13 第十三讲 奈奎斯特稳定判据

1、 线性控制系统工程 第13 奈奎斯特稳定判据 1 保角映射：柯西定理 考虑一个 F(s):例如ReIm-1-2-3图.13.12S-平面F(s)-平面例如 s1E(-1.5,j0) E(-0.667,j0)G(0.5 , j0) G(0.48 , j0)ReImReIm-3-2-11/2ABCDFDCFBAS 平面F(s) 平面图.13.4 等高线的映射3例 s2例 s3CEDABFImReA BCD-3-2-11/2-1/2E-5/2F-3/2sImRes 平面F(s)平面图.13.5 包围 F(s)的一个极点的轨迹11/2-1-2-3ReImsABCDDBACs平面F(s)平面ImRe图.

2、13.6 不包围 F(s)的一个极点的轨迹4在复平面上绘制矢量，矢量的长度为幅值M ，矢量的相角是与正实轴所成的夹角为。图: 当sp在S平面绕封闭曲线移动时，在F（s）平面也有一个相应的封闭曲线。5保角变换: 虽然F(s)平面内封闭曲线的形状可能与s平面内封闭曲线的形状有所不同，但是相邻线之间的夹角保持不变。柯西定理:如果在s平面内给定的一条封闭曲线按照顺时针方向包围函数F(s)的 P 个极点和 Z 个零点，6那么在 F(s) 平面内得到的封闭曲线将按照顺时针方向共包围原点 N 次, 其中 N = Z - P注意: s平面的封闭曲线上禁止穿过一个零点或者一个极点，因为这将使得相角值无法确定。7

3、 稳定性判据的应用假设 F(s) = 1+GH(s) 在s平面选择一个 s s 一个包围s平面的整个右半平面的顺时针方向的曲线。(奈奎斯特路径). s GH(s) a. 0 S+j (正虚轴): GH(j) b. -j S0 (虚轴): -GH(j) c. 原点: GH(j0) = K 或 8ReIm-j+jFig.13.7 奈奎斯特曲线9d. 半圆: GH(s) F(s) F(s) = 1+GH(s) 在1+GH(s) 平面包围其原点等同于在 GH(s) 平面内包围点（-1，j0）。10ImReImReFig.13.8 包围原点改为包围点 -1+j0GH(s)1+GH(s)114. 如何使用

4、 N = Z P如下:F(s)的零点个数和闭环极点个数相同。b. F(s)的极点个数和开环极点个数相同。12 Z 在右半平面内 1+GH(s)的根的个数。 P在右半平面内 GH(s) 的开环极点的个数。 N 按顺时针方向包围临界点的次数。13奈奎斯特稳定性判据 :对于一个在s平面的右半平面内有 P个开环极点的稳定系统，在GH(s) 平面的开环频率响应就必须按逆时针方向围点(-1, j0) P次。奈奎斯特稳定性判据 :14或者判据可写为: 如果 Z0时的开环频率曲线一直行走。如果临界点(-1,+0j)是在右边经过的，那么系统就不稳定；但如果临界点是在左边经过的，则系统是稳定的。说明 #1.23例

5、: ( P253 )A-1ReImFig.13.15 开环频率响应24说明 #2: 为了计算包围临界点的圈数，从临界点(-1,0j)径向画出切割奈奎斯特图的所有曲线的一条射线。(2) 顺时针包围的圈数可通过 Ncw-Nccw得到， Ncw 为曲线按顺时针方向穿过该射线的次数， Nccw 为曲线按逆顺时针方向穿过该射线的次数。25例 Ncw-Nccw=2-2=0 Z=N+P=(2-2)+0=0. 这个系统稳定.ImReBCDAC-1dbcaXFig.13.17 完整的奈奎斯特图26 奈奎斯特稳定判据的另一种方法考虑一个系统. 初始状态为 r = e = c = b = 0cRBGH-27GH(j

6、)=0.5 1) t = 0+ , r=1, b=0, e=1 2) b=0.5, e=1.5 3) b=0.75, e=1.75 e 2, 系统稳定28GH(j)=2 4) t = 0+ , r=1, b=0, e=1 5) b=2, e=3 6) b=6, e=7 e , 系统是不稳定的当系统 GH(j)1, 系统是稳定的, 否则系统不稳定.291 假设 r 是单位幅值的正弦信号， B相对于r的相位恰好为 -180。 奈奎斯特稳定判据有如下规定 :如果一个系统稳定，那么当沿着频率增加的方向观察，临界点必须从频率响应的左边经过。ttte(t)b(t)r(t)1|b|e|图.13.19 谐波输

7、入作用下的时域信号30问题 : 在GH平面，计算和画出相应的路径 F 。 例题 13.1Solution: Case (A)PointsGH(s)CDAB2j1ReImFig.SP13.1.1CDAB1-123Fig.SP13.1.2ImRe31例 13.2情形 (a) z=1, p=232-2ImReABCDEF-1图.SP13.2.1ImReE F AD图.SP13.2.233在原点有2个开环. 画出其完整的奈奎斯特曲线 . 可见并没有包围(-1,0j) 点，系统是稳定的.-1ReEFADBImFig.SP13.2.4GH(s)34画出其根轨迹证明该结论. 3 个极点, 1 个零点, 2 条渐近线, 渐近线之间的角度为180.渐近线与实轴的交点:ReIm-2-1-1/2图.SP.13.2.535 情形 (b) z=2, p=1 ImABCDEF-1Re-2图.SP13.2.636开环频率特性从保证 总是在第二个象限. 37 其频率响应如下: DBReImE F A图.SP13.2.738其在原点有2个开环极点. 画出其完整的奈奎斯特曲线. 可见包围(-1,0j) 2次, 该系统是不稳定的.BDEFAReImGH(s)