2021年高考数学高考数学压轴题 多选题分类附解析

1、log1x,x11已知fx，则关于x的方程x2fx2aa1的实根一、函数的概念与基本初等函数多选题522,x1个数可能为（）1xA2B3C4D5【答案】ABC【分析】画出fx的图像，由a1，可分类讨论0a1，a0，a0三种情况，令x2a，判断出实根个数tx12，并画出图像，结合两个函数图像以及fx1x构成的集合.【详解】画出fx的图像如图所示，令tx12，画出图像如图所示.x由log1t1，解得：t4,t54545，由t2221，解得t61,t73.由log51t0，解得：t80，由t2220t1，解得t922.（1）当0a1时，fta，有3解，且4t0或0t45或3t22，结2的图像可知，4

2、t0时没有x与其对应，0t或3t22时合tx14x52a有4个实数根.每个t都有2个x与其对应，故此时fx1x（2）当a0时，fta，有2解，且t0或t22，t0有一个x1与其对2a有3个实数根.应，t22有两个x与其对应，故此时fx1xt有两个x与其对应，故此时fx2a有2个实数根.（3）当a0时，fta，有1解，且t22，结合tx1x1x2的图像可知，每个2a的实根个数构成的集合为2,3,4.综上所述，关于故选：ABCx的方程fx1x【点睛】方法点睛：本题考查分类讨论参数，求函数零点个数问题，讨论函数零点个数常用方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根；（2）分离参数法：先将参数分离，

3、转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解，考查学生的数形结合的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.2已知函数fxx2ax,2x1,x0 x0，则（）B当a0时，fxfx21C当a0时，存在非零实数x，满足fxAfx的值域为1,00D函数gxfxa可能有三个零点【答案】BC【分析】fx00A考虑a2时的情况，求解出各段函数值域再进行判断；B先根据条件分析fx的单调性，再根据x21与x的大小关系进行判断；C作出yx2ax,yx2ax,yx2ax的函数图象，根据图象的对称性进行

4、分析判断；D根据条件先分析出a0,1，再根据有三个零点确定出a满足的不等式，由此判断出a是否有解，并判断结论是否正确.【详解】x0时，y2x1011，当x0时，yx2axxA当a2a224，取B当a0时，yx2axx的对称轴为x0，所以fx在242又因为x21xx0，所以x21x，所以fxfx21，故B正a2，此时yx1211，所以此时的值域为1,，故A错误；a2a2a,0上单调递减，又因为fx在0,上单调递减，且020a201，所以fx在R上单调递减，12324确；C作出函数yx2ax,yx2ax,y2x1的图象如下图所示：由图象可知：yx2ax,yx2ax关于原点对称，且yx2ax与y2x

5、1相交于x,y00，因为点x,y在函数yx2ax的图象上，所以点x,y在函数yx2ax的图0000象上，所以fx0fxyy0，000所以当a0时，存在x使得fxfx0，故C正确；且yxax,，若方程有三个根，则有a，所以a4或a0，这a2a2000D由题意知：fxa有三个根，所以fx不是单调函数，所以a0，又因为y2x11,0，所以a1,0，所以a0,1，244与a0,1矛盾，所以函数gxfxa不可能有三个零点，故D错误，故选：BC.【点睛】思路点睛：函数与方程的综合问题，采用数形结合思想能高效解答问题，通过数与形的相互转化能使问题转化为更简单的问题，常见的图象应用的命题角度有：（1）确定方程

6、根的个数；（2）求参数范围；（3）求不等式解集；（4）研究函数性质.3对于函数fx定义域中任意的x,x12述结论中正确结论的序号是（）x1x，有如下结论，当fxlgx时，上2Afxx12fxfx12Bfxx12fxfx12Df1xfxfxCf(x)f(x)12xx120 x22212【答案】BC【分析】由对数的运算性质判断A，B，由对数函数的单调性判断C，由对数的运算结合基本不等式判断D【详解】fxlgx在定义域中单调递增，0，故C正确；对于A，错误；对于B，对于C，对于D，fxxlgxxlgxlgx，即fxxfxfx，故A1212121212fxxlgxxlgxlgxfxfx，故B正确；12

7、121212fxfx12xx12x,x0 xx，利用基本不等式知1212f12lg2lgxx，又22xxxx1122fxfx122lgxlgxlgxx11222lgxx，则12f1xx22fxfx122，故D错误；故选：BC【点睛】关键点点睛：本题考查命题的真假判断，考查对数函数的性质，考查基本不等式的应用，2解决本题的关键点是将对数形式化为根式，即lgxlgx12lgxx，利用对数的运算结12合基本不等式放缩得出答案，并验证取等条件，考查了学生逻辑思维能力和计算能力，属于中档题4设xR，用x表示不超过x的最大整数，则yx称为高斯函数，也叫取整函数.令fxxx，以下结论正确的有（）Cfx1fx

8、1D函数fx的值域为0,1对于A，f1.11.11.11.120.9，故A正确.Af1.10.9B函数fx为奇函数【答案】AD【分析】根据高斯函数的定义逐项检验可得正确的选项.【详解】对于B，取x1.1，则f1.10.9，而f1.11.1-1.11.110.1，故f1.1f1.1，所以函数fx不为奇函数，故B错误.对于C，则fx1x1x1x1x1fx，故C错误.对于D，由C的判断可知，fx为周期函数，且周期为1，当0 x1时，则0当x0时，则f000，当0 x1时，fxxxx0 x，当x1时，fx11110，故当0 x1时，则有0fx1，故函数fx的值域为0,1，故D正确.故选：AD【点睛】思

9、路点睛：对于函数的新定义问题，注意根据定义展开讨论性质的讨论，并且注意性质讨论的次序，比如讨论函数值域，可以先讨论函数的奇偶性、周期性5设s,t0，若满足关于x的方程xtxts恰有三个不同的实数解xxxs,则下列选项中，一定正确的是（）123Axxx0123Bst6425s5DstCt414425【答案】CD【分析】设fxxtxt，得出函数fx为偶函数，从而有xxx0，因此方程123fx=s必有一解为0，代入得2ts，分0 xt和xt两种情况得出函数fx的单调性和最值，从而求得s，t，可得选项.【详解】设fxxtxt，则函数fx为偶函数，所以xxx0，123所以fx=s，其中必有一解为0，则f

10、0tts2ts，当0 xt时，fxtxtx2txt+x22t,当且仅当x0时取等号；442545当xt时，fxtxtx在t,上递增，fxs2t，xtxt2txt2xtxtxt4t4x5tx5t，4又fx在t,上递增，x5t，即x=s5t2tt64,s5t16，33t6454144,st.s2516525故选：CD.【点睛】本题考查函数与方程的综合知识，关键构造合适的函数，判断函数的奇偶性，单调性，最值，属于较难题.6设x表示不超过x的最大整数，如：1.21，1.22，yx又称为取整函数，在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“取整函数”进行计费，以下关于“取整函数”的描述，

11、正确的是（）AxR，2x2xBx,yR，若xy，则xy1xR，xx2xC12对于A，x1.5，则2x33,2x224，故2x2x，故A不成对于C，设xmr，其中mZ,r0,1，D不等式2x2x30的解集为x|x0或x2【答案】BCD【分析】通过反例可得A错误，根据取整函数的定义可证明BC成立，求出不等式2t2t30的解后可得不等式2x2x30的解集，从而可判断D正确与否.【详解】立.对于B，xym，则mxm1,mym1，故m1ym，所以xy1，故B成立.xx12mr1，2x2m2r，则220，2r0，故xx2x；，则r若0r222111r1，则r1，2r1，故xx2x，故C成立.若222111

12、对于D，由不等式2x2x30可得x1或x32，故x0或x2，故D正确.故选：BCD【点睛】本题考查在新定义背景下恒等式的证明与不等式的解法，注意把等式的证明归结为整数部分和小数部分的关系，本题属于较难题.7设函数f(x)是定义在区间I上的函数，若对区间I中的任意两个实数x,x，都有12f(xxf(x)f(x)12)1222,则称f(x)为区间I上的下凸函数.下列函数中是区间(1,3)上的下凸函数的是（）Af(x)2x1Cf(x)x35【答案】ACDBf(x)x2Df(x)2x1x1【分析】根据函数的解析式，求得f(xxf(x)f(x)12)1222，可判定A正确；根据特殊值法，对于A中，任取x

13、1,x2(1,3)且xx，则f(xx222可得f(xx2)可判定B不正确；根据函数的图象变换，结合函数的图象，可判定C、D正确.【详解】12)(xx)1，1212f(x)f(x)112(2x12x1)(xx)1，1212f(x)f(x)xxf(x)f(x)2)12112，满足f(1，所以A正确；2222222对于B中，取x135xx,x，则122，235可得f()f()22f(x)f(x)11xx，所以12，f(12)f(2)0，2222此时f(xxf(x)f(x)12)1222，不符合题意，所以B不正确；对于C中，函数f(x)x35，由幂函数yx3的图象向上移动5个单位，得到函数f(x)x3

14、5的图象，如图所示，C，y，22取x1,x2(1,3)且x1x2，由图象可得f(xxf(x)f(x)12)y12D因为yDyC，所以f(xxf(x)f(x)12)1222，符合题意，所以是正确的；对于D中，函数f(x)2x132x1x1由函数y象，32x1的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到f(x)的图xx1C，如图所示，取x1,x2(1,3)且x1x2，由图象可得f(xx12)y2f(x)f(x)122y，D因为yDyC，所以f(xxf(x)f(x)12)1222，符合题意，所以是正确的；Df2【点睛】本题主要考查了函数的新定义及其应用，其中解答中正确理解函数的新定义，以及结合函

15、数的图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合法，以及推理与运算能力，属于中档试题.8若fx满足对任意的实数a，b都有fabfafb且f12，则下列判断正确的有（）Afx是奇函数Bfx在定义域上单调递增C当x0,时，函数fx1f4f6f2016f2018f2020f1f3f5f2015f2017f20192020【答案】BCD【分析】利用新定义结合函数的性质进行判断计算出f(1)判断A；先利用f(1)21证明所有有理数p，有f(p)1，然后用任意无理数q都可以看作是一个有理数列的极限，由极限的性质得f(q)1，这样可判断C，由此再根据单调性定义判断B，根据定义计算f(2n)f(2n1)（nN），

16、然后求得D中的和，从而判断D【详解】令a0,b1，则f(1)f(10)f(1)f(0)，即22f(0)，f(0)1，f(x)不可能是奇函数，A错；对于任意xR，f(x)0，若存在x0R，使得f(x0)0，则f(0)f(x(x)f(x)f(x)0，与f(0)1矛盾，故对于任意xR，0000f(x)0，对于任意xR，f(x)ffff0，xx22f(1)21，对任意正整数n，xxx2222fffn个fff21，f11，nn1111nnnn1n个n1n1n1n1n同理f(n)f(111)f(1)f(1)f(1)2n1，对任意正有理数p，显然有pmn（m,n是互质的正整数），则f(p)ff1，mn1mn

17、对任意正无理数q，可得看作是某个有理数列p1,p2,p3,的极限，而f(pi)1，iN，f(q)与f(p)的极限，f(q)1，i综上对所有正实数x，有f(x)1，C正确，设x1x2，则x2x10，f(x2x1)1，则f(x)f(x(xx)f(x)f(xx)f(x)，f(x)是增函数，B正确；21211211由已知f(2n)f(2n11)f(2n1)f(1)2f(2n1)，f(2n)f(2n1)2，f2f4f6f2016f2018f2020f1f3f5f2015f2017f2019221010个22210102020，D正确故选：BCD【点睛】本题考查新定义函数，考查学生分析问题，解决问题的能力

18、，逻辑思维能力，运算求解能力，对学生要求较高，本题属于难题9已知函数f(x)xn4xn(n为正整数)，则下列判断正确的是（）A函数f(x)始终为奇函数B当n为偶数时，函数f(x)的最小值为4C当n为奇数时，函数f(x)的极小值为4D当n1时，函数yf(x)的图象关于直线y2x对称【答案】BC【分析】由已知得f(x)xn4xn，分n为偶数和n为奇数得出函数f(x)的奇偶性，可判断A和；当n为偶数时，xn0，运用基本不等式可判断B；当n为奇数时，令txn，则x0,t0;x0,t0，构造函数g(t)t4t，利用其单调性可判断C；当n1时，取函数f(x)x【详解】4x，上点P15，求出点P关于直线y2

19、x对称的对称点，代入可判断D.因为函数f(x)x4f(x)xnnxn(n为正整数)，所以4xn，当n为偶数时，f(x)xn4xnxn4xnf(x)，函数f(x)是偶函数；当n为奇数时，f(x)xn4xnfx，函数f(x)是奇函数，故A不正确；2xn4，当且仅当xn当n为偶数时，xn0，所以f(x)xn44xnxn4xn时，即xn20取等号，所以函数f(x)的最小值为4，故B正确；当n为奇数时，令txn，则x0,t0;x0,t0，函数fx化为g(t)t4t，而g(t)t4t所以g(t)t02在，2，2，上单调递增，在2，0，上单调递递减，44在t2时，取得极小值g(2)24，故C正确；t2上点P

20、，当n1时，函数f(x)x415，设点P关于直线y2x对称的对称点为xPx，y，000 xx105y1921+x05+y0，即P0，而将P，代入y51170则0，解得222051719171955055f(x)x4x不满足，所以函数yf(x)的图象不关于直线y2x对称，故D不正确，故选：BC【点睛】.本题考查综合考查函数的奇偶性，单调性，对称性，以及函数的最值，属于较难题10太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种互相转化，相对统一的和谐美.定义：能够将圆O的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O的一个“太极函数”.则下列有关说法中，正确的是（）A对于圆O：x2y2

21、1的所有非常数函数的太极函数中，一定不能为偶函数B函数fxsinx1是圆O：x2y121的一个太极函数C存在圆O，使得fxex1ex1是圆O的一个太极函数D直线m1x2m1y10所对应的函数一定是圆O：x22y12R2R0的太极函数【答案】BCD【分析】利用“太极函数”的定义逐个判断函数是否满足新定义即可.【详解】对于A，如下图所示，若太极函数为偶函数，且SACESPCOSPODSDFB，所以该函数平分圆O的周长和面积，故A错误；对于B，fxsinx1也关于圆心(0,1)对称，平分圆O的周长和面积，所以函数fxsinx1是圆O:x2y121的一个太极函数；故B正确；ex+122，.C，fx对于

22、ex11ex+1ex+1ex+1e1exfxex1ex+11x1ex1fx，该函数为奇函数，图象关于原点对称.+11+ex所以存在圆O：x2y21使得fxC正确；ex1ex1是圆O的一个太极函数，如下图所示，故对于D，对于直线m1x2m1y10的方程，变形为mx2yxy10，得，直线m1x2m1y10经过圆O的圆心，可以平令x2y0 xy10 x2y1分圆O周长和面积，故D正确.故选：BCD.【点睛】本题考查函数对称性的判定与应用，将新定义理解为函数的对称性为解题的关键，考查推理能力，属于较难题.二、导数及其应用多选题11关于函数fxaexcosx，x,下列说法正确的是（）A当a1时，fx在x

23、0处的切线方程为yxB若函数fx在,上恰有一个极值，则a0C对任意a0，fx0恒成立D当a1时，fx在,上恰有2个零点【答案】ABD【分析】直接逐一验证选项，利用导数的几何意义求切线方程，即可判断A选项；利用分离参数法，构造新函数和利用导数研究函数的单调性和极值、最值，即可判断BC选项；通过构造新函数，转化为两函数的交点个数来解决零点个数问题，即可判断D选项.【详解】解：对于A，当a1时，fxexcosx，x,，所以f0e0cos00，故切点为（0，0），则fxexsinx，所以f0e0sin01，故切线斜率为1，所以fx在x0处的切线方程为：y01x0，即yx，故A正确；对于B，fxaexc

24、osx，x,，则fxaexsinx，若函数fx在,上恰有一个极值，即fx0在,上恰有一个解，令fx0，即aexsinx0在,上恰有一个解，则asinx在,上恰有一个解，ex即ya与gxsinxex的图象在,上恰有一个交点，gxsinxcosx，x,，ex，x，44令gx0，解得：x132,时，gx0，当x时，gx0，x,3,4444当gx在,上单调递增，在上单调递减，在,上单调递增，33,4444所以极大值为g320，极小值为g20，44e4e4223而g0,g0,g00，作出gxsin，x,的大致图象，如下：ex由图可知，当a0时，ya与gxsin的图象在,上恰有一个交点，ex即函数fx在,

25、上恰有一个极值，则a0，故B正确；对于C，要使得fx0恒成立，即在x,上，fxaexcosx0恒成立，aexex即在x,上，a恒成立，即，cosxcosxmax，x,，则hx设hxcosxsinxcosxexex，x,，令hx0，解得：x14，x234，当x,时，hx0，,时，hx0，当x,444433hx在,上单调递增，33上单调递增，在上单调递减，在,444420，h,he4所以极大值为h4211ee，所以hx在x,上的最大值为hcosxex4220，e42所以a2时，在x,上，fxaexcosx0恒成立，e42即当a2时，fx0才恒成立，e4所以对任意a0，fx0不恒成立，故C不正确；对

26、于D，当a1时，fxexcosx，x,，令fx0，则fxexcosx0，即excosx，作出函数yex和ycosx的图象，可知在x,内，两个图象恰有两个交点，则fx在,上恰有2个零点，故D正确.12已知函数f(x)ex,g(x)1n的图象与直线y=m分别交于AB两点，则（）故选：ABD.【点睛】本题考查函数和导数的综合应用，考查利用导数的几何意义求切线方程，考查分离参数法的应用和构造新函数，以及利用导数研究函数的单调性、极值最值、零点等，考查化简运算能力和数形结合思想.x122Af(x)图像上任一点与曲线g(x)上任一点连线线段的最小值为2+ln2Bm使得曲线g(x)在B处的切线平行于曲线f(

27、x)在A处的切线f(lnm)g(2em2)，可判断出B选项的正误；利用导数判断函数yf(x)g(x)m的单C函数f(x)-g(x)+m不存在零点Dm使得曲线g(x)在点B处的切线也是曲线f(x)的切线【答案】BCD【分析】利用特值法，在f(x)与g(x)取两点求距离，即可判断出A选项的正误；解方程1调性，结合极值的符号可判断出C选项的正误；设切线与曲线yg(x)相切于点C(n，g(n)，求出两切线的方程，得出方程组，判断方程组是否有公共解，即可判断出D选项的正误进而得出结论【详解】曲线yg(x)在点B处的切线斜率为g(2e2)12ex11在函数f(x)ex,g(x)1n上分别取点P(0,1),

28、Q(2,)，则|PQ|222172ln2（注ln20.7），故A选项不正确；2x11f(x)ex，g(x)ln，则f(x)ex，g(x)，22x曲线yf(x)在点A处的切线斜率为f(lnm)m，m1，m12172，而，即m令f(lnm)g(2em1211m)，即2me2e2m121，则m122满足方程2mem11，m使得曲线yf(x)在A处的切线平行于曲线yg(x)在B处的切线，B选项正确；x11构造函数F(x)f(x)g(x)mexlnm，可得F(x)ex，22xF(x)ex在(0,)上为增函数，由于F(1)e20，F（1）e10，函数1xe11则存在t(,1)，使得F(t)et0，可得tl

29、nt，2t当0 xt时，F(x)0；当xt时，F(x)0F(x)mint11F(t)etlnmetlntmln222211113tmln22tmln2ln2m0，t2t22函数F(x)f(x)g(x)m没有零点，C选项正确；设曲线yf(x)在点A处的切线与曲线yg(x)相切于点C(n，g(n)，(则曲线yf(x)在点A处的切线方程为ymelnmxlnm)，即ymxm(1lnm)，xln同理可得曲线yg(x)在点C处的切线方程为y1n1n22，1，消去n得m(m1)lnmln20，m(1lnm)lnn1令G(x)x(x1)lnxln21则存在s(1,2)，使得G(s)lns0，且se1sG(2)

30、51mn222x11，则G(x)1lnxlnx，2xx函数yG(x)在(0,)上为减函数，G（1）10，G(2)121s当0 xs时，G(x)0，当xs时，G(x)0函数yG(x)在(2,)上为减函数，170，G(8)20ln20，22由零点存定理知，函数yG(x)在(2,)上有零点，ln20，即方程m(m1)lnmln2120有解m使得曲线yf(x)在点A处的切线也是曲线yg(x)的切线故选：BCD【点睛】本题考查导数的综合应用，涉及函数的最值、零点以及切线问题，计算量较大，考查了转化思想和数形结合思想，属难题13关于函数f(x)exasinx，x(,)，下列说法正确的是（）A当a1时，f(

31、x)在(0,f(0)处的切线方程为2xy10；B当a1时，f(x)存在唯一极小值点x，且1fx000；C对任意a0，f(x)在(,)上均存在零点；D存在a0，f(x)在(,)上有且只有一个零点.【答案】ABD【分析】当a1时，f(x)exsinx，求出f(x),f(0),f(0)，得到f(x)在(0,f(0)处的切线的点斜式方程，即可判断选项A；求出f(x)0,f(x)0的解，确定f(x)单调区间，进而求出f(x)极值点个数，以及极值范围，可判断选项B；令f(x)exasinx0，当a0时，分离参数可得1asinxsinx，设g(x)xeex,x(,)，求出g(x)的极值最值，即可判断选项C，

32、D的真假.【详解】2)20，A.当a1时，f(x)exsinx，所以f(x)excosx，f(0)e0cos02，f(0)e001，所以f(x)在(0,f(0)处的切线方程为2xy10，故正确；B.因为f(x)exsinx0，所以f(x)单调递增，又f()e4cose4323，又e4e4e2，即e342，则f(34333422)0，所以存在x,，使得f(x0)0，即ex0cosx00，则在442f(330,x上fx0，在x,上，fx0，所以f(x)存在唯一极小值点x000，因为f(x)ex0sinxsinxcosx2sinxx,，所以，0442030000 x,44，2sinx1,0，故正确；

33、0304C.令f(x)exasinx0，当a0时，可得1sinxaex，设2sinxg(x)sinxex,x(,)，则cosxsinx4，令g(x)exexg(x)0，解得xk,kZ,k1当x2k,2k时g(x)0，当x2k,2k时，g(x)0，所以当x2k，kZ,k1时，5444945544g4.，,.，gx取得极小值，又gg(x)取得极小值，即x3,534445x递减，所以gxg32e34，所以当因为在,上，g34424，kZ,k0时，g(x)取得极大值，即x,.，gx取得极大值，x2k944又gg.，所以gxg，所以x,时，494422e4e4gx1233时，f(x)在(,)上不存在e4

34、，即，当2e4e4232零点，故C错误；22a2aD.当11sinx，即a2e4时，y与gxaexa22e4的图象只有一个交点，所以存在a0，f(x)在(,)上有且只有一个零点，故D正确；故选：ABD【点睛】方法点睛：用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决14对于函数f(x)lnxx2，下列说法正确的有（）Af(x)在xe处取得极大值12eBf(x)有两个不同的零点Cf(2)f(D若f(x)k)f(3)1在(0,)上有解，则x2ke2【答案】ACD【分析】利用导数求出函数的单调区间，进一步

35、求出函数的极值可判断A；利用函数的单调性和函数值的范围判断B；利用函数的单调性比较出函数值的大小关系判断C；利用不等式有解问题的应用判断D【详解】lnxx2lnx2x函数f(x)1x2，所以f(x)xx412lnxx3(x0)，令f(x)0，即2lnx1，解得xe，当0 xe时，f(x)0，故f(x)在(0,e)上为单调递增函数当xe时，f(x)0，故f(x)在(e,)上为单调递减函数所以f(x)在xe时取得极大值f(e)12e，故A正确；当0 xe时，f(x)0，f(x)在(0,e)上为单调递增函数，因为f10，所以函数f(x)在(0,e)上有唯一零点，0恒成立，即函数f(x)在e,上没有零

36、点，当xe时，f(x)lnxx2综上，f(x)有唯一零点，故B错误由于当xe时，f(x)0，f(x)在(e,)上为单调递减函数，因为23e，所以f(2)f()f(3)，故C正确；由于f(x)k1x2在(0,)上有解，故kf(x)1lnx1x2x2有解，x2x2x3所以k(max)，设g(x)，则g(x)lnx1lnx12lnx1，令g(x)0，解得x1e，当x11时，f(x)0，故f(x)在(ee,)上为单调递减函数当0 x1e时，f(x)0，故f(x)在(0,1e)上为单调递增函数所以g(x)maxg(1e)eee22故ke2，故D正确故选：ACD【点睛】方法点睛：本题通过对多个命题真假的判

37、断，综合考查导数的应用，这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.15设函数fxxlnx，gx12x2，给定下列命题，其中正确的是（）A若方程fxk有两个不同的实数根，则k,0；1eB若方程kfxx2恰好只有一个实数根，则k0；C若x1x20，总有mgx1gx2fx1fx2恒成立，则m1；D若函数Fxfx2agx有两个极值点，则实数a0,21【答案】ACD【分析】利用导数研究函数的单调性和极值，且将题意转化为y

38、f(x)与yk有两个不同的交点，即可判断A选项；易知x1不是该方程的根，当x1时，将条件等价于yk和yxlnx只有一个交点，利用导数研究函数的单调性和极值，从而可推出结果，即可判断B选项；当xx0时，将条件等价于mg(x)f(x)mg(x)f(x)恒成立，即函121122数ymg(x)f(x)在(0,)上为增函数，通过构造新函数以及利用导数求出单调区间，即可求出m的范围，即可判断C选项；F(x)xlnxax2(x0)有两个不同极值点，根据导数的符号列出不等式并求解，即可判断D选项.可知f(x)在(0,)单调递减，在（，）单调递增，所以极小值等于最小值，【详解】解：对于A，f(x)的定义域(0,

39、)，f(x)lnx1，令f(x)0，有lnx1，即x1，e11+eef(x)min11f()，且当x0时f(x)0，又f(1)0，ee从而要使得方程f(x)k有两个不同的实根，1即yf(x)与yk有两个不同的交点，所以k(,0)，故A正确；e对于B，易知x1不是该方程的根，当x1时，f(x)0，方程kf(x)x2有且只有一个实数根，等价于yk和yxlnx只有一个交点，ylnx1(lnx)2，又x0且x1，令y0，即lnx1，有xe，知yxlnx1+在（0,1）和（，e）单减，在（e，）上单增，对于C，当x1x20时，mg(x)g(x)f(x)f(x)恒成立，x1是一条渐近线，极小值为e,x由y

40、大致图像可知k0或k=e，故B错误；lnx1212等价于mg(x1)f(x1)mg(x2)f(x2)恒成立，即函数ymg(x)f(x)在(0,)上为增函数，即ymg(x)f(x)mxlnx10恒成立，即mlnx1x在(0,)上恒成立，lnx1lnx令r(x)，则r(x)，xx2令r(x)0得lnx0，有0 x1，从而r(x)在(0,1)上单调递增，在(1,)上单调递减，则r(x)maxr(1)1，于是m1，故C正确；对于D，F(x)xlnxax2(x0)有两个不同极值点，等价于F(x)lnx12ax0有两个不同的正根，即方程2alnx1x有两个不同的正根，由C可知，02a1，即0a故选：ACD

41、.12，则D正确.【点睛】关键点点睛：本题考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性和极值，以及利用导数解决函数的零点问题和恒成立问题从而求参数范围，解题的关键在于将零点问题转化成两个函数的交点问题，解题时注意利用数形结合，考查转化思想和运算能力16设函数fxaxxaa1的定义域为0,，已知fx有且只有一个零点，下列结论正确的有（）AaeCx1是fx的极大值点Bfx在区间1,e单调递增Dfe是fx的最小值f(x)只有一个零点，转化为方程axxa0在(0,)上只有一个根，即lnxxlnaalnx，即lnx设h(x)lnx【答案】ACD【分析】lna只有xa一个正根利用导数研究函数h(x)lnx的性

42、质，可得ae，判断A，然后用导数研究x函数f(x)exxe的性质，求出f(x)，令f(x)0，利用新函数确定f(x)只有两个零点1和e，并证明出f(x)的正负，得f(x)的单调性，极值最值判断BCD【详解】f(x)只有一个零点，即方程axxa0在(0,)上只有一个根，axxa，取对数得lna只有一个正根xa1lnx，则h(x)，当0 xe时，h(x)0，h(x)递增，x0时，xx2h(x)，xe时，h(x)0，h(x)递减，此时h(x)0，h(x)emaxh(e)1要使方程lnxlna只有一个正根则或0，解得ae或a0，又lna1lnaxaaeaa1，aeA正确；f(x)exxe，f(x)ex

43、exe1，f(x)exexe10，ex1xe1，取对数得x1(e1)lnx，易知x1和xe是此方程的解设p(x)(e1)lnxx1，p(x)e1x1，当0 xe1时，p(x)0，p(x)递17已知函数f(x)2lnx，数列a的前n项和为S，且满足a2，x增，xe1时，p(x)0，p(x)递减，p(e1)是极大值，又p(1)p(e)0，所以p(x)有且只有两个零点，0 x1或xe时，p(x)0，即(e1)lnxx1，xe1ex1，exe1ex，f(x)0，同理1xe时，f(x)0，所以f(x)在(0,1)和(e,)上递增，在(1,e)上递减，所以极小值为f(e)0，极大值为f(1)，又f(0)1

44、，所以f(e)是最小值B错，CD正确故选：ACD【点睛】关键点点睛：本题考用导数研究函数的零点，极值，单调性解题关键是确定f(x)的零点时，利用零点定义解方程，f(x)exexe10，ex1xe1，取对数得x1(e1)lnx，易知x1和xe是此方程的解然后证明方程只有这两个解即可1nn1an1fannN*，则下列有关数列a的叙述正确的是（n）Ba1CS100DaaAaa21n100nn112anA计算出a的值，与a比较大小并判断是否正确；B利用导数分析fx的最小值，由【答案】AB【分析】21此判断出an1是否正确；C根据an与1的大小关系进行判断；D构造函数hxlnx1x1，分析其单调性和最值

45、，由此确定出lna10，将1xn1anlnan1an10变形可得a11aan12，再将an12变形可判断结果.nn【详解】1112223A选项，a2ln2ln4lne22，A正确；2，所以当x1时，fx0，所以f(x)单增，所B选项，因为f(x)以f(x)f(1)1，212x1xx2x2因为a121，所以an1fa1，所以a1，B正确；nnC选项，因为a1，所以Sn100100，C错误；D选项，令h(x)lnx111x11(x1)，h(x)2xxxx20，所以h(x)在(1,)单调递增，所以h(x)h(1)0，所以lnan1an10，则2lna20，所以2lna2，即anaanann211n1

46、an12，n所以anan112an，所以D错误.故选：AB.【点睛】易错点睛：本题主要考查导数与数列的综合问题，属于难题.解决该问题应该注意的事项：（1）转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题；（2）利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化.18若存在实常数k和b，使得函数Fx和Gx对其公共定义域上的任意实数x都满足：Fxkxb和Gxkxb恒成立，则称此直线ykxb为Fx和Gx的“隔离直线”，已知函数fxx2xR，gx1x0，hx2elnx（e为自然对数的x底数），则下列结论正确的是（）mxf

47、xgx在x1,0内单调递增A32Bfx和gx之间存在“隔离直线，且b的最小值为4Cfx和gx间存在“隔离直线”，且k的取值范围是4,1Dfx和hx之间存在唯一的“隔离直线”y2exe【答案】AD【分析】求出mxfxgx的导数，检验在x1,0内的导数符号，即可判断选项32A；选项B、C可设fx、gx的隔离直线为ykxb，x2kxb对一切实数x都成x立，即有10，又1kxb对一切x0都成立，0，k0，b0，根据不等2式的性质，求出k、b的范围，即可判断选项B、C；存在fx和hx的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k，则隔离直线的方程为yekxe，构造函数求出函数的导数，根据导数求

48、出函数的最值.【详解】，mx2x对于选项A：mxfxgxx211xx2，x1,0时，mx2x0，当321x2mxfxgx在x,0内单调递增；故选项A正确所以函数132对于选项BC：设fx、gx的隔离直线为ykxb，则x2kxb对一切实数x都成x立，即有10，即k24b0，又1kxb对一切x0都成立，则G(x)2exekx2bx10，即20，b24k0，k0，b0，即有k24b且b24k，k416b264k，可得4k0，同理可得：4b0，故选项B不正确，故选项C不正确；对于选项D：函数fx和hx的图象在xe处有公共点，因此存在fx和hx的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k，则

49、隔离直线的方程为yekxe，即ykxkee，由fxkxkee，可得x2kxkee0对于xR恒成立，则0，只有k2e，此时直线方程为y2exe，下面证明h(x)2exe，令G(x)2exeh(x)2exe2elnx，当xe时，G(x)0，当0 xe时，G(x)0，当xxe时，G(x)0，则当xe时，G(x)取到极小值，极小值是0，也是最小值.所以G(x)2exeh(x)0，则h(x)2exe当x0时恒成立.所以fx和gx之间存在唯一的“隔离直线”y2exe，故选项D正确.故选：AD【点睛】本提以函数为载体，考查新定义，关键是对新定义的理解，考查函数的导数，利用导数求最值，属于难题.19下列命题正

50、确的有（）A已知a0,b0且ab1，则122ab2B3a4b12，则abab2Cyx33x2x的极大值和极小值的和为6D过A(1,0)的直线与函数yx3x有三个交点，则该直线斜率的取值范围是1(,2)(2,)4【答案】ACD【分析】由等式关系、指数函数的性质可求2ab的范围；利用指对数互化，结合对数的运算法求abab；利用导数确定零点关系，结合原函数式计算极值之和即可；由直线与yx3x有三个交点，即可知h(x)x2xk有两个零点且x1不是其零点即可求斜率范围.【详解】A选项，由条件知b1a且0a1，所以ab2a1(1,1)，即122ab2；B选项，3a4b12有alog312，blog412，

51、而ababC选项，y3x26x1中且开口向上，所以存在两个零点x,x且xx2、xx，即x,x为y两个极值点，3ab112(log3log4)2；1212121211212所以yy(xx)(xx)23xx3(xx)22xx(xx)6；12121212121212D选项，令直线为yk(x1)与yx3x有三个交点，即g(x)(x2xk)(x1)有三个零点，所以h(x)x2xk有两个零点即可14k01，解得k(,2)(2,)h(1)2k04故选：ACD【点睛】本题考查了指对数的运算及指数函数性质，利用导数研究极值，由函数交点情况求参数范围，属于难题.20若方程x2m1x10和m2ex1x0的根分别为x

52、,x12xxx，则下列判断正确的是（）434B1xx0A0 xx1321315Cm,1Dx12,1【答案】ABD【分析】x1x和x，23根据题意将问题转化为，x1，x2和x3，x4分别是ym与yx1x1和yxex12交点的横坐标，再用导数研究函数yx数图象，数形结合即可解决问题.【详解】1x1和yxex12的单调性与取值情况，作出函解：由题，x1，x2和x3，x4分别是mx1x1和mxex12的两个根，即ym与yx1x1和yxex12交点的横坐标.1，定义域为xx0，y1对于函数yx11xx20，所以函数在,0和0,上单调递增，且x1时，y1；对于函数yxex12，y1xex1，所以函数在,1

53、上单调递增，在1,单调递减，且当x,y2，x0时，y2，x1时，y1；故作出函数yx1x1，yxex12的图像如图所示，注意到：当x0,1时，x1x21xxex1由图可知，0 x3x21，m2,1，2，从而x12,1，解得x11x11512,1，所以选项AD正确，选项C错误，又1x1x2x1x30.故选：ABD.【点睛】.本题考查利用导数研究函数的零点问题，考查化归转化思想与数形结合思想，是中档题三、三角函数与解三角形多选题21设函数fx2sinxsinx2cos2，给出下列四个结论：则正确结论的序号为（）Af20Bfx在3,25上单调递增Cfx的值域为12cos2,32cos2Dfx在0,2

54、上的所有零点之和为4【答案】ABD【分析】由f23sin22cos2，结合2234，可判定A正确；作出函数y2sinxsinx的图象，可得函数fx的值域及单调性，可判定B正确，C不正确；结合函数的图象，可得fx在0,2上的所有零点之和，可判定D正确.【详解】由题意，函数fx2sinxsinx2cos2，可得f22sin2sin22cos23sin22cos222因为34，所以sin2cos20，所以f20，所以A正确；由y2sinxsinx3sinx,2kx2ksinx,2kx2k2作出函数y2sinxsinx的图象，如图所示，可得函数fx是以2为周期的周期函数，,kZ，由函数y2sinxsi

55、nx的图象可知，函数fx在(,3)上单调递增，2又由fx是以2为周期的周期函数，可得函数fx在(3,52)上单调递增，所以B是正确的；由由函数y2sinxsinx的图象可知，函数fx的值域为2cos2,32cos2，所以C不正确；22又由21，所以cos20，则02cos21，32令fx0，可得2sinxsinx2cos2，由图象可知，函数fx在0,2上的所有零点之和为4，所以D正确.故选：ABD.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的综合应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查转化思想，以及数形结合思想的应用，以及推理与运算能力，属于中档试题.22如图，ABC的内

56、角A，B，C所对的边分别为a，b，c若ab，且3acosCccosA2bsinB，D是ABC外一点，DC1，DA3，则下列说法正确的是（）AABC是等边三角形B若AC23，则A，B，C，D四点共圆C四边形ABCD面积最大值为5332D四边形ABCD面积最小值为5323【答案】AC【分析】利用三角函数恒等变换化简已知等式可求sinB，再利用ab，可知ABC为等边三角形，从而判断A；利用四点A，B，C，D共圆，四边形对角互补，从而判断B；设ACx，x0，在ADC中，由余弦定理可得x2106cosD，利用三角形的面积公式，三角函数恒等变换的，可求S四边形ABCD，利用正弦函数的性质，求出最值，判断C

57、D【详解】由正弦定理a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC，得3(sinAcosCsinCcosA)2sinBsinB，32sinB,sinB32，2)，3,ABC是等边三角形，A正确；由A正确知D2ab，B是等腰ABC的底角，B(0,BB不正确：若A,B,C,D四点共圆，则四边形对角互补，1,cosD，32但由于DC1,DA3,AC23时，DC2DA2AC21232(23)211cosD，2DADC21332B不正确C正确，D不正确：设D，则AC2DC2DA22DCDAcos106cos，ABC3S5333(106cos)cos，422S2ADC3sin，四边形ABCDSADC3SA

58、BCS3353sincos222，3(sin1353cos)222，3)3sin(532，3(0,),sin()(,1，32四边形ABCD3S5323，C正确，D不正确；故选：AC.【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换，正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题23ABC中，BC2，BC边上的中线AD2，则下列说法正确的有（）AABAC为定值BAC2AB210C45cosA1DBAD的最大值为30【答案】ABD【分析】A利用向量的加减法及向量的数量积公式运算即可，B根据余弦定理及角的互补运算即可求值，C利用余弦定理及基本不等式求出cosA

59、范围即可，D根据余弦定理及基本不等式求出cosBAD的最小值即可.【详解】ABACADDBADDBADDB413，ABAC为定22对于A，cosA12值，A正确；对于B，cosADCcosADBAC2AB2AD2DC22ADDCcosADCAD2DB22ADDBcosADB2AD2DB2DC22221110，故B正确；b2c242bc42对于C，由余弦定理及基本不等式得cosA1（当且仅当2bc2bcbc2cosA1bc时，等号成立）,由A选项知bccosA3，33，cosA解得cosA35，故C错误；对于D，cosBADc22212c2323c34c4c4c2（当且仅当c3时，等号成立），因

60、为BADABD，所以BAD(0,)，又cosBAD322，所以BAD的最大值30，D选项正确.22f(x)，0(2kx2k)2上为减函数，故B正确，故选：ABD【点睛】.本题主要考查了向量的数量积运算，余弦定理，基本不等式，考查了推理能力，属于难题24函数f(x)cosx|cosx|，xR是（）A最小正周期是B区间0，1上的减函数C图象关于点(k，0)(kZ)对称D周期函数且图象有无数条对称轴【答案】BD【分析】根据绝对值的意义先求出分段函数的解析式，作出函数图象，利用函数性质与图象关系分别对函数的周期、单调区间、对称中心和对称轴进行判断求解.【详解】2cosx(2kx2k)322则对应的图象