人教版高中数学高考一轮复习-正态分布

1、11.6正态分布第十一章2022高中总复习优化设计GAO ZHONG ZONG FU XI YOU HUA SHE JI课标要求1.通过误差模型,了解服从正态分布的随机变量.通过具体实例,借助频率直方图的几何直观,了解正态分布的特征.2.了解正态分布的均值、方差及其含义.备考指导正态分布在高考中一般以选择题、填空题的形式进行考查,难度不大.纵观近几年的高考趋势,对概率的要求有所提高,正态分布知识有可能出现在概率解答题中的某一环节,尤其对于正态分布的3原则要引起重视.本节常利用对称性、间接法进行概率求解,素养方面要加强逻辑推理、直观想象和数学建模的培养.内容索引010203第一环节必备知识落实第

2、二环节关键能力形成第三环节学科素养提升第一环节必备知识落实【知识筛查】 1.正态密度函数及其图象(1)正态密度函数的解析式为 ,xR,其中R,0为参数.(2)正态密度函数对应的图象称为正态密度曲线,简称正态曲线.2.正态分布若随机变量X的概率分布密度函数为f(x),则称随机变量X服从正态分布,记为XN(,2).特别地,当=0,=1时,称随机变量X服从标准正态分布.问题思考1若随机变量XN(,2),则参数和的意义是什么?和分别为随机变量X的均值和标准差. 3.正态曲线的特点(1)曲线在x轴的上方,曲线与x轴围成的面积总为1;(2)曲线是单峰的,它关于直线x=对称;(3)曲线在x=处达到峰值(4)

3、当|x|无限增大时,曲线无限接近x轴.问题思考2参数,对正态曲线的位置和形状有何影响?(1)当一定时,正态曲线的位置由确定,且随着的变化而沿x轴平移,如图所示.(2)当一定时,正态曲线的形状由确定.越小,峰值越高,曲线越“瘦高”,表示随机变量的分布越集中;越大,峰值越低,曲线越“矮胖”,表示随机变量的分布越分散,如图所示.图 图4.3原则假设XN(,2),可以证明:对给定的kN*,P(-kX+k)是一个只与k有关的定值.特别地,P(-X+)0.682 7,P(-2X+2)0.954 5,P(-3X+3)0.997 3.在实际应用中,通常认为服从于正态分布N(,2)的随机变量X只取-3,+3中的

4、值,这在统计学中称为3原则.【知识巩固】 1.下列说法正确的画“”,错误的画“”.(1)随机变量X服从正态分布,通常用XN(,2)表示,其中参数和2分别表示正态分布的均值和方差.()(2)正态曲线是单峰的,其与x轴围成的面积随参数,的变化而变化.()(3)正态曲线可以关于y轴对称.()2.已知随机变量XN(2,2),且P(X4)=0.8,则P(0X2)=()A.0.6B.0.4C.0.3D.0.2C由题意可知P(X2)=0.5,P(0X2)=P(2X4)=P(X4)-P(X2)=0.3.故选C.3.(多选)已知甲、乙两类水果的质量(单位:kg)分别服从正态分布 ,其正态曲线如图所示,则下列说法

5、正确的是()A.乙类水果的平均质量为0.8 kgB.甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均质量左右C.12ABC因为甲的图象关于直线x=0.4对称,乙的图象关于直线x=0.8对称,所以1=0.4,2=0.8,故A正确,C正确.因为甲的图象比乙的图象更“瘦高”,所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均质量左右,12,故B正确,D错误.4.已知随机变量XN(0,1),则X在区间(-,-2)内取值的概率约为. (精确到千分位)5.设某城市居民私家车的平均每月汽油费用为随机变量X(单位:元),经统计,XN(520,14 400),从该城市私家车中随机选取容量为10 000的样本,则平均每月汽

6、油费用在区间(400,640)内的私家车约有辆.0.0236 827因为XN(520,14 400),所以=520,=120,所以P(400X640)=P(520-120X520+120)0.682 7.所以平均每月汽油费用在区间(400,640)内的私家车约有10 0000.682 7=6 827(辆).第二环节关键能力形成能力形成点1正态曲线及其性质例1(多选)已知三个正态密度函数 ,xR(i=1,2,3)的图象如图所示,则下列结论正确的是()A.1=2=3B.1=23D.12=3BD观察图象可知12=3,1=23. 解题心得对于正态曲线,首先应抓住图象的两个实质性特点:一是对称轴为直线x

7、=,二是峰值为 .这两点确定以后,相应参数,便确定了,然后根据参数对图象影响的规律进行判断.对点训练1设随机变量 ,X,Y的密度曲线如图所示,则有()A.12,12B.12C.12,12,12A根据正态曲线的特点,观察题中图象可知12,15).拓展延伸例2条件不变,若P(Xc+1)=P(Xc+1)=P(Xc-1),即c=1. 解题心得利用正态分布求概率的两种方法(1)对称法:已知XN(,2),因为正态曲线关于直线x=对称,所以X的取值在关于直线x=对称的区间上的概率相等.(2)3法:已知XN(,2),则P(-X+)0.682 7,P(-2X+2)0.954 5, P(-3X+3)0.997 3

8、.对点训练2已知随机变量XN(1,2),若P(-1X3)=()A第三环节学科素养提升正态分布的实际应用 典例1(多选)已知在某市的一次学情检测中,学生的数学成绩X服从正态分布N(100,100),其中90分为及格线,120分为优秀线,则下列说法正确的是()附:若随机变量X服从正态分布N(,2),则P(-X+)0.682 7,P(-2X+2)0.954 5,P(-3X+3)0.997 3.A.该市学生数学成绩的均值为100B.该市学生数学成绩的标准差为100C.该市学生数学成绩的及格率超过0.8D.该市学生数学成绩不及格的人数和优秀的人数大致相等答案:AC解析:依题意,=100,=10,故该市学

9、生数学成绩的均值为100,标准差为10,故A正确,B错误.因为XN(100,100),所以P(X100)=P(X100)=0.5,P(90X110)0.682 7,P(80X120)0.954 5,所以该市学生数学成绩不及格的人数比优秀的人数多很多,故D错误.典例2有一种精密零件,其尺寸X(单位:mm)服从正态分布N(20,4).若这批零件共有5 000个,试求:(1)这批零件中尺寸在1822 mm的零件所占的百分比;(2)若规定尺寸在2426 mm的零件不合格,则这批零件中不合格的零件大约有多少个?解:(1)因为XN(20,4),所以=20,=2,所以P(18X22)0.682 7,所以这批零件中尺寸在1822 mm的零件所占的百分比约为68.27%.(2)因为P(16X24)0.954 5,P(14X26)0.997 3,所以P(24X26)= P(14X2