一类具有对称性二阶微分方程的异宿轨道(图文)

1、一类具有对称性二阶微分方程的异宿轨道(图文)论文导读：讨论一类具有对称性的二阶微分方程异宿轨道的存在性和唯一性.关键词：变分法，二阶微分方程，异宿轨道1 引言异宿轨道的研究在冲击波和孤立波问题中得到充分的重视【1】,它在微分系统定性分析中作为特殊的不变集也有非常重要的地位,也因此受到广泛关注,也确的大量研究成果.本文将用变分方法讨论一类二阶微分方程(ODE1)异宿轨道的存在性问题.对于一些偏微分方程,如KdV方程、非线性Schrdinger方程等,当考虑对于一个空间变量与一个时间变量情形下的某种特殊解(如行波解)时,可以转化为这类常微分方程【2】,它也是构成二阶动力系统的根本常微分方程.因而分

2、析这类方程的公共特性,找出其异宿轨道存在的条件,对分析众多具体物理方程的异宿轨道有极其重要的作用.本文所讨论的异宿轨道是指方程(ODE1)满足的解.假设方程(ODE1)满足如下条件：(P2)(P3)是大于1的实数;(P4)我们的主要结果是：定理1 假设以下问题的解.因此,在证明定理(1.1)之前,我们需要先给出两个重要的引理【3】.引理1 假设问题(2.2)满足条件(P1)(P4),其中,那么存在唯一正解,为增函数.证明 显然是问题(2.2)的一个上解,同时是问题(2.2)的一个下解,这里的为充分小的常数.由最大值原理【4】知问题(2.2)的任意解在区间都满足,这说明问题(2.2)存在一正解.

3、下面证明唯一性.由上下解方法【5】知道问题(2.2)的解中存在一个最大解,令为.假设是问题(2.2)的另一任意解,那么有.由于是(2.2 ) 的解,那么 (2.3) 用v乘(2.2)中的方程,并用u乘(2.3)式,积分并相减得化解得:这意味着一定有,所以问题(2.2)只有唯一解.最后证明是增函数. 假设不是单调函数,那么存在一个极小值点那么且,这显然和(2.2)式矛盾.引理2 如果问题(2.1)满足条件(P1)(P4),那么有唯一解,为递增的奇函数.证明 设是问题(2.2)在的解.把它延拓到区间的解为,这说明问题(2.1)的解是一奇函数,再由引理1知问题(2.1)的解是一增函数.唯一性同引理1

4、可得.其中是其上解, 是其下解.3 定理1的证明证明取一序列,在区间上考虑问题(2.1),即考虑以下问题(2.4)由引理2知问题(2.4)有唯一解.因为,所以有如下一致估计,(其中c为常数). (2.5)又因为是单调的,所以估计(2.5)式暗含(其中c为常数) .(2.6)因为如果在某点变大,由(2.5)式知将在一个长的区间上保持变大,这与完全变分后等于2的结果矛盾. 用对角线方法【3】可知,存在函数在有一子序列在有界区间上一致收敛,(2.7)其中为问题(1.1)的一解.我们可以推导出存在常数使得对任意的都有(2.8)事实上,对(即),引入能量函数由(3.2)式知所以由(2.8)式知不恒等于0

5、,再由(2.7)式知).既然,说明存在.又因为在增大时一定减小,所以唯一的可能是.又因为是非减的,说明.事实上, 是严格增函数,否那么,能找到一点使得.把问题(1.1)中的方程在区间上积分,可得出矛盾.下面证明唯一性. 设为问题(1.1)的另一解,那么有四种可能.情况一： 和在区间上至少相交两次.即能找到使得,.由引理1可得 (2.9) 因为所以(2.9)式不可能成立.情况二：和在区间上仅相交一次. 设交点为,在区间上积分,由得出矛盾.情况三: 和有唯一的负交点. 由(1.1)式的解为奇函数知和仍是(1.1)式的解,那么把这种情况转化成为了前面两种情况.情况四: 和无交点. 在区间上积分,使,显然也矛盾.唯一性得证,整个定理的证明完毕.【参考文献】【1】 C. C.Conley and J. A. Smoller, Viscosity matrices for two-dimensional nonlinear hyperbolicsystem.Comm. Pure Appl.Math.,1970,23：867-884.【2】高普云,非线性动力学.长沙:国防科技大学出版社,2005.【5】 S. Carl andD. Motreanu, Extremal solutions of quasilinear para