留数的计算方法

1、 留数的计算方法摘 要：本文介绍了常见的几类的留数的计算方法.并通过实例加以阐析.关键词：留数；极点；零点The Calculation of the ResidueAbstractThis paper presents several commonly solving methods of residue. Based on examples, these solving methods are stated and analyzed.Key WordsResidue; PolesZero-point引言由留数定理得知，计算函数f(z)沿C的积分，可归结为计算围线C内各孤立奇 点处的留数之和

2、.而留数又是该奇点处的罗朗级数的负一次幕的系数，因此我们只关心该奇点处罗朗级数中的负一次幕系数，也就是说，不必完全求出罗朗级数就可以完全确定该点的留数.下面介绍求留数的几种常用方法，使用时要根据具体条件，选择一个较方便的 方法来进行.有限远点留数的计算方法留数定理把计算闭曲线上的积分值的问题转化为计算各个孤立奇点上的留数的 问题，即计算在每一个孤立奇点处的罗朗展式中负幕一次项的系数C,.在一般情况下，求罗朗展式也是比较麻烦的，因此，根据孤立奇点的不同类型，分别建立留数计 算的一些简便方法是十分必要的.若Z0为f (z)的可去奇点则f (z)在0 |z-Z0 R内的罗朗展开式中不含负幕项，从而a

3、,=0,故当z。为 f (z)的可去奇点时，Re s f (z0) = 0.(1.1)若z0为f (z)的一阶极点(1)第一种情形：若z0为f (z)的一阶极点，则f (z)在0 |z-z| zo(2)第二种情形:且 Q (Zo) 第0 ,则若zo为f (z) =_!(!的一阶极点, Q(z)Res f (Zo)P(Zo)Q (Zo)(1.3)3若Zo为f (Z)的m阶极点(Z -Zo)m f (Z)Res f (Zo) lim(1.4).如果极点的级数较(m -1)! ZTo d z 一般来讲，公式(1.4)适合计算级数较低的函数的极点的留数高时，计算可能比较复杂，此时可根据具体情况改用其他

4、方法计算留数当Z0为f (Z)的本性奇点时几乎没有什么简捷方法，因此对于本性奇点处的留数，就只能利用罗朗展开式 的方法或计算积分的方法来求.有限远点留数计算典型实例，-4zeZ例 1.5.1 求 Re s I,1 ._z2 -1z解 容易知道z =1是函数的一阶极点，所以z 1ZZzeze eRes f (z),1 = lim (z -1) 2= lim =-ZT z -1 ZT z +12 .本题也可用上述方法设 f (Z)=巴亘，取 P(z) = zeZ , Q(z) = z2 -1 ,显然 P(z) , Q(z)满足方法 1.2 中 Q(z)(2)的条件，所以zeZRes 二,1ILZ

5、一1P(1) =_eQ (1)2例1.5.2求函数 f (z)=(z -1)(z - 1)2在z =1处的留数.解 由于z=1是分母的一级零点，且分子在z=1时不为零，因此，2=1是口)的一级极点.由公式(1.2)可以得到(z -1)(z - 1)2由于z = -1是分母的二级零点，且分子在z=1时不为零，因此，2=_1是“)的二级极点.由公式(1.4)得Re s( f (z), -1) = lim z-1 dz(z F2(z -1)(z - 1)2-1=lim 21 (z -1)例 1.5.3求函数f (z)=sin zz4 - 1在z =1处的留数.解因为z4 _1以z = _1为一级零点

6、，而sin 1丰0 ,因此f ( z)以z = 1为一级极点.由Re s( f (z),1) = lim (z 1公式(1.3)得sin zRe s(f (z),1)：(z -1)sin z4z31 sin 14例 1.5.4求函数f (z) =ez z在z =0处的留数.解 z =0是f (z)的本性奇点，因为f (z) ue2!(n -1)!)，(0 :： z :二二)1 .所以相乘后级数1的系数C为z1 C,=1 .1十2!2!3!(n - 1)! n!于是Re s( f (z),0)111+2!2!3!(n - 1)! n!2.无限远点处的留数计算方法无穷远点留数定义或留数和定理依内解

7、析，则定义2.1.13设七点为函数f(z)的一个孤立奇点，即f(z)在RR ,C的方向是顺时针的.设f(z)在R z(收内的洛朗展式为 TOC o 1-5 h z 11nf(z)=- Cg 7 C C0 Ciz Cnz zz上式两端同乘二,沿c逐项积分，并根据定义1,有 2 二 i1-1 二 nRe s( f (z),二)二;f (z)dz = % Cn z dz = C.(2.1)2 二i C 12-i n ： C即f(z)在力点的留数等于它在党领域的洛朗展式中负一次幕的系数的相反数.这里需要指出的是，当z。为f(z)的有限可去奇点时，必然有Res(f(z),z0)=0 ;但是，如果8是f

8、(z)的可去奇点时，则不一定有Re s( f (z),m)=0 .1如 f (z) =1 + , z = g 在是 f (z)的可去奇点；但 Re s( f (z)产)=1 00 . zz例2.1.1求函数f(z)=: 在z =8点处的留数.z - 1z解函数f(z)=Ve以z =1及z = _1为一阶极点，而z =8为本性奇点又z 1eR e sf ( 1)2所以1,R e-s =(1e2_L e 一 eRes f (二：)=2关于函数在有限孤立奇点和无穷远点留数之间的关系，有如下定理.定理 2.1.1 若 lim f (z) =0 ,则z，-证明由条件，故可设f(z)在zg的去心邻域的洛朗

9、级数(2.2)Res f (二)=-lim_ z f (z)c nc 1f (z)二.告.一 .0 . 0 上0 工一 zz因此Ref ;(J - z Jizmf z ()公式(2.2)在计算留数时是非常有用的.如果已知函数在所有有限孤立奇点的留数 之和，由式(2.2)即可知道函数在无穷远点留数；反之如果知道了函数在无穷远点的留数 则函数在所有有限孤立奇点的留数之和便可以求出.当函数的有限孤立奇点较多时，其留数之和计算比较复杂时，通过求函数在无穷远点的留数来求其在所有有限孤立奇点 的历史之和是非常方便的.另外，我们还可以先计算出比较容易计算的函数的部分孤立奇点的留数，然后用公式(2.2)求出比较难计算的另一部分孤立奇点的留数之和.结束语留数定理的应用为一部分积分的计算提供了便利，特别是对某些复杂的积分， 它大大缩短求解过程.因此，利用留数计算定积分对理解留数理论和掌握一些特殊