人教版高中数学高考一轮复习-导数的综合应用

1、3.4导数的综合应用第三章2022高中总复习优化设计GAO ZHONG ZONG FU XI YOU HUA SHE JI内容索引0102第一环节关键能力形成第二环节学科素养提升第一环节关键能力形成能力形成点1利用导数证明不等式例1设函数f(x)=ln x-x+1.(1)讨论f(x)的单调性;(2)证明当x(1,+)时,(3)设c1,证明当x(0,1)时,1+(c-1)xcx.(1)解 由题设,知f(x)的定义域为(0,+),令f(x)=0,解得x=1.当0 x0,f(x)单调递增;当x1时,f(x)0,f(x)单调递减.解题心得利用导数证明不等式时,可移项使不等式一边化为0的形式,再构造函数

2、,将问题转化为函数的单调性、极值或最值问题,即利用求导方法求单调区间,比较函数值与0的关系.如证明不等式f(x)g(x),可构造函数h(x)=f(x)-g(x),证明h(x)max0即可,也可证明f(x)maxg(x)min.对点训练1设函数(1)证明:f(x)在区间(0,1)内单调递减;(2)若0ax1.即当0 x0,h(x)单调递增.又h(1)=0,所以当0 x1时,h(x)0,即f(x)0)上的最小值;(2)对x(0,+),关于x的不等式xf(x)-x2+x-1恒成立,求的取值范围.令f(x)0,得x1;令f(x)0,得0 x0)上单调递增,当0mx恒成立,由g(x)0,得x1;由g(x

3、)0,得0 x1.即g(x)min=g(1)=e+2,则-x2+x-1有解,求的取值范围.解题心得利用导数解决不等式恒成立问题,首先要构造函数,利用导数研究函数的单调性,然后求出最值,进而得出相应的含参数不等式,最后求出参数的取值范围;也可分离变量,构造函数,直接把问题转化为函数的最值问题.对点训练2 (2)若在区间(1,+)内,函数f(x)的图象恒在直线y=2ax的下方,求a的取值范围.能力形成点3求与函数零点有关的参数范围例3已知函数f(x)=ae2x+(a-2)ex-x(aR).(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.解 (1)f(x)的定义域为(-,+)

4、,f(x)=2ae2x+(a-2)ex-1=(aex-1)(2ex+1).若a0,则f(x)0,则由f(x)=0,得x=-ln a.当x(-,-ln a)时,f(x)0,所以f(x)在区间(-,-ln a)内单调递减,在区间(-ln a,+)内单调递增.解题心得与函数零点有关的参数范围问题,往往利用导数研究函数的单调区间和极值点,并结合特殊点,从而判断函数的大致图象,讨论其图象与x轴的位置关系,或者转化为两个熟悉函数的图象交点问题,进而确定参数的取值范围.对点训练3设函数f(x)=ln x-a(x-1)ex,其中aR.(1)若a0,讨论f(x)的单调性.(2)若证明f(x)恰有两个零点;设x0

5、为f(x)的极值点,x1为f(x)的零点,且x1x0,证明3x0-x12.(1)解 由已知,f(x)的定义域为(0,+), 因此当a0时,1-ax2ex0,从而f(x)0,即f(x)在区间(0,+)内单调递增.第二环节学科素养提升用放缩法证明不等式典例已知函数f(x)=ax-ln x-1(aR).(1)若f(x)0恒成立,求a的最小值;(2)求证:(3)已知k(e-x+x2)x-xln x恒成立,求k的取值范围.(1)解:由题意知f(x)的定义域为(0,+). 当x(0,1)时,g(x)0;当x(1,+)时,g(x)0时,(1)解 因为f(x)=ex-x2,所以f(x)=ex-2x,所以f(1

6、)=e-2,f(1)=e-1,所以函数f(x)的图象在点(1,f(1)处的切线方程为y=(e-2)(x-1)+e-1,即y=(e-2)x+1.(2)证明 令g(x)=f(x),则g(x)=ex-2.当xln 2时,g(x)ln 2时,g(x)0,所以函数g(x)在区间(-,ln 2)内单调递减,在区间(ln 2,+)内单调递增,所以g(x)min=g(ln 2)=f(ln 2)=2-2ln 20,所以函数f(x)=ex-x2在R上单调递增,亦即在区间(0,+)内单调递增.由函数f(x)的图象在点(1,f(1)处的切线方程为y=(e-2)x+1,f(1)=e-1,可猜测当x0时,f(x)(e-2)x+1.设h(x)=f(x)-(e-2)x-1(x0),则h(x)=ex-2x-e+2,令m(x)=h(x),则m(x)=ex-2.当0 xln 2时,m(x)ln 2时,m(x)0,所以m(x)=h(x)在区间(0,ln 2)内单调递减,在区间(ln 2,+)内单调递增.因为h(1)=0,0ln 21,所以h(ln 2)0,所以存在x0(0,ln 2),使得h(x0)=0,所以当0 x1时,h(x)0;