自动控制原理与应用第2章

1、自动控制原理与应用电子工业出版社课件制作: 刘湘涛 黄大足第2章 控制系统的数学模型本章学习目标 2.1 数学模型的建立与定义方法2.2 简单系统微分方程2.3 传递函数2.4 结构图（方框图）2.5 发电机励磁控制系统 2.6 应用MATLAB处理系统数学模型本章小结2.1数学模型的建立与定义方法一、定义 系统的数学模型是描述系统的输入与输出变量，以及内部各变量之间关系的数学表达式、图表、曲线。二、数学模型的建立1、方法(1)解析法：依据系统及元件各变量之间所遵循的物理化学定律，列出变量间的数学表达式。(2)实验方法：通过实验求出系统或元件各变量之间的关系2、型式微分方程、传递函数、结构图、

2、状态变量表达式3、说明 数学模型的建立应该在模型的准确性和简化性之间作折衷考虑。 2.2 简单系统的微分方程 用解析法列写系统或元件微分方程的一般步骤：(1) 根据实际工作情况，确定系统和各元件的输入输出变量；(2) 从输入端开始，按照信号的传递顺序，依据各变量所遵循的物理（或化学）定律，列定出变化（运动）过程的动态方程，一般为微分方程组；(3) 消去中间变量，写出只含有输入、输出变量的微分方程；(4)标准化将与输入变量有关的各项放在等号的右侧，与输出变量有关的各项放在等号左侧；按降幂（阶）排列；将系数归化学具有一定物理意义的形式（时间常数）。(5)在列写某元件的微分方程时，还必须注意与其他元

3、件的相互影响，即所谓负载效应问题。一、比例环节1、数学表达式：c(t)=kr(t) （2-1）式中c(t)为输出变量，r(t)为输入变量，k为该环节的放大系数。2、特点输出量与输入量的频率无关，任何突变形式的输入都能在输出中连续地按比例重现。3、实例机械杠杆、齿轮、电位器、测速发电机、理想变压器、电子放大器等。4、说明实际比例环节都有惯性，但与系统中其他环节比较，惯性要小得多，因而认为它无惯性。二、一阶惯性环节（一阶滞后环节）1、数学表达式 ： (2-2)2、特点 一阶惯性环节含有一个储能元件，输入量的作用不能立即在输出端全部重现出来，而是有一个延缓，即有惯性。3、实例例2-1： 如图2-1所

4、示的RL串联电路，总电压ur为输入，电阻上电压uR为输出，试建立其微分方程。解 （1）确定系统的输入、输出变量，如图2-1已知，ur为输入，uR为输出。 图2-1 LC网络（2）列微分方程组： 由基尔霍夫第二定律有：uL+uR=ui 由电磁感应定律有：uL=L 由欧姆定律有：i= （3）消去中间变量：将式代入式有uL= 将式代入有： + uR= ui （4）标准化：令 =T，即该电路的电磁时间常数，得 +uR= ui 例2-2 如图2-2所示的RC串联电路，以总电压ur为输入，电容上电压uC为输出，试建立其微分方程。图2-2 RC网络解（1）确定系统的输入、输出变量，如图已知ur为输入，压uC

5、为输出； （2）列微分方程组： 由基尔霍夫第二定律有： uR +uC =ui 由欧姆定律有： uR=R i 由电容充放电特性，有：uC= idt （3）消去中间变量 由式有： i=C 将式代入式有：uR=RC 将式代入式有RC +uC= ur （4）标准化： 令RC=T，即该电路的充放电时间常数，代入式有： T +uC= ur1、输入量（激励）2、输出量（响应） 3、被控制量 4、控制量（控制作用） 5、反馈 6、干扰（扰动） 7、自动调节系统三、微分环节三、微分环节数学表达式理想情况(理想微分环节) c(t)=T 一般情况(有惯性微分环节) T+c(t)= T 2、特点：输出是输入对时间的微

6、分，即输出是输入的变化率。3、实例例2-3： 如图2-4所示电容电阻串联电路，总电压ur为输入，电阻上的电压uR为输出，试建立其微分方程。图 2-4 CR串联电路解 （1）确定输入、输出变量：如图可知，ur为输入，uR为输出。 （2）列微分方程组： uc+uR=ur uC= idt （3）消去中间变量： 将式入式有： uC= uRdt 将式代入式，有： +uR=ur 式两边对t求导，有： （4）标准化：将式按降阶排列，有：令RC=T，并将式T，有： 当T 1时，上式左边第一项可以忽略，有：uR=T 为理想微分环节。 式为一般情况下的微分环节，即有惯性的微分环节（一阶惯性微分环节）T + uR=

7、T 例2-4 如图2-5所示电阻电感串联电路，总电压ur为输入，电感上电压uL为输出。试建立其微分方程。图 2-5 R L串联电路 四、积分环节 1、表达式： c(t)=kr(t)dt （2-7）2、特点：输出量与输入量的积分成比例。3、实例图2-7 他激直流电动uj=常数uan例2-6 如图2-7所示，他激直流电动机转轴角位移为输出，电框电压ua为输入，加恒定直流激励，并忽略电枢回路的时间常数（即认为电枢电流是瞬时增长到稳定值），有：=kuadtxxyA图2-8 压力油液活塞机构例2-7 如图2-8所示，以油流量x为输入，活塞行程y为输出的压力油液压驱动的活塞机构，有：xdt Y= 式中A为

8、活塞截面积，为油液密度。五、振荡环节（二阶滞后环节） 1、自动控制原理的研究对象是自动控制系统的基本结构，这是本章的重点，要求通过实例掌握自动控制系统各组成部分及其功能。 2、经典控制理论讨论的是按偏差进行控制的反馈控制系统，应该了解其控制的目的、控制的对象和控制的过程；熟悉对控制系统动态性能的基本要求，即稳、快、准；为进一步掌握控制系统的性能指标打好基础。 六、纯滞后环节（纯延迟环节）表达式： c(t)=r(t-) (2-9)特点：输出比输入滞后一个时间。实例：延时继电器。七、线性定常微分方程的求解 有了各环节的微分方程以后，就可以建立整个系统的微分方程，系统的微分方程建立以后，直接求出微分

9、方程的时间解，即得到系统的时间响应。在工程中，求解微分方程常采用拉氏变换法，其步骤如下： (1)对方程两边求拉氏变换。 (2)将给定的初始条件代入方程。 (3)写出输出量的拉氏变换。 (4)对出输出量的拉氏变换求反拉氏变换，得到系统输出的时间解。 2.3 传递函数 描述系统的数学模型可以是微分方程，解系统的微分方程，可以得到在确定初始条件及外作用下系统输出的响应表达式，并可作出时间响应曲线，从而可直观地反映系统的动态过程，即可以阐明系统的性能和行为。 例如：前述RC串联电路，总电压为输入，电容电压为输出的网络，其微分方程为 一、传递函数的概念及定义二、典型环节的传递函数三、举例四、利用复阻抗概

10、念求电气环节的传递函数2.4 结构图（方框图） 结构图的概念由前述方法，在求取传递函数时，需要对代数（变换）方程消元，如果方程的子方程数较多，消元是比较麻烦的；而且，消元之后，仅剩下输入与输出两个变量，信号中间的传递过程得不到反映。能否找出一种形式的数学模型，即可以由它求出系统的传递函数，又避免消元的麻烦，而且可以反映输入信号在系统中间的传递过程呢？这就是下面将要介绍的结构图。控制系统的结构图，是用具有一定函数关系和信号流向的若干方框，描述系统各组成元件之间信号关系的数学图形。 二、结构图的组成 结构图是由若干对信号进行单向运算的方框和一些直线所组成的，它包含四种基本单元。 4、方框（环节）表

11、示对信号进行的数学变换。方框中写入元件（一个或一组）的传递函数（该传递函数的求取按定义） 显然，方框的输出等于方框的输入与方框中传递函数的乘积。即 C(S)=G(S)U(S)任何复杂的控制系统，都是由元件组成的，而元件的传递函数可以独立确定。如果推导元件的传递函数时已考虑了负载效应（或不计负载效应），那么用传递函数描述的元件便可以用一个单向性的方框表示，整个系统的结构图，就可以按照系统中信号传递的顺序，用信号线依次将各方框连接而成。三、系统结构图绘制方法 由原理图绘制方框图是分析的需要。由方框图绘制原理图是设计的过程。 1、列出各环节的方框图：以典型环节或典型环节组合取代系统的具体元件，将各环

12、节的传递函数填入方框中，并标出信号及其流向箭头。 2、连接成系统结构图：按系统中信号流向，把代表各环节的方框连接起来，即成系统的结构图。 例2-16 绘制下图所示RC电路的结构图四、结构图联结的基本形式4、单环反馈连接（反并接）图2-18 反馈连接及其等效传递函数 (1)定义 一个方框的输出，输入到另外一个方框，得到的输出再返回作用于前一个方框的输入端，这种组合称为反馈连接，如图2-18所示。 前向通道：信号由系统输入端流向输出端的通道称为前向通道，前向通道中的环节称为前向通道环节。 反馈通道：信号由系统输出端流向输入端的通道称为反馈通道，反馈通道中的环节称为反馈环节。（2）特点： 系统的输入

13、与反馈环节的输出在同一相加点相加，系统的输出与反馈环节的输入在同一分支点引出，反馈连接的传递函数（闭环传递函数）为：(s)=Gc(s)= G(S)H(S)称为开环传递函数，它是闭环在主通道或反馈通道开断后，开断回路（从断口看进出）总的传递函数（或构成闭合环路所有串联环节的等效传递函数），这与开环系统中的开环传递函数含义是不同的，前者仅为系统的前向传递函数。 任何复杂系统的结构图，都不外乎是由串接、并接和反并接三种基本结构交织组成的。 五、结构图的等效变换和简化 1、结构图等效变换法则 （1） 环节、分支点、相加点在系统结构图中的前后关系： 信号流向始端为前（前向通道中靠系统输入端为前，反馈通道

14、中靠系统输出端为前），末端为后（前向通道中靠系统输出端为后，反馈通道中靠系统输入端为后）。 （2）法则：见表2-1，例如 同理可得 相加点前移法则：相加点由靠近方框输出端的位置移到靠近方框输入端的位置， 须将相加 （减）的信号V除以移过的方框之中的传递函数G，即Y= GU+V=G（U+V/G） 。相加点后移法则：相加点由靠近方框输入端的位置移到靠近方框输出端的位置，须将相加 （减） 的信号V乘以移过的方框之中的传递函数G，即Y= G（U+V）=GU+GV。 2、结构图简化的一般过程 (1)确定系统的输入和输出 输入和输出不一定都是参考输入U（s）和系统最后的输出Y（s）。例如，输出可以是误差E

15、（s），输入是参考输入U（s），这时求出的闭合传递函数就是误差传递函数；若输入是扰动，则可求出对扰动的传递函数等等。输入、输出确定后，从输入到输出的通道就成为前向通道。 (2)串接、并接、反馈连接的环节分别用其等效环节代替，如有交叉反馈，则可以先移动反馈信号的作用点（相加点）或分支点，使局部反馈解除交叉，获得局部反馈连接，然后简化。 (3)重复（2）中各项，最后求闭环系统的最基本结构图或总的传递函数。 结果检验：应符合两条原则 (1)前向通道中传递函数的乘积应保持不变。 （2）各回路中传递函数的乘积应保持不变。 六、结构图等效变换举例图2-15：超前校正器的结构图2.5 发电机励磁控制系统一、

16、励磁控制系统的构成及动作原理二、 发电机的传递函数三、功率励磁装置的传递函数四、励磁控制系统的传递函数方框图一、励磁控制系统的构成及动作原理1、励磁控制系统的主要作用（1）维持发电机机端电压或系统某点电压在给定的数值（2）保证并联运行的各发电机的无功功率合理分配（3）提高系统的静态稳定及动态稳定性。（4）改善电力系统的运行条件2、励磁控制系统的构成：由发电机功率励磁装置及自动励磁调节器构成的一个闭环负反馈控制系统。（1）发电机：被控对象（2）功率励磁装置：供给发电机转子磁场所需的直流功率，有三种典型励磁方式。直流励磁机励磁方式，适用于中小容量机组。交流励磁机励磁方式，适用于大容量机组。晶闸管功

17、率励磁方式，适用于大中容量机组。（3）自动励磁调节器AVR调节中枢，一般由调差环节、电压检测、综合放大等环节组成。二、 发电机的传递函数三、功率励磁装置的传递函数四、励磁控制系统的传递函数方框图 设控制器为比例环节（简记为P）或比例积分环节（简记为PI），即 G1(S) =K，或 G1(S) =K+ 测量反馈环节的传递函数主要因子亦为比例，即H(s)= ， 则可根据各环节的传递函数及方框图建立系统的传递函数方框图，如图2-28所示。 图2-28 励磁控制系统的传递函数方框图 （a） 励磁机励磁控制方式图2-28 励磁控制系统的传递函数方框图（b）晶闸管励磁控制方式 2.6 应用MATLAB处理系统数学模型 本章小结 分析或设计控制系统，首先要建立系统的数学模型。本章介绍了建立数学模型的原理一般方法及步骤，其要点是：数学模型是描述元部件及系统动态特性的数学表达式，是对系统进行理论分析研究的主要依据。根据实际系统用解析法建立数学模型，一般是从列写微分方程着手。了解元部件的工作原理是正确建立微分方程的前提。只有这样才能获得一个既简单又足够精确地反映动态本质的模型。实际元部件均不同程度地存在非线性，因此往往要做非线性处理。传递函数是又一种数学模型，而且是经典控制理论中更为重要的模型。它是从对微分方程进行拉氏变换的推导中得出的。