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文档简介

1、第五节 不可数集合 教学要求： 掌握基数为c的集合的性质，并能灵活应用这些性质证明一个集合的基数是连续基数；理解不存在最大基数的定理的意义。 教学重点：不可数集及其性质。 教学难点：不存在最大基数定理的证明。 教学时数：2学时1 到目前为止，在无限集合中我们只讨论了可数集合，是不是无限集合全都是可数集合呢？如果真如此，那么所有无限集合将只能具有同一个基数，而基数概念的引进也将没有什么意义了。下面将看到事实并非如此。一. 不可数集的存在性 定义： 不是可数集合的无限集合称为不可数集合。 命题：区间0，1是不可数集。2 证明 假设0,1是可数集,则 0,1 可以写成一个无穷 序列的 形式：这样继续

2、下去，得到一个闭区间套：3易见开区间（0，1）是不可数的（因（0，1） 0，1 ）。 下面再给出开区间（0，1）是不可数集的证明（利用实数的正规表示）。4证明：假设（0,1）是可数集,则 （0,1） 可以写成一个无穷 序列的形式：把每个数写成正规小数（不能以0为循环节）令x=0.a1a2 a3 a4则得到矛盾，所以(0,1)是不可数集。注： 这种作法常称为Cantor对角线法，在数学论证中有时要用到。定理 1 全体实数所成集合R是一个不可数集合。 5二.连续基数的定义 注意：c只是所有与R对等的那些不可数集合的基数，但c并不是“不可数集”的基数。因为还有基数不是c的不可数集.用a表示全体自然数

3、所成集合的基数，则ca(n).以后称c 为连续基数.6 三.连续基数集的性质7注：定理3改进了教材的定理3。易见有限个连续基数集的并仍为连续基数集。8答：结论仍成立9答：结论仍成立10 四. 无最大基数定理这个定理说明无限也是分很多层次，且不存在最大基数的集合.注：这一定理对A为有限集时是成立的。11尽管 Cantor 在1883年就证明了这个定理，但直到1899年 Cantor 才发现，这个定理本身与他给出的集合的定义有矛盾，即所谓的 Cantor 的最大基数悖论. 因此Cantor在1899年给 Dedekind 的一封信中曾指出,人们要想不陷于矛盾的话,就不能谈论由一切集合所组成的集合.资料： 集合悖论12 从前面我们已经看到：Hilbert在1900年第二届国际数学家大会将它列为二十三个难题的第一个问题。 Cantor认为在 之间不存在别的基数，即不存在这样的集合A,使得 ,但Cantor证明不了,这就是著名的Cantor连续统假设。连续统假设1314另证：xy(x,y)15x(x,y,z)yz16 第一章 书面作业 （电子文档）

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