宋浩线性代数笔记

1、.线性代数P1二阶三阶行列式02:48二阶行列式划线计算15:00三阶行列式划线计算22:29N阶行列式预备知识24:21名场面：宋浩点名田莎莎等P2n阶行列式00:55N阶行列式计算20:50下三角行列式23:14上三角行列式24:40对角线行列式25:30副对角线行列式31:00三角行列式总结31:09行列式三种定义P3行列式的性质00:25性质一转置.11:48性质二两行互换.20:38性质三两行相同23:10性质四行公因子k28:05性质五两行成比例34:20性质六和分解43:36性质七行叠加51:12行列式值计算通用法P4行列式按行展开04:36余子式07:42代数余子式09:38降

2、阶：行列式按某一行/列展开16:50异乘变零定理27:17拉普拉斯定理30:17拉普拉斯展开定理38:30同阶行列式相乘P5行列式的计算（一）14:33纯数字行列式计算21:50已知行列式求余子式之和.30:06对角线为x，其余为a的行列式计算技巧P6行列式的计算（二）00:00行列式计算基础思路01:05三叉形行列式17:42范德蒙德行列式40:42反对称行列式43:12对称行列式P7克莱姆法则00:05解方程组09:11解齐次线性方程组P8矩阵概念22:20矩阵和行列式比较P9矩阵运算（一）00:00名场面：宋浩免费赠送自制知识卡片02:50矩阵加减法07:53矩阵数乘运算.13:58矩阵

3、乘法.P10矩阵运算（二）00:00矩阵幂运算23:49矩阵转置P11特殊矩阵P12逆矩阵（一）03:04方阵的行列式12:54方阵的行列式的性质24:28伴随矩阵P13逆矩阵（二）10:58方阵可逆条件21:16求逆矩阵方法47:33解矩阵方程常见错误总结54:42逆矩阵性质66:58伴随矩阵A*小专题P14分块矩阵.00:00分块要求04:34标准形09:34分块矩阵加法10:39分块矩阵数乘11:12分块矩阵乘法20:25分块矩阵转置23:23拉普拉斯展开定理在分块矩阵中的应用例题.39:08分块矩阵的逆P15初等变换（一）00:00三种初等变换11:18初等变换和行列式变换的对比24:

4、50矩阵化标准型29:45矩阵等价P16初等变换（二）00:00初等方阵09:15初等方阵的行列式和逆矩阵14:56初等方阵与矩阵做乘法.44:13初等方阵用处.P17初等变换（三）00:00初等变换法求逆矩阵13:51解题过程总结P18矩阵的秩（一）00:00k阶子式02:10矩阵的秩P19矩阵的秩（二）00:00矩阵的秩07:35求矩阵的秩14:23阶梯形矩阵32:09行简化阶梯形矩阵41:15求秩方法53:11秩的性质58:49广告：宋浩打油诗P20向量的定义.10:11向量定义.P21向量间的线性关系（一）00:00线性关系19:41向量组的等价P22向量间的线性关系（二）00:00线

5、性相关与无关16:37扩大后向量组与原向量组25:40接长后向量组与原向量组37:20行列式判断相关P23线性相关线性无关00:00定理一04:32定理二13:57定理三：替换13:57定理四21:22推论P24向量组的秩（一）.00:00极大线性无关组.08:04极大线性无关组性质12:45向量组的秩P25向量组的秩（二）00:00行秩与列秩07:06定理11:12极大线性无关组的求法P26线性方程组00:00二元一次方程与初等变换P27线性方程组有解判定00:00有解判定P28齐次方程组的解00:00齐次方程组P29方程组解的结构（一）00:00齐次方程组解的结构.06:54基础解系.08

6、:56齐次方程基础解系求法45:26定理P30方程组解的结构（二）00:00导出组04:27非齐次方程组解的结构P32矩阵的特征值与特征向量（一）00:00矩阵的特征值与特征向量08:35求特征值P33矩阵的特征值与特征向量（二）00:00求特征值（计算含参行列式）思路19:40完整例题求特征值和特征向量43:12N阶三角形矩阵的特征值P34特征值与特征向量的性质00:00基本性质47:49其他性质.P35相似矩阵和矩阵可对角化的条件00:00相似矩阵07:58相似矩阵的性质22:06与对角形矩阵相似（对角化）的条件61:47利用相似矩阵简单求矩阵的高次幂P36实对称矩阵的对角化（一）00:0

7、0实对称矩阵的对角化02:00内积21:09向量的长度/范数/模P37实对称矩阵的对角化（二）00:00模的性质04:16柯西-施瓦茨不等式08:13三角不等式09:55正交/垂直25:10施密特正交化P38实对称矩阵的对角化（三）.00:00正交矩阵.21:38实对称矩阵的对角化28:48正交相似31:24定理32:34汇总P39二次型定义00:00判断二次型03:08n元二次型04:09二次型的矩阵表达21:30标准型24:40线性替换35:38合同49:00矩阵间关系总结P40二次型化标准型（配方法）00:00二次型化标准型的三种方法02:33配方法P41二次型化标准型（初等变换法和正交

8、替换法）.00:00初等变换法.22:00规范形.31:06正交替换.End感谢宋老师.Appendix浩浩卡片P1二阶三阶行列式02:48二阶行列式划线计算行列式一定是方的15:00三阶行列式划线计算主对角线：副对角线：22:29N阶行列式预备知识排列：1，2，n组成的一个有序数组叫n级排列，中间不能缺数如3级排列：123，132，213，231，312，321逆序：大数排在小数前面逆序数：逆序的总数奇/偶排列：逆序数为奇/偶标准排列：123N对换：交换排列中的两个数做一次对换，排列奇偶性改变24:21名场面：宋浩点名田莎莎等P2n阶行列式00:55N阶行列式计算按行展开：行标取标准排列列标

9、取排列的所有可能，从不同行不同列取出n个元素相乘共有N!项每一项的符号由列标排列的奇偶性决定，偶正奇负20:50下三角行列式右上方三角形区域元素全部为0下三角行列式=主对角线元素相乘23:14上三角行列式左下方三角形区域元素全部为0上三角行列式=主对角线元素相乘24:40对角线行列式只有主对角线上有数25:30副对角线行列式副对角线行列式=(-1)(n(n-1)/2)*副对角线元素相乘31:00三角行列式总结31:09行列式三种定义1.按行展开，符号由列标排列决定2.按列展开，符号由行标排列决定3.胡乱展开，符号由行标排列逆序数和列标排列逆序数之和决定(-1)(N(i1,i2,iN)+N(j1

10、,j2,jN),i：行标，j：列标P3行列式的性质行列式对行成立的性质对列也成立00:25性质一转置转置：把行按列写行列式转置后值不变行列式转置的转置等于本身11:48性质二两行互换行列式两行互换，值变号20:38性质三两行相同行列式两行相同，等于023:10性质四行公因子k行列式某行都乘以k，等于用k乘以这个行列式。即行列式某一行有公因子k，可往外提一次若行列式所有元素都有公因子k，k外提N次28:05性质五两行成比例行列式两行成比例，则行列式值为0某一行全为0，则行列式为034:20性质六和分解若行列式某一行元素都可以表示为两项和，则行列式等于两个行列式相加|1+22+3|12|23|33

11、|=|33|+|33|46|46|46|12343:36性质七行叠加某一行乘以一个数加到另一行上去，行列式值不变51:12行列式值计算通用法将行列式化为上三角行列式，连乘对角线元素利用性质七将左下角元素从左到右从上到下消为0P4行列式按行展开04:36余子式在行列式中选中某个元素，去掉所在行列，剩余的元素构成的行列式叫这个元素的余子式M_ij，M代表余子式，i代表选中元素的行标，j列标，ij从1开始07:42代数余子式在余子式前面加上符号(1)(i+j)09:38降阶：行列式按某一行/列展开行列式的值=某一行所有元素乘以自己的代数余子式的积之和，列同理16:50异乘变零定理某行元素与另一行元素

12、的代数余子式乘积之和为零27:17拉普拉斯定理k阶子式：任取k行k列，交叉处构成的行列式为k阶子式k阶子式的余子式：除去选中行列，其余行列形成的子式为k阶子式的余子式k阶子式的代数余子式：多个符号(-1)所有行标与列标之和30:17拉普拉斯展开定理取定k行，由k行元素组成的所有k阶子式与其代数余子式乘积之和=行列式值38:30同阶行列式相乘同阶行列式相乘的值=两个行列式做矩阵乘法后得到的行列式的值P5行列式的计算（一）14:33纯数字行列式计算将行列式化为上三角行列式，连乘对角线元素21:50已知行列式求余子式之和构造新行列式30:06对角线为x，其余为a的行列式计算技巧P6行列式的计算（二）

13、00:00行列式计算基础思路1.化成上三角2.把某行/列尽可能多得化成0，然后展开01:05三叉形行列式加边法：在顶上加一行1，左边多出的一列（除第一行）为0，行列式值不变17:42范德蒙德行列式40:42反对称行列式a_ij=-a_ji主对角线全为0上下位置对应成相反数奇数阶，行列式值D=043:12对称行列式a_ij=a_ji主对角线无要求上下位置对应相等P7克莱姆法则00:05解方程组n个方程，n个未知量D0 x_j=D_j/D，D为方程组系数构成的行列式，D_j代表把方程组值用于替换D的第j列得到的行列式，x_j代表解09:11解齐次线性方程组n个方程，n个未知量齐次：方程组值都为0，

14、即无常数齐次方程，至少有零解若D0，只有零解；若D=0有非零解P8矩阵概念22:20矩阵和行列式比较矩阵可以是不方的零矩阵：元素都是0的矩阵为零矩阵（有形状）负矩阵：A的负矩阵为A，所有元素取相反数方阵：行数=列数单位阵E：对角线上为1，其余元素为0，一定为方阵同型矩阵：形状相同矩阵相等：同型且值对应相等零矩阵不一定相等方阵的主对角线：，次对角线：，不是方阵则没有P9矩阵运算（一）00:00名场面：宋浩免费赠送自制知识卡片已收集到电子版02:50矩阵加减法只有同型矩阵才能相加减对应元素相加减07:53矩阵数乘运算用k乘以矩阵，相当于把k乘以矩阵所有元素矩阵所有元素均有公因子，公因子外提一次（行

15、列式是n次）13:58矩阵乘法前提：左矩阵列数=右矩阵行数结果矩阵的行数=左矩阵行数，列数=右矩阵列数结果矩阵第i行第j列的值=左矩阵第i行与右矩阵第j列对应元素乘积之和宋氏七字：中间相等，取两头AB一般BAAB有意义，BA不一定有意义。若AB=BA，则称A，B可交换左乘：在矩阵左边乘上一个矩阵，右乘同理AB=0A=0或B=0AB=AC，A0B=C与零矩阵左/右乘：零矩阵与任何矩阵相乘都为零矩阵与单位阵左/右乘：AE=A,EA=A，此时E的形状可能不同(AB)C=A(BC)，AB顺序不可变(A+B)C=AC+BC，AB顺序不可变k(AB)=(kA)B=A(kB)，AB顺序不可变P10矩阵运算（

16、二）00:00矩阵幂运算A0=EAk1Ak2=A(k1+k2)(Ak1)K2=Ak1k2(AB)k一般AkBk(AB)2=ABABA2B2=AABB(A+B)2=A2+BA+AB+B2A2+2AB+B2(A-B)2A2-2AB+B2(A+E)2=A2+2AE+E2Ak需满足A为方阵23:49矩阵转置AT代表A的转置，把行按列写(AT)T=A(A+B)T=AT+BT(kA)T=kAT(AB)T=BTATP11特殊矩阵数量矩阵：主对角线元素全部相等，其余元素为0对角形矩阵：对角线上有值，其余为0对角线矩阵可以表示为diag(a1,a2,an)，a1n为对角线上的元素三角矩阵对称矩阵对于对称矩阵A，

17、AT=AA,B对称，AB对称A,B可交换反对称矩阵主对角线元素全部为0P12逆矩阵（一）03:04方阵的行列式12:54方阵的行列式的性质|AT|=|A|kA|=kn|A|AB|=|A|B|24:28伴随矩阵只有方阵才有伴随矩阵伴随矩阵A*：求所有元素的代数余子式，按行求的代数余子式按列放，构成矩阵AA*=A*A=|A|E|AA*|=|A|E|A|A*|=|A|n|A*|=|A|(n-1)P13逆矩阵（二）逆矩阵：设A为n阶方阵，存在同阶方阵B，使得AB=BA=E，则A的逆矩阵A-1=B未必所有方阵均可逆，比如零矩阵如果方阵可逆，逆矩阵唯一10:58方阵可逆条件若矩阵满足|A|0，则其非奇异，

18、非退化，满秩A可逆|A|0，A-1=1/|A|A*若A、B都为n阶方阵，|A|0且(AB=E或BA=E)，则A-1=B21:16求逆矩阵方法1.伴随矩阵法2.初等变换法（一般用这个）47:33解矩阵方程常见错误总结1.注意提的方向2.矩阵不能减一个数字，需要补一个E3.永远不要把矩阵放在分母上4.一定要先判断矩阵可逆，再用逆矩阵54:42逆矩阵性质A可逆，则A-1可逆，且(A-1)-1=AA,B均可逆，则AB可逆，（AB)-1=B-1A-1A可逆，则AT可逆(AT)-1=(A-1)T若k0，(kA)-1=A-1/k若A可逆，|A-1|=|A|-1若A可逆，A*也可逆，(A*)-1=A/|A|6

19、6:58伴随矩阵A*小专题1.求代数余子式，按行求，按列放2.AA*=A*A=|A|E3.|A*|=|A|(n-1)4.A-1=A*/|A|,A*=|A|A-15.(A*)*=|A|(n-2)A6.(A*)*)*=|A|(n-1)(n-2)+1)A-1P14分块矩阵00:00分块要求横线/竖线一气到头04:34标准形从左上角开始的一串1不断，其余全是0不一定是方阵09:34分块矩阵加法10:39分块矩阵数乘11:12分块矩阵乘法把每个子块看作元素，做矩阵乘法前提：子块可乘20:25分块矩阵转置先把子块视作元素求矩阵转置，再对每个子块求转置23:23拉普拉斯展开定理在分块矩阵中的应用例题例题：求

20、特殊分块矩阵行列式39:08分块矩阵的逆对角分块矩阵求逆，直接把所有对角子块变为对应的逆矩阵P15初等变换（一）00:00三种初等变换交换两行用k(k0)乘某一行某一行的L倍加到另一行上去做初等变换要用箭头，不能用等号=11:18初等变换和行列式变换的对比24:50矩阵化标准型任何矩阵通过初等变换可以化为标准型29:45矩阵等价A经初等变换可得B，则A与B等价反身性：A与自身等价，AA对称性：AB=BA传递性：AB,BC=AC任何矩阵等价于标准型P16初等变换（二）00:00初等方阵对E做一次初等(行/列)变换得到的矩阵为初等方阵09:15初等方阵的行列式和逆矩阵初等方阵均可逆，其逆矩阵也是初

21、等方阵初等方阵的转置也是初等方阵14:56初等方阵与矩阵做乘法用初等变换得到的初等方阵左乘A，相当于对A实施同种初等行变换；右乘相当于列变换44:13初等方阵用处初等方阵是初等变换的载体多个初等方阵可以化矩阵为标准形若A与B等价，存在可逆矩阵P、Q，使得PAQ=BA可逆A的标准形为EA可逆A=多个初等方阵乘积P17初等变换（三）00:00初等变换法求逆矩阵A-1=Q1Q2Qt=A-1=Q1Q2QtE,E=Q1Q2QtA初等行变换法：将A通过一系列初等行变换得到E之时，施加相同的初等行变换在E可以使E变为A-1。(A,E)(E,A-1)13:51解题过程总结注1.先第1列再第2列再第3列注2.写

22、整行，对整行操作注3.第一列处理好后，第一行不再主动参与运算，后面同理注4.做变换时矩阵与矩阵直接用箭头连接注5.只做行变换注6.不管是否可逆，如坐标化不成E，则不可逆，因为初等变换对于矩阵行列式值的改变是非零倍P18矩阵的秩（一）00:00k阶子式k阶子式：任取k行k列，交叉处构成的行列式为k阶子式02:10矩阵的秩非零子式的最高阶数：秩P19矩阵的秩（二）00:00矩阵的秩矩阵A的秩表示为rank(A)=r(A)设A形状为(m,n)若r(A)=m，则行满秩若r(A)=n，则列满秩否则r(A)min(m,n)，降秩若A为方阵，满秩行列式0A可逆07:35求矩阵的秩r(A)=r有一个r阶子式不

23、为0，所有r+1阶为014:23阶梯形矩阵若有零行，零行在非零的下边左起有首非零元左边零个数随行数增加而严格增加宋氏阶梯折线法：横线可跨多个数，竖线只跨一个数32:09行简化阶梯形矩阵行简化阶梯形：是阶梯非零行的首非零元是1首非零元所在列的其余元素是0宋氏三步走（判断行简化阶梯形）画折线，判断阶梯形画出首非零元首非零元画竖虚线，开头是1其余都为041:15求秩方法矩阵的秩=非零行的行数初等变换不改变秩矩阵求秩：A初等变换阶梯形数非零行的行数OK53:11秩的性质1.r(A)=r(AT)2.任意矩阵乘以可逆矩阵，秩不变设A(m,n),P为m阶可逆方阵,Q为n阶可逆方阵则r(A)=r(PA)=r(

24、AQ)=r(PAQ)，因为可逆矩阵可以表示为一系列初等方阵的积58:49广告：宋浩打油诗线性代数好深奥矩阵方程行列式数学如何呵呵学得好奥山东财大找宋浩P20向量的定义10:11向量定义向量：N个数组成的有序数组，常用表示维数：N行向量：横着写，列向量：竖着写的向量零向量：元素全为0负向量：取相反数向量相等：同维数，元素对应相等k=0k=0or=0P21向量间的线性关系（一）00:00线性关系1.零向量可由任意向量组表示2.向量组中任一向量可由向量组表示3.任一向量都可由N维基本向量组表示19:41向量组的等价同维两个向量组可以相互线性表示P22向量间的线性关系（二）00:00线性相关与无关线性

25、相关：1,2,.,n是n个m维向量组，若存在一组不全为0的k1,k2,.,kn，使得k11+k22+.+knn=0，则向量组线性相关，否则无关向量组中两向量成比例，向量组必线性相关含零向量的向量组，必线性相关一个零向量必相关一个非零向量必无关一个向量相关=016:37扩大后向量组与原向量组若向量组线性相关，增加向量后依然相关部分组相关整体相关整体组无关部分无关25:40接长后向量组与原向量组线性无关的向量组接长后也线性无关；线性相关的向量组截短后也线性相关37:20行列式判断相关n个n维向量（维数=个数）构成的行列式D0，那么线性无关，否则相关P23线性相关线性无关00:00定理一1,2,.,

26、s相关至少一个向量可由其余向量表示04:32定理二1,2,.,s无关，1,2,.,s,s相关，可由1,2,.,s唯一表示13:57定理三：替换1,2,.,s无关，可由1,2,.,t表示，则st1,2,.,s可由1,2,.,t表示，st，1,2,.,s相关13:57定理四若向量个数m向量维数n，则m个n维向量相关n+1个n维向量相关21:22推论两个等价的线性无关组含向量个数相同P24向量组的秩（一）00:00极大线性无关组1,2,.,s的部分组1,2,.,r满足：1,2,.,r无关1,2,.,s中每个向量均可由1,2,.,r表示任意r+1个都相关08:04极大线性无关组性质任意两个极大无关组，

27、含向量个数相同全是零的向量组，没有极大线性无关组一个线性无关的向量组，它的极大无关组就是它本身任何一个向量组和它的极大无关组是等价的12:45向量组的秩向量组的秩：极大无关组含向量个数，记作r(1,2,.,s)如果全是零向量，秩为00r(1,2,.,s)min(向量个数s，向量维数n)1,2,.,r无关r=s1,2,.,r相关rs若1,2,.,s可由1,2,.,t表示，那么r(1,2,.,s)r(1,2,.,t)等价向量组有相同的秩P25向量组的秩（二）00:00行秩与列秩行秩=列秩=矩阵的秩07:06定理r(AB)min(r(A),r(B)11:12极大线性无关组的求法初行变换不改变矩阵列向

28、量组的线性关系.不管原向量是行或列，均按列构成矩阵.只做行变换，化行简化.首非零元所在列做极大无关组.其余向量表示系数直接写出P26线性方程组00:00二元一次方程与初等变换求秩过程类似与求方程组的解，初等变换类似于消元P27线性方程组有解判定00:00有解判定系数矩阵A=方程组左边系数构成的矩阵增广矩阵A-=A右边加上结果那一列设m为方程组个数，n为未知数个数，当r(A)=r(A-)，有解r(A)=r(A-)=n，唯一解r(A)=r(A-)n，无穷解当r(A)r(A-)，无解行简化阶梯型首非零元1的个数就是nP28齐次方程组的解00:00齐次方程组一定有解，至少有零解r(A)=n唯一零解r(

29、A)n有非零解/无穷解方程个数m未知量个数n，有非零解，r(A)min(m,n)=mnm=n有非零解|A|=0r(A)nA可逆P29方程组解的结构（一）00:00齐次方程组解的结构两解（1，2）相加仍是解解的倍数k仍然解06:54基础解系.1,2,.,s线性无关.任何解可由1,2,.,s表示08:56齐次方程基础解系求法.列出系数矩阵A.只做初等行变换化为行简化阶梯型.得到首非零元的表示.对自由项取极大无关组（One-Hot）并带入所有x即可得到基础解系解个数：n-r(A)理解：齐次线性方程组其实就是对各个变量x1,x2,.,xn间关系的限制，通过初等行变换可以消除潜在的非自由变量，矩阵的秩指

30、关系的最简表示个数，在此处代表非自由变量的个数，基础解系实际上是由自由变量决定的齐次方程组的通解就是常数与基础解系积的和，可以表示任意一个解45:26定理若矩阵A_m*n和B_n*s满足AB=0，则r(A)+r(B)n推理：AB=0=A左乘B的每一列都为0=B的每一列都是A的一组解=r(B)=B的列秩A的自由变量数=n（A列数，也就是A中变量x的个数）-r(A)P30方程组解的结构（二）00:00导出组设非齐次线性方程组为Ax=b，则其导出组为Ax=0设为Ax=b的解，为Ax=0的解，则A(+)=b=+是Ax=b的解04:27非齐次方程组解的结构特解：满足非齐次方程组的随便一个解非齐次方程组的

31、解=特解+导出组的通解求特解：化A-至行最简阶梯型，得到首非零元表示，令所有自由变量为0，得到一个特解P32矩阵的特征值与特征向量（一）00:00矩阵的特征值与特征向量设A为n阶方阵，对一个数，存在非零列向量，使得A=则为一个特征值为对应的特征向量可为0不可为008:35求特征值A=(E-A)=0(E-A)x=0有非零解|E-A|=0特征矩阵：E-A特征多项式：|E-A|化简后特征方程：|E-A|=0特征值/特征根：x若为对应的特征向量，则c也是，c为常数对应唯一一个，可对应多个若1,2都为对应的特征向量，则c11+c22是的特征向量P33矩阵的特征值与特征向量（二）00:00求特征值（计算含

32、参行列式）思路把某行尽可能化为零，按行展开提含参数的公因子19:40完整例题求特征值和特征向量.列出|E-A|，检查10秒.通过|E-A|=0或|A-E|=0求出一般利用按行展开或提公因子的技巧直接得到一个根，然后计算剩下的根.代入，得到矩阵E-A.化为行简化阶梯型.写出同解方程组.对自由未知量取One-Hot，得到基础解系.引入c写出通解，所有c不能同时为043:12N阶三角形矩阵的特征值N阶三角形矩阵的特征值是主对角线上的元素P34特征值与特征向量的性质00:00基本性质A和AT有相同的特征值，特征向量可能不同若矩阵A的每行元素绝对值之和小于1，且每列元素绝对值之和也小于1，则所有特征值的

33、膜小于1韦达定理特征值之和（称为矩阵的迹tra(A)）等于对角线元素之和特征值之积等于行列式的值A可逆|A|0A所有特征根不等于0A满秩行/列向量线性无关Ax=0只有零解互不相同的特征值对应的特征向量线性无关互不相同的特征值对应的所有线性无关的特征向量线性无关k重特征根对应的线性无关的特征向量的个数k若是A的单根，那么对应的线性无关的特征向量只有一个n阶矩阵A所有线性无关的特征向量的个数最多n个47:49其他性质若是A的特征值k是kA的特征值k是Ak的特征值哈密顿一凯莱定理：f(A)的特征值为f()，此处f代表多项式函数1/是A-1的特征值|A|/是A*的特征值P35相似矩阵和矩阵可对角化的条

34、件00:00相似矩阵若A、B为n阶方阵，存在n阶可逆矩阵P，使得P-1AP=B，则A与B相似，即ABAAABBAAB,BC=AC07:58相似矩阵的性质若AB，则：A、B有相同的特征值|A|=|B|tra(A)=tra(B)有相同特征值未必相似若AB，则A可逆B可逆，A-1B-1若AB，则AmBm若AB，则r(A)=r(B)22:06与对角形矩阵相似（对角化）的条件A相似于对角形A有n个线性无关的特征向量若P为特征向量的列组合(1,2,3)，则P-1AP=diag(1,2,3)若A有n个互异的特征值，则AA对每个ri重特征根有ri个解（即ri个自由变量）61:47利用相似矩阵简单求矩阵的高次幂

35、P36实对称矩阵的对角化（一）00:00实对称矩阵的对角化所有实对称矩阵都能对角化02:00内积内积：两个向量对应相乘再相加得到的数和的内积(,)0(,)=0=0(,)=(,)(k,)=k(,)=(,k)(+,)=(,)+(,)21:09向量的长度/范数/模范数：|=(,)单位向量：模为1单位化/标准化：乘上1/|P37实对称矩阵的对角化（二）00:00模的性质|0，|=0=0|k|=|k|04:16柯西-施瓦茨不等式|(,)|08:13三角不等式|+|+|09:55正交/垂直(,)=0,(0,)=0正交向量组：组中向量两两正交，不含零向量标准正交向量组：是正交向量组，组内都是单位向量若1,2

36、,.,s是正交向量组，那么1,2,.,s线性无关25:10施密特正交化施密特正交化（Schmidtorthogonalization）是求欧氏空间正交基的一种方法。从欧氏空间任意线性无关的向量组1，2，m出发，求得正交向量组1，2，m，使由1，2，m与向量组1，2，m等价，再将正交向量组中每个向量经过单位化，就得到一个标准正交向量组，这种方法称为施密特正交化。（来自百度百科）P38实对称矩阵的对角化（三）00:00正交矩阵正交矩阵A满足：A是n阶方阵，AAT=E若A是正交矩阵：|A|=1A-1=AT，且A-1和AT均正交若A、B都是正交矩阵，AB也正交若A正交，、为n维列向量，则(A,A)=(,)A正交A的列(行)向量组是标准正交向量组21:38实对称矩阵的对角化实对