磁场区域的最小面积问题202209

1、磁场区域的最小面积问题考题中屡次出现求磁场的最小范围问题，这类题对学生的平面几何知识与物理知识的综合运用能力要求较高。其难点在于带电粒子的运动轨迹不是完整的圆，其进入边界未知的磁场后一般只运动一段圆弧后就飞出磁场边界，运动过程中的临界点如运动形式的转折点、轨迹的切点、磁场的边界点等难以确定。下面我们以实例对此类问题进行分析。一、磁场范围为圆形1、一带电质点，质量为m，电荷量为q，以平行于x轴的速度v从y轴上的a点射入如下图的第一象限所示的区域、为了使该质点能从x轴上的b点以垂直于x轴的速度v射出，可在适当地方加一个垂直于xOy平面磁感应强度为B的匀强磁场假设此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求这

2、个圆形磁场区域的最小半径，重力忽略不计2、2022北京朝阳一模，23题18分如下图，在真空室中平面直角坐标系的y轴竖直向上，x轴上的P点与Q点关于坐标原点O对称，PQ间的距离d=30cm。坐标系所在空间存在一匀强电场，场强的大小E=1.0N/C。一带电油滴在xOy平面内，从P点与x轴成30的夹角射出，该油滴将做匀速直线运动，油滴的速度v=2.0m/s射出，所带电荷量q=1.010-7C，重力加速度为g=10m/s2。1求油滴的质量m。2假设在空间叠加一个垂直于xOy平面的圆形有界匀强磁场，使油滴通过Q点，且其运动轨迹关于y轴对称。磁场的磁感应强度大小为B=2.0T，求：a油滴在磁场中运动的时间

3、t；b圆形磁场区域的最小面积S。2、【答案】见解析【 解析】1对带电油滴进行受力分析，根据牛顿运动定律有所以kg4分2带电油滴进入匀强磁场，其轨迹如下图，设其做匀速圆周运动设圆周运动的半径为R、运动周期为T、油滴在磁场中运动的时间为t，根据牛顿第二定律： 所以m 所以s设带电油滴从M点进入磁场，从N点射出磁场，由于油滴的运动轨迹关于y轴对称，如下图，根据几何关系可知，所以，带电油滴在磁场中运动的时间s 由题意可知，油滴在P到M和N到Q的过程中做匀速直线运动，且运动时间相等。根据几何关系可知，所以油滴在P到M和N到Q过程中的运动时间s 那么油滴从P到Q运动的时间s8分3连接MN，当MN为圆形磁场

4、的直径时，圆形磁场面积最小，如下图。根据几何关系圆形磁场的半径m其面积为m2 m2 6分3、一质量为m、带电量为q的粒子以速度v0从O点沿y轴的正方向射入磁感强度为B的一圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直于纸面，粒子飞出磁场区域后，从b处穿过x轴，速度方向与x轴正方向夹角为30，如下图，粒子的重力不计，试求：圆形磁场区域的最小面积。粒子从O点进入磁场区域到达b点所经历的时间。b点的坐标。 解析：此题可以这样作轨迹示意图：反向延长过b点的速度线为了方便以下称为vt线与v0线的延长线相交成一夹角，做该角的角平分线交x轴于O1点，O1点就是粒子作圆周运动的圆心。过O1点作vt线的垂线O1B，连接OB交前

5、面所作角平分线于O2点，O2点就是所求最小圆形磁场区域的圆心，OO2就是该圆形磁场区域的半径，如下图。设带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的轨道半径为R，由洛伦兹力提供向心力有：， 从图6中的几何关系可知，圆形磁场区域的半径为：故最小面积为：。粒子从O点到A点做匀速圆周运动，速度方向偏转了，故在此过程中所需时间为：粒子从A飞到b是匀速直线运动，令Ab长为L，那么： 粒子从A点飞到b的时间为：故粒子从O点进入磁场区域到达b点所经历的时间为 ： 由图可知，b点的坐标为：，yb0。二、磁场范围为矩形4、如下图，直线OA与轴成角。在y范围内有沿轴负方向的匀强电场，在AOx范围内有一个矩形区域的匀强磁场

6、，该磁场区域的磁感应强度，方向垂直纸面向里。一带电微粒电荷量，质量，微粒在y轴上的某点以速度垂直于y轴进入匀强电场，并以速度垂直穿过直线OA，运动中经过矩形磁场区域后，最终又垂直穿过轴。不计微粒重力，求：(结果保存两位有效数字)1带电微粒进入电场时的初速度多大?2带电微粒在磁场中做圆周运动的半径r3画出粒子运动轨迹图并求出最小矩形磁场区域的长和宽。解析：带电微粒做类平抛运动 2洛仑兹力提供向心力，有 3画出粒子的运动轨迹如下图 设最小矩磁场区域的长为宽为，由数学知识可知 例2：如下图，第四象限内有互相正交的匀强电场E与匀强磁场B1，E的大小为0.5103V/m，B1大小为0.5T；第一象限的某

7、个矩形区域内，有方向垂直于纸面向里的匀强磁场B2，磁场的下边界与x轴重合。一个质量m=110-14kg、电荷量q=110-10C的带正电的微粒以某一速度v沿与y轴正方向成60角从M点沿直线运动，经P点进入第一象限内的磁场B2区域。一段时间后，小球经过y轴上的N点并沿与y轴正方向成60角的方向飞出。M点的坐标为(0，-10)，N点的坐标为(0，30)，不计粒子重力，取g=10m/s2。(1)请分析判断匀强电场E的方向并求出微粒的运动速度v；(2)匀强磁场B2为多大?(3)B2磁场区域的最小面积为多少?解析：1,所以m/sE方向如图2,由，得T3最小面积如图阴影局部：m2三、磁场范围为树叶形例1(

8、2022苏北三市一模) (16分)如下图的直角坐标系第、象限内存在方向向里的匀强磁场，磁感应强度大小B=0.5T，处于坐标原点O的放射源不断地放射出比荷C/kg的正离子，不计离子之间的相互作用。求离子在匀强磁场中运动周期；假设某时刻一群离子自原点O以不同速率沿x轴正方向射出，求经过s时间这些离子所在位置构成的曲线方程；xOy假设离子自原点O以相同的速率v0=2.0106m/s沿不同方向射入第象限，要求这些离子穿过磁场区域后都能平行于y轴并指向y轴正方向运动，那么题干中的匀强磁场区域应怎样调整画图说明即可？并求出调整后磁场区域的最小面积。1516分解：根据牛顿第二定律 有分 运动周期分离子运动时

9、间分根据左手定那么，离子沿逆时针方向作半径不同的圆周运动，转过的角度均为分这些离子所在位置均在过坐标原点的同一条直线上，ORO该直线方程分离子自原点O以相同的速率v0沿不同方向射入第一象限磁场，均做逆时针方向的匀速圆周运动根据牛顿第二定律 有分 分这些离子的轨道圆心均在第二象限的四分之一圆弧AC上，欲使离子穿过磁场区域后都能平行于y轴并指向y轴正方向运动，离开磁场时的位置在以点,为圆心、半径m的四分之一圆弧从原点起顺时针转动上，磁场区域为两个四分之一圆的交集，如下图分调整后磁场区域的最小面积m2分例22022北京石景山一模，24题20分如下图的直角坐标系中，在直线x=-2l0到y轴区域内存在着

10、两个大小相等、方向相反的有界匀强电场，其中x轴上方的电场方向沿y轴负方向，x轴下方的电场方向沿y轴正方向。在电场左边界上A-2l0，-l0到C-2l0，0区域内的某些位置，分布着电荷量+q质量为m的粒子。从某时刻起A点到C点间的粒子，依次以相同的速度v0沿x轴正方向射入电场。假设从A点射入的粒子，恰好从y轴上的A0，l0沿x轴正方向射出电场，其轨迹如下图。不计粒子的重力及它们间的相互作用。 1求匀强电场的电场强度E： 2假设带电粒子通过电场后都能沿x轴正方向运动，请推测带电粒子在AC间的初始位置到C点的距离。 3假设以直线x=2l0上的某点为圆心的圆形区域内，分布着垂直于xOy平面向里的匀强磁

11、场，使沿x轴正方向射出电场的粒子，经磁场偏转后，都能通过直线x=2l0与圆形磁场边界的一个交点处，而便于被收集，求磁场区域的最小半径及相应的磁感应强度B的大小。【 解析】四、磁场范围为三角形及其他形状30OPAv08、如下图，在倾角为30的斜面OA的左侧有一竖直档板，其上有一小孔P，OP=0.5m.现有一质量m=410 20kg，带电量q=+21014C的粒子，从小孔以速度v0=3104m/s水平射向磁感应强度B=0.2T、方向垂直纸面向里的一圆形磁场区域且在飞出磁场区域后能垂直打在OA面上，粒子重力不计求：1粒子在磁场中做圆周运动的半径；2粒子在磁场中运动的时间；3圆形磁场区域的最小面积4假

12、设磁场区域为正三角形且磁场方向垂直向里，粒子运动过程中始终不碰到挡板，其他条件不变，求：此正三角形磁场区域的最小边长。解析：1由，得：2画出粒子的运动轨迹如图，可知，得：30OPAv0abco160egf3无确定解，圆形面积只能无限接近4由数学知识可得： 得：9、【2022浙江联考】如下图，虚线MO与水平线PQ相交于O，二者夹角=30，在MO左侧存在电场强度为E、方向竖直向下的匀强电场，MO右侧某个区域存在磁感应强度为B、垂直纸面向里的匀强磁场，O点处在磁场的边界上.现有一群质量为m、电量为+q的带电粒子在纸面内以速度v()垂直于MO从O点射入磁场,所有粒子通过直线MO时，速度方向均平行于PQ

13、向左.不计粒子的重力和粒子间的相互作用力，求：1速度最大的粒子自O点射入磁场至返回水平线POQ所用的时间.2磁场区域的最小面积.3根据你以上的计算可求出粒子射到PQ上的最远点离O的距离，请写出该距离的大小只要写出最远距离的最终结果，不要求写出解题过程【答案】(1) 或 (2) 或 (3)d= 【解析】1(11分)粒子的运动轨迹如下图，设粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径为R，周期为T，粒子在匀强磁场中运动时间为t1那么 即 最大速度vm的粒子自N点水平飞出磁场，出磁场后做匀速运动至OM，设匀速运动的时间为t2，有： 过MO后粒子做类平抛运动，设运动的时间为，那么： 又由题知最大速度vm= 那

14、么速度最大的粒子自O进入磁场至重回水平线POQ所用的时间 (1分)解以上各式得： 或 2由题知速度大小不同的粒子均要水平通过OM，那么其飞出磁场的位置均应在ON的连线上，故磁场范围的最小面积是速度最大的粒子在磁场中的轨迹与ON所围成的面积。扇形的面积 的面积为： 又 联立得：或 3(4分)粒子射到PQ上的最远点离O的距离d= 扣2分10、(2022常州中学期中) (16分)如图甲所示，直角坐标系中直线AB与横轴x夹角BAO=30，AO长为a。假设在点A处有一放射源可沿BAO所夹范围内的各个方向放射出质量为m、速度大小均为v、带电量为e的电子，电子重力忽略不计。在三角形ABO内有垂直纸面向里的匀

15、强磁场，当电子从顶点A沿AB方向射入磁场时，电子恰好从O点射出。试求：1从顶点A沿AB方向射入的电子在磁场中的运动时间t；2磁场大小、方向保持不变，改变匀强磁场分布区域，使磁场存在于三角形ABO内的左侧，要使放射出的电子穿过磁场后都垂直穿过y轴后向右运动，试求匀强磁场区域分布的最小面积S；3磁场大小、方向保持不变，现改变匀强磁场分布区域，使磁场存在于y轴与虚线之间，示意图见图乙所示，仍使放射出的电子最后都垂直穿过y轴后向右运动，试确定匀强磁场左侧边界虚线的曲线方程。解：1根据题意，电子在磁场中的运动的轨道半径R=a由evB=mv2/a 得：B=mv/ea 由T=2m/eB t=T/6=a/3v

16、 2有界磁场的上边界：以AB方向发射的电子在磁场中的运动轨迹与AO中垂线交点的左侧圆弧 有界磁场的下边界：以A点正上方、距A点的距离为a的点为圆心，以a为半径的圆弧故最小磁场区域面积为： 3设在坐标x，y的点进入磁场，由相似三角形得到：圆的方程为：消去y+b，磁场边界的方程为： yMBOx45EPv11、揭阳二模1304(18分)直角坐标系xoy界线OM两侧区域分别有如下图电、磁场第三象限除外，匀强磁场磁感应强度为B、方向垂直纸面向外，匀强电场场强、方向沿x轴负方向。一不计重力的带正电的粒子，从坐标原点O以速度为v、沿x轴负方向射入磁场，随后从界线上的P点垂直电场方向进入电场，并最终飞离电、磁

17、场区域。粒子的电荷量为q，质量为m，求：1粒子在磁场中运动的轨迹半径R及P点的位置坐标； 2粒子在磁场中运动的时间；3粒子最终飞离电、磁场区域的位置坐标。11、18分解：1由洛仑兹力提供向心力，有： 3分 解得： 3分 如下图，由几何关系可知，粒子经过界线OM的位置P的坐标为，2分yMBOx45EPvQ 2粒子在磁场中运动的周期 2分 粒子在磁场中运动的时间 2分 3粒子从P点射入电场将做类平抛运动，如下图，有： 1分 1分 其中： 1分 联立式解得2分 故粒子最终飞离电、磁场区域的位置坐标为1分12、(2022年浙江五校联考) 如下图，方向垂直纸面向里的匀强磁场的边界，是一个半径为r的圆，圆

18、心O1在x轴上，OO1距离等于圆的半径。虚线MN平行于x轴且与圆相切于P点，在MN的上方是正交的匀强电场和匀强磁场，电场强度的大小为E，方向沿x轴的负方向，磁感应强度为B，方向垂直纸面向外。有一群相同的正粒子，以相同的速率，在纸面内沿不同方向从原点O射入第象限，粒子的速度方向在与x轴成=30角的范围内，其中沿x轴正方向进入磁场的粒子经过P点射入MN后，恰好在正交的电磁场中做直线运动。粒子的质量为m，电荷量为q不计粒子的重力。求：xMNEBOPO1y第19题图 1粒子的初速率；2圆形有界磁场的磁感应强度；3假设只撤去虚线MN上面的磁场B，这些粒子经过y轴的坐标范围。12、解析： 1Eq=qv0B 1分 得：v0= EQ F(E,B) 1分 2设正粒子在圆形有界磁场中做匀速圆周运动的半径R，有： R=r 1分 qv0B= EQ F(mv02,R) 1分 得：B= EQ F(mE,qBr) 1分3沿x轴正方向进入圆形有界磁场的粒子经电场E偏转后，过y轴上点的坐标最大 r= EQ F(1,2) EQ F(Eq,m) t12 1分 y1=v0t1 1分 y1=y1r得：y1