2020-2021哈尔滨备战中考数学压轴题专题复习-相似的综合

1、OF=2m+1，HF=1，2020-2021哈尔滨备战中考数学压轴题专题复习相似的综合一、相似1.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c(a0)与x轴相交于点A(1,0)和点B,与y轴交于点C,对称轴为直线x=1.求点C的坐标(用含a的代数式表示)；联结AC、BC，若ABC的面积为6,求此抛物线的表达式；在第(2)小题的条件下，点Q为x轴正半轴上一点，点G与点C,点F与点A关于点Q成中心对称，当CGF为直角三角形时，求点Q的坐标.【答案】(1)解：抛物线y=ax2+bx+c(a0)的对称轴为直线x=1,而抛物线与x轴的一个交点A的坐标为(-1,0)抛物线与x轴的另一个交点B

2、的坐标为(3,0)设抛物线解析式为y=a(x+1)(x-3)，即y=ax2-2ax-3a，当x=0时，y=-3a，C(0，-3a)解：TA(-1,0),B(3,0),C(0,-3a),AB=4，OC=3a，S“CB=ABOC=6，6a=6，解得a=1,抛物线解析式为y=x2-2x-3解：设点Q的坐标为(m,0).过点G作GH丄x轴，垂足为点H,如图，琳GT点G与点C,点F与点A关于点Q成中心对称,QC=QG，QA=QF=m+1，QO=QH=m，OC=GH=3，当/CGF=90时，TZQGH+ZFGH=90,ZQGH+ZGQH=90,ZGQH=ZHGF,RtAQGH-RtAGFH,GhQh3m.

3、-=，即.，解得m=9,.Q的坐标为（9,0）；当ZCFG=90时，TZGFH+ZCFO=90,ZGFH+ZFGH=90,.ZCFO=ZFGH,RtAGFH-RtAFCO,GhFh31f，即-.；：；:=，解得m=4,.Q的坐标为（4,0）；ZGCF=90不存在，综上所述，点Q的坐标为（4,0）或（9,0）.【解析】【分析】（1）根据抛物线是轴对称图形和已知条件可求得抛物线与x轴的另一个交点B的坐标，再用交点式可求得抛物线的解析式，然后根据抛物线与y轴交于点C可得x=0,把x=0代入解析式即可求得点C的坐标；1（2）由（1）的结论可求得AB=4,OC=3a，根据三角形ABC的面积=ABOC=6

4、可求得a的值，则解析式可求解；（3）设点Q的坐标为（m,0）.过点G作GH丄x轴，垂足为点H,根据中心对称的性质可得QC=QG,QA=QF=m+1,QO=QH=m,OC=GH=3。分两种情况讨论：当ZCGF=90时，由同角的余角相等可得ZGQH=ZHGF,于是根据有两个角相等的两个三角形相似可得GHQhRtAQGH-RtAGFH，则可得比例式二,代入可求得m的值，则点Q的坐标可求解；当ZCFG=90时，同理可得另一个Q坐标。2.如图，在中，工-匚二，点M是AC的中点，以AB为直径作分别交X于点.（1）求证：-匕2）填空：若AB=6，当彳=2Dk时，DE=；连接，当弍的度数为时，四边形ODME是

5、菱形.【答案】（1）证明：:厶ABC=90,AM=MC，ABM=AM=MC,二ZA=ZABM.T四边形ABED是圆内接四边形，AZADE+ZABE=180，又ZADE+ZMDE=180，AZMDE=ZMBA，同理证明：ZMED=ZA，AZMDE=ZMED，AMD=MEDE【解析】【解答】解：由（1）可知，ZA=ZMDE，ADEIIAB，Mb11.TAD=2DM，ADM：MA=1：3，ADE=AB=x6=2.故答案为：2.当ZA=60时，四边形ODME是菱形.理由如下：连接OD、OE.TOA=OD，ZA=60，AAOD是等边三角形，AZAOD=60.TDEIAB，AZODE=ZAOD=60，ZM

6、DE=ZMED=ZA=60，AODE，DEM都是等边三角形，AOD=OE=EM=DM,A四边形OEMD是菱形.故答案为：60.【分析】（1）要证MD=ME，只须证ZMDE=ZMED即可。根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BM=AM=MC，则ZA=ZABM，由圆内接四边形的性质易得ZMED=ZA，ZMDE=ZMBA，所以可得ZMDE=ZMED；DE聽（2）由（1）易证得DEIIAB，可得比例式：厂，结合中的已知条件即可求解；当ZA=60时，四边形ODME是菱形.理由如下：连接OD、OE，由题意易得ODE，DEM都是等边三角形，所以可得OD=OE=EM=DM，由菱形的判定即可求解。3.如

7、图1,在RtAABC中，ZB=90，BC=2AB=8，点D、E分别是边BC、AC的中点，连接。，将厶EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为a.1）问题发现AhAh当a=0时，册=；当a=180时，乩=.(2)拓展探究AL试判断：当0a360时，AC=4J，,CD=4,CD丄AD,.AD=J-:+AD=BC，AB=DC，ZB=90，.四边形ABCD是矩形，BD=AC=叮.如图4,连接BD,过点D作AC的垂线交AC于点Q,过点B作AC的垂线交AC于点P,的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明.3)问题解决当EDC旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BD的长2)解：如图2，AE当0a360时

8、，的大小没有变化,ZECD=ZACB,ZECA=ZDCB,/.IfBD=BD的长为叨:或.综上所述，【解析】【解答】（1）当a=0时，RtAABC中，ZB=90,.AC=I,T点D、E分别是边BC、AC的中点，如图1,S图1z当a=180时，可得ABIIDE，AC_BC.字_JAE_AC_序石.云-厂-:-【分析】(1)当a=0时，RtAABC中，根据勾股定理算出AC的长，根据中点的定义得出AE,BD的长，从而得出答案；如图1,当a=180时，根据平行线分线段成比例定理得出AC:AE=BC:BD,再根据比例的性质得出AE:BD=AC:BC,从而得出答案。当0a?一.二:?CP.CP=8故答案为

9、【分析】（1）延长AB到M,使BM=AB,则A和M关于BC对称，连接EM父BC于P,此时AP+EP的值最小，根据勾股定理求出AE长，根据矩形性质得出ABIICD，推出ECP-MBP，得出比例式，代入即可求出CP长；（2）点A向右平移2个单位到M,点E关于BC的对称点F,连接MF,交BC于Q,要使四边形APQE的周长最小，只要AP+EQ最小就行，证MNQ-FCQ即可求BP的长；（3）作点P关于AB的对称点G,作点P关于AC的对称点H,连接GH,交AB,AC于点M,N,此时PMN的周长最小.S旳边形ampn=S“gm+S“nh=S“gh-S“mn，即S“mn的值最小时，S四边形ampn的值最大.1

10、0.已知：如图，在RtAABC中，ZC=90,AC=3cm,BC=4cm，点P从点B出发，沿BC向点C匀速运动，速度为lcm/s；同时，点Q从点A出发，沿AB向点B匀速运动，速度为2cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动连接PQ,设运动时间为t(s)(0VtV2.5)，解答下列问题：BQ=，BP=;(用含t的代数式表示)设PBQ的面积为y(cm2)，试确定y与t的函数关系式；在运动过程中，是否存在某一时刻上，使厶PBQ的面积为厶ABC面积的二分之一？如果存在，求出t的值；不存在，请说明理由；在运动过程中，是否存在某一时刻上，使厶BPQ为等腰三角形？如果存在，求出t的值；不存在，请说明

11、理由.【答案】(1)5-2t；t；y=-t2+-t(2)解：不存在，理.由：AC=3,BC=4,二SBC=X3X4=6，J.J由(1)知，SPBQ=-t2+-t,TPBQ的面积为厶ABC面积的二分之一,二-t2+-t=3,二2t2-5t+10=0,T=25-4x2x10V0,此方程无解,即：不存在某一时刻上，使厶PBQ的面积为厶ABC面积的二分之一(3)解：由(1)知，AQ=2t，BQ=5-2t，BP=t，TBPQ是等腰三角形，当BP=BQ时，二t=5-2t,ZBEP=90=ZC,ZB=ZB,BEP-BCA,ZBFQ=90=ZC,ZB=ZB,.BFQ-BCA,BF_BG.,46t=,25b46

12、即：t为秒或秒或秒时，BPQ为等腰三角形.【解析】【解答】(1)在RtAABC中，AC=3cm,BC=4cm,根据勾股定理得，AB=5cm，由运动知，BP=t，AQ=2t，BQ=AB-AQ=5-2t,故答案为：5-2t,t；如图1,过点Q作QD丄BC于D,图1ZBDQ=ZC=90,IZB=ZB,BDQ-BCA,DQ_BCDQ5-2t,DQ=(5-2t)11.j.jy=S“c=BPDQ=-xtx(5-2t)=-t2+-t；【分析】(1)先利用勾股定理求出AB,即可得出结论；过点Q作QD丄BC于D,进而得出厶BDQ-BCA,用t表示出DQ,最后用三角形的面积公式即可得出结论;(2)先求出ABC的面

13、积，再利用厶PBQ的面积为厶ABC面积的二分之一，建立关于t的方程，进而判断出此方程无解，即可得出结论；(3)分三种情况，利用等腰三角形的性质和相似三角形的性质，得出比例式建立关于t的方程求解，即可得出结论.11.如图，在ABC中，ZC=90,AE平分ZBAC交BC于点E,O是AB上一点，经过A,E两点的O0交AB于点D,连接DE，作ZDEA的平分线EF交O0于点F,连接AF.(1)求证：BC是OO的切线;(2)若sinZEFA=,AF=，求线段AC的长.【答案】(1)解：如图1,连接,平分_门；,.上二.，TI,、.T为-的半径，是-*的切线.(2)解：如图2,连接.由题可知为的直径,二平分

14、ZDEF=ZAEF=15厂.:7.AFD为等腰直角三角形在-中,DF=AF=_丄_丄匸，止二_.4；.=汇-二空.【解析】【分析】（1）连接OE,根据等腰三角形的性质和角平分线定义可得北，根据平行线的判定可得OEIIAC，再由平行线的性质可得ZBEO=ZC=90，即可证得结论；（2）连接，,根据已知条件易证.：-亠：.在2血中，根据勾股定理求得妙-16.根据同弧所对的圆周角相等及已知条件可得4MED丸二mw/EFA二一工在RrA址中求得AE的长，再证明AACE-AAED，根据相似三角形的性质即可求得线段AC的长.12.如图，矩形ABCD的边AB=3cm,AD=4cm,点E从点A出发，沿射线AD

15、移动，以CE为直径作圆0,点F为圆0与射线BD的公共点，连接EF、CF,过点E作EG丄EF，EG与圆0相交于点G,连接CG.1）求证：四边形EFCG是矩形；（2）当圆0与射线BD相切时，点E停止移动，在点E移动的过程中，矩形EFCG的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出这个最大值或最小值；若不存在，说明理由【答案】（1）证明：如图1，CE为O0的直径，ZCFE=ZCGE=90.TEG丄EF,.ZFEG=90.ZCFE=ZCGE=ZFEG=90.四边形EFCG是矩形（2）存在.连接0D,如图2,四边形ABCD是矩形,ZA=ZADC=90.点O是CE的中点.OD=OC.点D在OO上.TZFCE

16、=ZFDE,ZA=ZCFE=90,CFE-DAB.S/j-.7Cb.=(?)2.TAD=4,AB=3,.BD=5,a沐CFE=()2%dab/-=xx3x4=.S矩形Bcd=2SacfeT四边形EFCG是矩形,.FCIIEG.ZFCE=ZCEGTZGDC=ZCEG,ZFCE=ZFDE,.ZGDC=ZFDETZFDE+ZCDB=90,.ZGDC+ZCDB=90.ZGDB=90I.当点E在点A(Ez)处时，点F在点B(Fz)处，点G在点D(Gz处，如图2所示.此时,CF=CB=4口.当点F在点D(F)处时，直径FG丄BD，如图2所示,此时O0与射线BD相切，CF=CD=3.皿.当CF丄BD时,CF最小，此时点F到达F,如图2所示.汇bcd=BCCD=BDcf.4x3=5xCF.12CF=12CF4.3CR矩形ABCD1：.X(1)2SX42.矩形ABCD108S12.矩形ABCD108.矩形EFCG的面积最大值为12,最小值为-.【解析】【分析】(1