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1、1.7 无穷小的比较一、无穷小的比较二、等价无穷小的应用观察与比较 观察两个无穷小比值的极限 两个无穷小比值的极限的各种不同情况 反映了不同的无穷小趋于零的“快慢”程度 在x0的过程中 x2比3x趋于零的速度快些 反过来3x比x2趋于零的速度慢些 而sin x与x趋于零的速度相仿 例如:定义:阶的比较举例所以当x0时 3x2是比x高阶的无穷小 即3x2=o(x)(x0) 所以当x3时 x2-9与x-3是同阶无穷小 例2 例3 例1 所以当x0时 sin x 与x是等价无穷小 即sin xx(x0) 例4 阶的比较举例又如常用等价无穷小:以上等价无穷小的关系同学们必须孰记，以备应用。定理1 b

2、与a是等价无穷小的充分必要条件为b =a+o(a) 关于等价无穷小的定理 必要性: 证明 所以b a=o(a)因为设ab 只需证b a=o(a) 充分性: 设b=a+o(a) 则 因此ab 所以当x0时 有 sin x=x+o(x) tan x=xo(x) 例5 定理1 b 与a是等价无穷小的充分必要条件为b =a+o(a) 关于等价无穷小的定理 关于等价无穷小的定理 定理2(等价无穷小的替换定理) 证明:定理2(等价无穷小的替换定理) 求两个无穷小比值的极限时 分子及分母都可用等价无穷小来代替 因此 如果用来代替的无穷小选取得适当 则可使计算简化 因此,需要记住一些等价无穷小.定理2的意义:关于等价无穷小的定理 设对同一变化过程 , , 为无穷小 ,无穷小的性质, (1) 和差取大规则: 由等价可得简化某些极限运算的下述规则. 若 = o() , (2) 和差代替规则: 例如,例如,注意 (3)因式代替规则:界, 则例如,例. 求解: 原式 常用等价无穷小例7. 求解:练习解小结1、能用定义判断高阶无穷小。2、求无穷小之比的极限时，分子、分母可适当选用等价无穷小来代替，使极限计算简便。练习练习1练习2解C常用等价无穷小当x 0时,下列

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