型有36个定子槽和有28转子槽。使用MWFA方法的齿槽效应已经被定义为以下的气隙逆函数：g：（）=十Ob.cos(S(f).cosR(1)6)(%1%+cos(SR)+Re+/cos(S+/?)0R

24、e(3.37)二U.SU700O00200300300200O图3.7利用WFA/MWFA和有限元分析方法得到的转子环路1和定子相之间的互感的仿真结果，从上至下：正常电机（a相）；包含15%的静态偏心和5%动态偏心的混合偏心电机（a相、b相、和c相）。（来自:S.Nandi,R.M.Bharadwajt和H.A.Toliyat,Mixedeccentricityinthreephaseinductionmachines：Analysis,simulationandexperiments,第37届拉斯维加斯IAS年会论文集,第3卷,pp.1525-1532,2002年10月。得到许可）式中k（.

25、,kc2定子和转子的卡特系数（Carterscoefficient）;，析依赖于槽和其他的电机几何量（1/m）的参数；S,R定子和转子的槽数。图3.9所示为MWFA方法已经扩展到包括如轴向倾斜的3维效应的结果。图3.10所示为具有动态偏心的凸极同步电机的电感剖面分布比较图。0.1-0.232oOOOO.2O.0.30.2020406080100120140160180图3.8利用MWFA（上）和有限元分析（下）方法得到的感应电机在考虑齿槽效应时定子a相和转子环路1之间的互感剖面图仿真结果（来自：SNandi,uModelingofinductionmachinesincludingstator

26、androtorsloteffects,nIEEETransactionsonIndustiyApplications,40卷，第4册，pp1058-1065,2004年7月/8月得到许可）图3.9利用MWFA（左）和3D有限元分析（右）的方法得到的感应电机定子a相和转子冋路1之间的互感剖面仿真图，电机的一端轴设为0%的静态偏心而在另一端设为50%的静态偏心（来自：X.Li,QWutandSNandi,uPerformanceanalysisofa3-phaseinductionmachinewithinclinedstaticeccentricity,nIEEETransactionsonI

27、ndustryApplications,43卷,第2册，pp.531-541,2007年3月/4月。得到许可）图3.11给出了应用MWFA和有限元分析方法对比得到的同步磁阻电机的互感剖面图。图3.12显示了一个标准的同步电机（SM）的类似的电感剖面分布比较图。这些结果清楚地表明了WFA/MWFA的能力，可以以更高的分辨率计算电感剖面分布图，但只需要有限元分析方法所需时间的一小部分时间，并且也没有牺牲多少精度。Ilamparithi和Nandi验证了利用仿真软件模拟了3马力（hp）044个转子导条的感应电动机稳态运行时间1.5s,如果利用一个购买的有限元仿真软件包来完成计算时间可能需要大约50h

28、,相比之下利用基于MWFA的耦合电感电路MATLAB程序代码的方法其计算时间只有4分钟，而得到了相似的频谱特征叫表3.1提供了详细的结果。lhp二745.7W。角度(机械的)图3.1()使用MWFA(a)和有限元法(b)得到的含有25%，动态气隙偏心的同步电动机定子a相的磁化电感(来自：HA.Toliyal和NA.Al-Nuaini,Simulationanddetectionofdynamicair-gapeccentricityinsalientpolesynchronousmachinesIEEETransactionsonIndustiyApplications,35卷,第1册,pp.

29、86-93,1999年1月/2月)HE、暑010123456转子位置（机械弧度）-0.10123456转子位置仿儿械弧度）图3.11应用MWFA（）和有限元分析（下）方法得到的正常同步磁阻电机的定子a相与一个转子冋路的互感（来自:P.Neti,uStatorFaultAnalysisofSynchronousMachines,M博士学位论文,维多利亚大学,2007年12月。得到许可）表3.1不同偏心条件的故障特殊频率成分的归一化幅度（与处在OdB的60Hz基波相比）0.2HE/睾000-09一0123456故障指示成分MWFA/dBFE/dB50%SE(1388Hz)-39.66-40.815

30、0%DE(1358Hz)-38.88-40.87ME(25%SE+25%DE)(29.5Hz)-45.5-48.85(89.5Hz)-48.28-50.89(1358Hz)-45.74-46.84(1388Hz)-47.02-47.08 #电机建模、状态监测与故障诊断第3章应用绕组函数法和改进绕组函数法的电机建模 # #电机建模、状态监测与故障诊断第3章应用绕组函数法和改进绕组函数法的电机建模 -0.1转子位置（机械弧度）0.20.1转子位比（机械弧度）图3.12应用MWFA（上）和有限元分析（下）方法得到的一个健康的同步电机（SM）的定子a相与一个转子冋路的互感（来自:P.Neti,Stat

31、orFaultAnalysisofSynchronousMachines,”博士学位论文,维多利亚大学，2007年12月得到许可）参考文献T.A.LipozAnalysisofSynchronousMachineWisconsinPowerElectronicsResearchCenter,UniversityofWisconsin,2008S.Nandi,FaultAnalysisforConditionMonitoringofInductionMotors,PhDdissertation,TexasA&MUniversity,May2000.N.A.AbNuaimandH.A.Toliyat,Z/Anovelmethodformodelingdynamicairgapeccentric让yinsynchronousmachinesbasedonmodifiedwindingfunctiontheory,IEEETransactionsonEnergyConversion,vol.13,no.2Zpp.156-162,June1998.S.Nandi,Adetailedmodelofinductionmachineswithsaturationextendableforfaultanalysis/IEEETransac