2022-2023学年人教A版必修第一册 第一章 1.4 第2课时充要条件 学案

1、第一章 集合与常用逻辑用语14充分条件与必要条件第2课时充要条件素养导引1.结合具体实例，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系(数学抽象)2.掌握必要条件、充分条件和充要条件的综合判断(逻辑推理)3.能对充要条件进行证明(逻辑推理)4.能通过充要条件解决简单的问题(逻辑推理)充要条件命题真假“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题推出关系既有pq，又有qp，记作pq条件关系p既是q的充分条件，也是q的必要条件名称p是q的充分必要条件，简称为充要条件【批注】正确理解充要条件(1)“”具有传递性：若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即pq，qs，则有ps，即p是s的充要条件

2、(2)“p是q的充要条件”可以说成“p与q是等价的”“q成立当且仅当p成立”“q成立必须且只需p成立”诊断1设xR，则“2x0”是“1x11”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【解析】选B.由1x11，得0 x2，因为0 x2x2，x20 x2，故“2x0”是“1x11”的必要不充分条件2(教材P21例3改编)下列各题中，p是q的充要条件的是_(填序号)(1)p：3x25，q：2x35；(2)p：a2，b2，q：ab；(3)p：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形；(4)p：a0，q：关于x的方程ax1有唯一解【解析】对于(1)，p：x1，q：

3、x1，pq，所以p是q的充要条件；对于(2)，pq，但qp，所以p是q的充分不必要条件；对于(3)，pq，但qp，所以p是q的必要不充分条件；对于(4)，显然pq，所以p是q的充要条件答案：(1)(4)学习任务一充分、必要条件的综合判断(数学抽象、逻辑推理)【典例】1.(2022南京高一检测)已知集合Ax|x3k，kN，Bx|x6z，zN，“xA”是“xB”的_条件()A充分不必要B必要不充分C充要D既不充分也不必要【解析】选B.因为Ax|x3k，kN，Bx|x6z，zNx|x32z，zN，所以BA，所以“xA”是“xB”的必要不充分条件2(2022滁州高一检测)下列说法正确的是()A已知a，

4、bR，则“ab1”是“|a|b1”的必要不充分条件B设p：1x2，q：2x1，则p是q成立的必要不充分条件C“a0”是“a10”的充分不必要条件D若“x1”是“xa”的必要不充分条件，则实数a的最大值为1【解析】选C.对于A，因为|a|a，所以若ab1，则|a|b1，充分性成立，故A错误；对于B，因为x|1x2x|2x1，所以p是q成立的充分不必要条件，故B错误；对于C，因为a|a0a|a10，所以“a0”是“a10”的充分不必要条件，故C正确；对于D，若“x1”是“xa”的必要不充分条件，则x|xa1，则不存在这样的a，故D错误判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法(1)定义法：直接判断

5、“若p，则q”以及“若q，则p”的真假(2)集合法：即利用集合的包含关系判断(3)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1p2pn，可得p1pn；充要条件也有传递性指出下列各组命题中，p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”).(1)p：a是自然数，q：a是正数；(2)p：0 x3，q：1x3；(3)p：四边形为矩形，q：四边形的两条对角线相等；(4)p：四边形的对角互补，q：四边形是圆内接四边形【解析】(1)0是自然数，但0不是正数，故pq；又 eq f(1,2) 是正数，但 eq f(1,2) 不是自然数，故qp.故p是q的既不充分又

6、不必要条件(2)令Ax|0 x3，Bx|1x3易得AB，所以p是q的充分不必要条件(3)由矩形的性质可知，pq，反之，两条对角线相等的四边形不一定是矩形，即qp，所以p是q的充分不必要条件(4)由圆内接四边形的判定定理和性质可知，pq，所以p是q的充要条件学习任务二充要条件的证明(逻辑推理)【典例】(2022菏泽高一检测)已知a，b，c均为实数，证明“ac0”是“关于x的方程ax2bxc0有一正根和一负根”的充要条件【解题思维】观察关于x的方程ax2bxc0有一正根和一负根联想判别式和根与系数的关系转化先判断出前者成立能推出后者成立，反之后者成立能推出前者成立，利用充要条件的定义得到结论【证明

7、】设p：ac0，q：关于x的方程ax2bxc0有一正根和一负根(1)充分性(pq)：若ac0成立，则关于x的方程ax2bxc0的判别式b24ac0，且两根之积 eq f(c,a) 0，所以关于x的方程ax2bxc0有一正根和一负根成立，即充分性成立，(2)必要性(qp)：若关于x的方程ax2bxc0有一正根和一负根成立，则两根之积 eq f(c,a) 0，所以ac0成立，即必要性成立，由(1)(2)可得，“ac0”是“关于x的方程ax2bxc0有一正根和一负根”的充要条件充要条件的证明思路(1)根据充要条件的定义，证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明：充分性：把p当作已知条件，结合

8、命题的前提条件，推出q；必要性：把q当作已知条件，结合命题的前提条件，推出p.(2)在证明过程中，若能保证每一步推理都有等价性()，也可以直接证明充要性闪问“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？提示：(1)p是q的充要条件说明p是条件，q是结论(2)p的充要条件是q说明q是条件，p是结论求证：一次函数ykxb(k0)的图象经过坐标原点的充要条件是b0.【证明】充分性：如果b0，那么ykx(k0).当x0时，y0，所以一次函数ykxb(k0)的图象经过坐标原点必要性：因为一次函数ykxb(k0)的图象经过坐标原点，所以当x0时，y0，即0kb0，所以b0.综上，一次函数ykxb

9、(k0)的图象经过坐标原点的充要条件是b0.学习任务三充分、必要条件的综合应用(逻辑推理)【典例】(2022泰州高一检测)已知p：x20，q：ax40，其中aR且a0.(1)若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围；(2)若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围【解题思维】观察(1)p是q的充分不必要条件(2)p是q的必要不充分条件联想用集合的观点研究充分、必要条件转化(1)p对应的集合是q的对应的集合的真子集(2)q对应的集合是p的对应的集合的真子集【解析】设p对应的集合为Ax|x20，即Ax|x2q对应的集合为Bx|ax40(1)因为p是q的充分不必要条件，所以AB，即 eq bl

10、c(avs4alco1(a0，,f(4,a)2，) 解得a2，故实数a的取值范围为a|a2；(2)因为p是q的必要不充分条件，所以BA.当a0时，由BA，得 eq f(4,a) 2，解得0a2；当a0时，显然不满足题意综上，实数a的取值范围为a|0a2根据充分条件与必要条件求参数取值范围(1)记集合Ax|p(x)，Bx|q(x)；(2)根据p与q的关系确定集合A与B的包含关系；(3)根据集合A与B的包含关系建立关于参数的不等式(组)；(4)解不等式(组)求出参数的取值范围(2022荆州高一检测)已知集合Ax|2ax2a，Bx|x1或x4(1)当a3时，求AB；(2)若“xA”是“xRB”的充分不必要条件，且A，求实数a的取值范围【解析】(1