学而思初一数学资料培优汇总(精华)49702精编版

1、 第一讲数系扩张-有理数（一）一、【问题引入与归纳】1、正负数，数轴，相反数，有理数等概念。2、有理数的两种分类：m3、有理数的本质定义，能表成n（n*0,m,n互质）。4、性质：顺序性（可比较大小）；四则运算的封闭性（0不作除数）；稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数。5、绝对值的意义与性质：一a（a-0）a2一a（a0）非负性（lal-0，a-0）非负数的性质：i）非负数的和仍为非负数。ii）几个非负数的和为0,则他们都为0。二、【典型例题解析】：ab。,则回+回四1、若abab的值等于多少？.如果m是大于1的有理数，那么m一定小于它的（）A.相反数B.倒数C.绝对值D.平方3、已知

2、两数a、b互为相反数，c、d互为倒数，X的绝对值是2,求x2（a+b+cd戏才jb06+（_c时值。J.CltJ/J4、如果在数轴上表示a、b两上实数点的位置，如下图所示，那么1a-b|1a,b|化简的结果等于（A.2aB.&C.0D.2b25、已知（a一3）1b一2|=0,求a的值是（）A.2B.3C.9D.6a-bb-CC-a,有3个有理数a,b,c,两两不等，那么bcCaa-b中有几个负数？b设三个互不相等的有理数，既可表示为1,a+b，a的形式式，又可表示为0,a,b2006.2007的形式，求a+b。X/上.弛蚂.幽8、三个有理数a,b,C的积为负数，和为正数，且1al1blicIa

3、bbcac3,2,则ax+bx+cx+1的值是多少？9、若a，b，c为整数，且la-b|2O07+lca,00：1,试求|caI+|ab|+1bc|的值。三、课堂备用练习题。1、计算：1+2-3-4+5+6-7-8+2005+20062、计算：1X2+2X3+3X4+-+n(n+1)3、计算:59+248163264-134、已知a，b为非负整数，且满足1a-A+abn1,求a，b的所有可能值。5、若三个有理数|a|b|c|abc|11a，b，c满足abc，求abc的值。第二讲数系扩张-有理数（二）一、【能力训练点】：1、绝对值的几何意义|川=|2一0|表示数2对应的点到原点的距离。1a-b1

4、表示数a、b对应的两点间的距离。2、利用绝对值的代数、几何意义化简绝对值。二、【典型例题解析】：1、（1）若一220,化简1a*21*|a-21l|x|-2x|（2）若x0,化简1X3|一|x|XMa2、设ab,则1aM|b|4、若1X*|X一2|=7,求x的取值范围。5、不相等的有理数a，3c在数轴上的对应点分别为A、B、C,如果|a-b|+|b-c|=|a-c|,那么B点在A、C的什么位置？6、设aYbYcYd,求1x-a|+|x-b|+|x-c|+|x-d|的最小值。7、abcde是一个五位数，aYbYcdYe,求1a-b1*|b-。|+|cd|+|de|的最大值。8设ai,a2,a3,

5、l11,a2006都是有理数令M=(ai+a2+a311+a2005)(a2+a3+a4+|l|+a206)N=(4+a?+a3+|+a206)(a?+a3+a4+|+22005)试比较M、N的大小。三、【课堂备用练习题】：1、已知f(x)=|x1|+|x2|+|x3|+川+|x2002|求f(x)的最小值。22、若1ab11与(ab1)互为相反数，求3a+2b-1的值。回.回.皿3、如果abc。，求abc的值。4、x是什么样的有理数时，下列等式成立？(1)|(x2)+(x4)|=|x2|+|x4|(7x+6)(3x5)|=(7x+6)(3x5)|x-|x|5、化简下式：x第三讲数系扩张-有理

6、数(三)一、【能力训练点】：1、运算的分级与运算顺序；2、有理数的加、减、乘、除及乘方运算的法则。(1)加法法则：同号相加取同号，并把绝对值相加；异号相加取绝对值较大数的符号，并用较大绝对值减较小绝对值；一个数同零相加得原数。(2)减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。(3)乘法法则：几个有理数相乘，奇负得负，偶负得正，并把绝对值相乘。(4)除法法则：除以一个数，等于乘以这个数的倒数。3、准确运用各种法则及运算顺序解题，养成良好思维习惯及解题习惯。二、【典型例题解析】：1、计算:2、计算:(1)、(2)、(-18.75)20.75丁!23(0.125)12：i4160481+(+6.25

7、)+(-3.25)+18.25111I362-(3)、(-43)+13)I2JIJi32I2-I12-1.753、计算：I3)lI3)4、化简：计算：(1)71114一一-5-4-38248(2)1+-375-3-5_8,62+4-0.125301-ri3-5:i4(3)_7.7757十(5)-4.035X12+7.535X12-36X(9618)5、计算:（2）+3乂（一1）一（一1）(2)-11998-(1-0.5)xlx3(3(22)3)1-1-I-0.5-2X-I4；2(3)7、计算:1347313112后-0.25(-4)*-1.25-4”。45)(22001)3(-1)2002第四

8、讲数系扩张-有理数（四）一、【能力训练点】：1、运算的分级与运算顺序；2、有理数的加、减、乘、除及乘方运算的法则。3、巧算的一般性技巧：凑整（凑0）;巧用分配律去、添括号法则；裂项法4、综合运用有理数的知识解有关问题。二、【典型例题解析】：TOC o 1-5 h z237970.71-6.62.20.73.3-211(1-231、计算：11731181111”111111L)(一,一,一)-(1一一-!H)199623419972319971111(nr)234199622二-22(-2)2-13.14-7：|3-1-3.1413、计算：(-1)5-3鼻-24-3(-2)2-(-4)-(-1)

9、3-7?4、化简:.一1.1.一1.(x+y)+(2x+_y)+(3x+_y)+)|)(9x+_y)当x=2,y=9时的值。Sn5、计算:_2，22213141n12222-132-142-1n2-1Sn6、比较234.n2+4+8416*2与2的大小。7、计算:1347313112旨会。25匕”-1.25-4”。45)(2就）3（产a2b,c=x8、已知a、b是有理数，且a0,b0,求使|x-a|+|x-b|=|ab|成立的x的取值范围。(21)(221)(241)(281)(2161)732L12、计算：2-113200420a二一已知280坞2,004200522005-02005b二0

10、32004220040200420062006-2006c=2005M2005+2005,求abc。999119P=-99，q=-9014、已知99,求p、q的大小关系。x:r.回,JcJ|15、有理数a,b,c均不为0,且a+b+c=0。设b+cc+aa+b，求代数式x19-99x+2008的值。第九讲一元一次方程（一）一、知识点归纳：1、等式的性质。2、一元一次方程的定义及求解步骤。3、一元一次方程的解的理解与应用。4、一元一次方程解的情况讨论。二、典型例题解析：(2)32x-I-2|342、能否从（a-2）x=b+3；得到b3x=a-2,为什么？反之，能否从b3x=a-2得到2x-12x

11、1,TOC o 1-5 h z=-11、解下列方程：(1)360.3x-0.21.5-5x0.7=(3)0.20.5(a-2)x=b3,为什么?2kxmx-nk=23、若关于x的方程36，无论K为何值时，它的解总是x=1,求m、n的值。TOC o 1-5 h z5544若(3x1)a5xa4x+111a1xa0求a5-a4*a3a2*a1a0的值。11mx-3x220075、已知x=1是方程22的解，求代数式（m-7m+9）的值。6、关于x的方程（2k1）x=6的解是正整数，求整数K的值。7、若方程7-3x2x-=4-6x5与方程2mx一3x-54同解，求m的值。/228、关于x的一元一次方程

12、（m-1）x（m+1）x+8=0求代数式200（m+x）（x-2m）+m的值。二2006上.上上|9、解方程1223342006200710、已知方程2(x+1)3(x1)的解为a+2,求方程22(x+3)3(xa)-3a的解。11、当a满足什么条件时，关于x的方程d一2|一|x-5|=a,有一解；有无数解；无解。第十讲一元一次方程（2）一、能力训练点：1、列方程应用题的一般步骤。2、利用一元一次方程解决社会关注的热点问题（如经济问题、利润问题、增长率问题）二、典型例题解析。1、要配制浓度为20%的硫酸溶液100千克，今有98%的浓硫酸和10%的硫酸，问这两种硫酸分别应各取多少千克？2、一项工

13、程由师傅来做需8天完成，由徒弟做需16天完成，现由师徒同时做了4天，后因师傅有事离开，余下的全由徒弟来做，问徒弟做这项工程共花了几天？3、某市场鸡蛋买卖按个数计价，一商贩以每个0.24元购进一批鸡蛋，但在贩运途中不慎碰坏了12个，剩下的蛋以每个0.28元售出，结果仍获利11.2元，问该商贩当初买进多少个鸡蛋？4、某商店将彩电按原价提高40%,然后在广告上写“大酬宾，八折优惠”，结果每台彩电仍可获利270元，那么每台彩电原价是多少？5、一个三位数，十位上的数比个位上的数大4,个位上的数比百位上的数小2,若将此三位数的个位与百位对调，所得的新数与原数之比为7:4,求原来的三位数？6、初一年级三个班

14、，完成甲、乙两项任务，（一）班有45人，（二）班有50人，（三）班有43人，现因任务的需要，需将（三）班人数分配至（一）、（二）两个班，且使得分配后（二）班的总人数是（一）班的总人数的2倍少36人，问：应将（三）班各分配多少名学生到（一）、（二）两班？117、一个容器内盛满酒精溶液，第一次倒出它的3后，用水加满，第二次倒出它的2后用水加满，这时容器中的酒精浓度为25%,求原来酒精溶液的浓度。8、某中学组织初一同学春游，如果租用45座的客车，则有15个人没有座位；如果租用同数量的60座的客车，则除多出一辆外，其余车恰好坐满，已知租用45座的客车日租金为每辆车250元，60座的客车日租金为每辆30

15、0元，问租用哪种客车更合算？租几辆车？9、1994年底，张先生的年龄是其祖母的一半，他们出生的年之和是3838,问到2006年底张先生多大？10、有一满池水，池底有泉总能均匀地向外涌流，已知用24部A型抽水机，6天可抽干池水，若用21部A型抽水机13天也可抽干池水，设每部抽水机单位时间的抽水量相同，要使这一池水永抽不干，则至多只能用多少部A型抽水机抽水？11、狗跑5步的时间，马能跑6步，马跑4步的距离，狗要跑7步，现在狗已跑出55米，马开始追它，问狗再跑多远马可以追到它？12、一名落水小孩抱着木头在河中漂流，在A处遇到逆水而上的快艇和轮船，因雾大而未被发现，1小时快艇和轮船获悉此事，随即掉头追

16、救，求快艇和轮船从获悉到追及小孩各需多少时间？数形结合谈数轴一、阅读与思考数学是研究数和形的学科，在数学里数和形是有密切联系的。我们常用代数的方法来处理几何问题；反过来，也借助于几何图形来处理代数问题，寻找解题思路，这种数与形之间的相互作用叫数形结合，是一种重要的数学思想。运用数形结合思想解题的关键是建立数与形之间的联系，现阶段数轴是数形结合的有力工具，主要体现在以下几个方面：1、利用数轴能形象地表示有理数；2、利用数轴能直观地解释相反数；3、利用数轴比较有理数的大小；4、利用数轴解决与绝对值相关的问题。二、知识点反馈1、利用数轴能形象地表示有理数；TOC o 1-5 h z例1:已知有理数a

17、在数轴上原点的右方，有理数b在原点的左方，那么（）Aabbca+b0Da-b0拓广训练：1、如图a，b为数轴上的两点表示的有理数，在a+b,b2a,ab,b-a中，负数的个数有（）（“祖冲之杯”邀请赛试题）-A.1B.2C.3D.4aOb3、把满足20，b0且a+b0,那么有理数a,b,-a,b的大小关系是。（用“号连接）（北京市“迎春杯”竞赛题）拓广训练：若m0且m|n，比较m，n,m+n,m_n,n-m的大小，并用“，号连接。例4:已知a-3,试讨论a与3的大小2、已知两数a,b，如果a比b大，试判断a与b的大小4、利用数轴解决与绝对值相关的问题。TOC o 1-5 h z HYPERLI

18、NK l bookmark35 例5：有理数a,3c在数轴上的位置如图所示，式子a+b+a+b+b-c化简结果为A（）-1aO1bcA.2a+3bcB.3b-cc.b+cD.c-b拓广训练：1、有理数a，b,c在数轴上的位置如图所示，则化简a+b_b_1_a_c_1_c的结果-a为。baOc12、已知ab*a一b=2b,在数轴上给出关于a,b的四种情况如图所示，则成立的-一一：a0bb0a0ab0ba3、已知有理数a，b,c在数轴上的对应的位置如下图：则C1+ac+ab化简后的结果是（）（湖北省初中数学竞赛选拨赛试题）匚，一-1cOabAb-1b2a_b_1c1+2a_b_2cd.1_2c+b

19、三、培优训练1、已知是有理数，且（xT（2y）=,那以x*y的值是（）TOC o 1-5 h z13133A.2b.2c.万或一2d.-1或万再向右移动55个单5bIFa叵012、（07乐山）如图，数轴上一动点A向左移动2个单位长度到达点位长度到达点C.若点C表示的数为1,则点A表示的数为（A.7B.3C.一3D.一23、如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A、B、C、D对应的数分别是整数a，b，C，d且d2a=10,那么数轴的原点应是（）aBCDA.A点B.B点C.C点D.D点4、数a,b，c，d所对应的点a,b,c,D在数轴上的位置如图所示，那么a+c与b+d的大小关系是（

20、）*AD0CBA.a+cb+dD,不确定的5、不相等的有理数a，b，C在数轴上对应点分别为A,B,C,若ab*bc=ac,那么点B（）A.在A、C点右边B.在A、C点左边C.在A、C点之间D.以上均有可能b.只一个x使y取最小值d.有无穷多个x使y取最小值6、设y=X1+X,1,则下面四个结论中正确的是（）（全国初中数学联赛题）a,y没有最小值C.有限个x（不止一个）使y取最小值117、在数轴上，点A,B分别表示3和5,则线段AB的中点所表示的数是8、若a0，b0,则使xa+xb=ab成立的x的取值范围是9、X是有理数，则100 x221X95221的最小值是dbOac10、已知a，b，C，d

21、为有理数，在数轴上的位置如图所示:且6a=6b=3c=4d=6,求3a-2d|-3b-2a+2b-c的值11、(南京市中考题)(1)阅读下面材料:点A、B在数轴上分另J表示实数a，b,A、B两点这间的距离表示为AB,当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点a在原点，如图1,AB=IOB4bHa-b；当A、B两点都不在原点时，如图2,点A、B都在原点的右边如图3,点A、B都在原点的左边O(A)BAB=|OB-OA=|b-a=b-a=|a-b|.aBb-9如图4,占八、A、b在原点的两边IAB=OA+|OB=a+|b=a+(-b)=|a-bB综上，数轴上A、B两点之间的距离AB=ab(2)回答下列问

22、题：数轴上表示2和5两点之间的距离是,数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离是，如果AB=2,那么xAB|=|OBOA=|ba=b(a)oa-a.b当代数式x+1+x-2取最小值时，相应的x的取值范围是求x-1+x-2+x-3+x-1997的最小值。聚焦绝对值一、阅读与思考绝对值是初中代数中的一个重要概念，引入绝对值概念之后，对有理数、相反数以及后续要学习的算术根可以有进一步的理解；绝对值又是初中代数中一个基本概念，在求代数式的值、代数式的化简、解方程与解不等式时，常常遇到含有绝对值符号的问题，理解、掌握绝对值概念应

23、注意以下几个方面：1、脱去绝值符号是解绝对值问题的切入点。脱去绝对值符号常用到相关法则、分类讨论、数形结合等知识方法。去绝对值符号法则：aa0a=0(a=0)、-a(ac，那么（a+bc）=o（北京市“迎春杯”竞赛题）2、若a=8,b=5,且a+bA0,那么ab的值是（）A.3或13B.13或-13C.3或-3D.-3或-132、恰当地运用绝对值的几何意义例2:x+1+x1的最小值是（）A.2B.0C.1D.-1解法1、分类讨论当X1时x+1+|x1=x+1+(x-1)=2x2比较可知，x+1+x-1的最小值是2,故选Ao解法2、由绝对值的几何意义知X1表示数x所对应的点与数1所对应的点之间的

24、距离;x*1表示数x所对应的点与数-1所对应的点之间的距离；x+1+x-1的最小值是指x点到1与-1两点距离和的最小值。如图易知*x-1x1x当1MxW1时，X+1+XT的值最小，最小值是2故选A。拓广训练：已知X3+x+2的最小值是a,X3-x+2的最大值为b,求a+b的值。三、培优训练1、如图，有理数a,b在数轴上的位置如图所示：-2a-10b1则在a+b,b-2a，b-a,a-b,a+2b-4中，负数共有（）（湖北省荆州市竞赛题）A.3个B.1个C.4个D.2个2、若m是有理数，则m一m一定是（）A.零B.非负数C.正数D.负数3、如果x-2+X2=,那么x的取值范围是（）A.X2b,X

25、1c.ab-0D.ab-1TOC o 1-5 h zx-5x-2|x|9、若2Mx0,则abab的值等于。abcabc11、已知a，b，c是非零有理数，且a+b+c=0,abca0,求同IblIclabd的值。12、已知a，b，c，d是有理数，a-bW9,c-dW16,且a-b-c+d=25,求b-a-d-c的值。13、阅读下列材料并解决有关问题：xx0 x=0（x=0）我们知道X（X0）,现在我们可以用这一个结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式X*1+X-2时，可令x+1=0和x-2=0,分别求得x=-x=2（称-1，2分别为x+1与x-2的零点值）。在有理数范围内，零点值x=-1和x

26、=2可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：（1）当xT时，原式=一仪+1）（x-2）=-2x+1；（2）当TEx2时，原式=x+1-仪-2）=3；（3）当x之2时，原式=x+1+x2=2x1。综上讨论，原式-2x12x-1x-1-11）台机床在工作，我们要设置一个零件供应站P,使这n台机床到供应站P的距离总和最小，要解决这个问题，先“退”到比较简单的情形：A1A2A1A2（P）DA3甲P乙甲乙丙如图，如果直线上有2台机床（甲、乙）时，很明显P设在A1和A2之间的任何地方都行，因为甲和乙分别到P的距离之和等于A1到A2的距离.如图，如果直线上有3台机床（甲、乙、丙）时，不难判断，P设在

27、中间一台机床A2处最合适，因为如果P放在A2处，甲和丙分别到P的距离之和恰好为A至|JA3的距离；而如果P放在别处，例如D处，那么甲和丙分别到P的距离之和仍是A1到A3的距离，可是乙还得走从A2到D近段距离，这是多出来的，因此P放在A2处是最佳选择。不难知道，如果直线上有4台机床，P应设在第2台与第3台之间的任何地方；有5台机床，P应设在第3台位置。问题(1):有n机床时，P应设在何处？问题(2)根据问题(1)的结论，求xT+x-2+x-3+x-617的最小值。有理数的运算一、阅读与思考在小学里我们已学会根据四则运算法则对整数和分数进行计算，当引进负数概念后，数集扩大到了有理数范围，我们又学习

28、了有理数的计算，有理数的计算与算术数的计算有很大的不同：首先，有理数计算每一步要确定符号；其次，代数与算术不同的是“字母代数”，所以有理数的计算很多是字母运算，也就是通常说的符号演算。数学竞赛中的计算通常与推理相结合，这不但要求我们能正确地算出结果，而且要善于观察问题的结构特点，将推理与计算相结合，灵活选用算法和技巧，提高计算的速成度，有理数的计算常用的技巧与方法有：1、利用运算律；2、以符代数；3、裂项相消；4、分解相约；5、巧用公式等。二、知识点反馈加法交搦和=b+a=1、利用运算律：加法运算律网法结侪线b+c户佃+b)+c乘法运算律乘法交换律ab=baJ乘法结合律a(bc)=(ab)c乘

29、法分配律a(b+c)=ab+ac例1：计算:234-2.75+53J22_2一一一-一一4.64-2.75-7-=4.6-2.75-3=4.6-5.75=-1.15TOC o 1-5 h z解：原式=33拓广训练：2275-0.6-0.08-0.9221、计算(1)51111(2)31+59_3+1；-6+工+9+1+94114)11144例2:计算:24-950251(i110一k50=10 x50一乂501=-(5002)=-498TOC o 1-5 h z解：原式=125JI25)拓广训练：计算:2、裂项相消ab11111m11=+=一二一一(1)abab；(2)n(n+1)nn+1；(

30、3)n(n+m)nn+m211(4)n(n+1(n+2)n(n+1)(n+1(n+2)1111+.+例3、计算12233420092010；一1+11一1+1一1+，一，】解：原式=、2，123，134J20092010)1_1二_11，一，=2233420092010TOC o 1-5 h z120091-=20102010拓广训练：+*，1、计算:133557200720093、以符代数例4:计算：172727-11371739。12o17138一17273839解:分析：呜3412437=16,2726,11-二27171739103912138令A=171727-5383917则271

31、373427-11=16173927247626-10=2A1739原式=2A-：A=2拓广训练:1.1.2320061200520062320054、分解相约124248n2n4n例5：计算:l1M3M9+2M6M18+-+n，3n9n)1M2M4-2M(1M2M4)十十n(1M2M4)2-1父2M4M(1+2十一,+n)2解.原式=11父3父9+2父(1父3M9)+n(1M3M9)二日父3M9M(1+2+n)211X2X4I_l1M3M9J64729三、培优训练1、a是最大的负整数,2007ab是绝对值最小的有理数，则20092008=2、计算：（1）3M55M77M919971999=:

32、；-0.25i,I,8)2:2i7,i.6iI32人1898a299b23、若a与-b互为相反数，则1997abTOC o 1-5 h z1131351397+I+I+*+,+I4、计算：2144）（666）（989898L5、计算：2-22_23-24-25-26-27-28-29+210=。199797199898一，一，一，一6、199898199999这四个数由小到大的排列顺序是。7、（2007“五羊杯”）计算：3.14父31.4+628父0.686+68.6父6.86=（）A.3140B.628C.1000D.12001-23-4：-14158、（2005“希望杯”）一2+4-6+8

33、-+28-30等于（）111）A.4b4c2d.256-42.53-：-29、（2006“五羊杯”）计算：2父9+8+1父4.5+4=（）5102040A.2b.3。9d,9233.yx20082。3.。200810、（2009鄂州中考）为了求1+2+2+2的值，可令S=1+2+2+2,八2八3/4八2009-20092-3-2008则2s=2+2+2+十2,因此2S-S=2-1,所以1+2+2+2=220091仿照以上推理计算出1+52+53+52009的值是（）52009-152010-1A、52009-1b、52010-1以4d、11、a1，a2，a3a2004都是正数，如果M=a1a2

34、a2003a2a3a2004N=（a1+a2+11,*a2004）父匕2+a3+,*a2003）那么M,N的大小关系是A.MANB.M=NC,M,且yzx，那么x+z+V+Z*V的值(C)A.是正数B.是负数C.是零D.不能确定符号解：由题意，x、v、z在数轴上的位置如图所示：所以x+z|+y+z-x-y=xz-(yz)-(x-y)q二0分析：数与代数这一领域中数形结合的重要载体是数轴。这道例题中三个看似复杂的不等关系借助数轴直观、轻松的找到了x、y、z三个数的大小关系，为我们顺利化简铺平了道路。虽然例题中没有给出数轴，但我们应该有数形结合解决问题的意识。例3.（分类讨论的思想）已知甲数的绝对

35、值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8,求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？分析：从题目中寻找关键的解题信息，“数轴上表示这两数的点位于原点的两侧”意味着甲乙两数符号相反，即一正一负。那么究竟谁是正数谁是负数，我们应该用分类讨论的数学思想解决这一问题。解：设甲数为x,乙数为y由题意得：x=3y,（1）数轴上表示这两数的点位于原点两侧：若x在原点左侧，y在原点右侧，即x0,则4y=8,所以y=2,x=-6若x在原点右侧，y在原点左侧，即x0,y0,则-4y=8,所以y=-2,x=6（2）数轴上表示这两数的点位于原点同侧：若x、y在原点左侧，

36、即x0,y0,y0,则2y=8,所以y=4,x=12例4.（整体的思想）方程X-2008=2008一x的解的个数是（D）A.1个B.2个C.3个D.无穷多个分析：这道题我们用整体的思想解决。将x-2008看成一个整体，问题即转化为求方程a二-a的解，利用绝对值的代数意义我们不难得到，负数和零的绝对值等于它的相反数,所以零和任意负数都是方程的解，即本题的答案为D。例5.（非负性）已知|ab2|与|a1|互为相互数，试求下式的值.1aba1b1a2b2+111+1a2007b2007分析：利用绝对值的非负性，我们可以得到:|ab-2|=|a1|=0,解得：a=1,b=2于是1ab11+a1b1a2

37、b2+HI+1a2007b2007+2008200934200812009200920082009在上述分数连加求和的过程中，我们采用了裂项的方法，巧妙得出了最终的结果.同学们可以再深入思考，如果题目变成求20082010值，你有办法求解吗？有兴趣的同学可以在课下继续探究。例6.(距离问题)观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离4与-2,3与5,-2与-6,一4与3.并回答下列各题：(1)你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答：相等(2)若数轴上的点A表示的数为x,点B表示的数为一1,则A与B两点间的距离可以表示为x(1)|=|x+1分析：点B表示的数为一1,所以我们可以在数轴

38、上找到点B所在的位置。那么点A呢？因为x可以表示任意有理数，所以点A可以位于数轴上的任意位置。那么，如何求出A与B两点间的距离呢？结合数轴，我们发现应分以下三种情况进行讨论。TOC o 1-5 h z11J1，:：K0-IX0-1oX当x-1时，距离为-x-1,当-1x0,距离为x+1综上，我们得到A与B两点间的距离可以表示为x+1(3)结合数轴求得x-2,x+3的最小值为5,取得最小值时x的取值范围为-3x_3的x的取值范围为x-1分析：同理x+1表示数轴上x与-1之间的距离，x*4表示数轴上x与-4之间的距离。本题即求，当x是什么数时x与-1之间的距离加上x与-4之间的距离会大于3。借助数

39、轴，我们可以得到正确答案：x-1。说明：借助数轴可以使有关绝对值的问题转化为数轴上有关距离的问题，反之，有关数轴上的距离问题也可以转化为绝对值问题。这种相互转化在解决某些问题时可以带来方便。事实A-B上，表示的几何意义就是在数轴上表示数A与数B的点之间的距离。这是一个很有用的结论，我们正是利用这一结论并结合数轴的知识解决了(3)、(4)这两道难题。小结.理解绝对值的代数意义和几何意义以及绝对值的非负性.体会数形结合、分类讨论等重要的数学思想在解题中的应用第二讲：代数式的化简求值问题一、知识链接.“代数式”是用运算符号把数字或表示数字的字母连结而成的式子。它包括整式、分式、二次根式等内容，是初中

40、阶段同学们应该重点掌握的内容之一。.用具体的数值代替代数式中的字母所得的数值，叫做这个代数式的值。注：一般来说，代数式的值随着字母的取值的变化而变化.求代数式的值可以让我们从中体会简单的数学建模的好处，为以后学习方程、函数等知识打下基础。二、典型例题例1.若多项式2mx2x2+5x+8(7x23y+5x)的值与x无关，求m2_2m2_(5m-4)+m的值.分析：多项式的值与x无关，即含x的项系数均为零_22_2_2一一因为2mx-x5x8-7x-3y5x=2m-8x3y8所以m=4TOC o 1-5 h z222将m=4代人，m-2m(5m4)+m=m+4m-4=-16+16-4=-4利用“整

41、体思想”求代数式的值5,3-5,3-例2.x=-2时，代数式ax+bx+cx6的值为8,求当x=2时，代数式ax+bx+cx6的值。5,3分析：因为ax+bx+cx6=8当x=-2时，25a-23b-2c-6=8得到25a+23b+2c+6=-8,_5_3._.所以2a2b2c=-8-6=-14当x=2时，ax5+bx3+cx-6=25a+23b+2c-6=(-14)6=-2022例3.当代数式x+3x+5的值为7时，求代数式3x+9x2的值.分析：观察两个代数式的系数2_22由x+3x+5=7得x+3x=2，利用方程同解原理，得3x+9x=6-2整体代人，3x9x-2=4代数式的求值问题是中

42、考中的热点问题，它的运算技巧、解决问题的方法需要我们灵活掌握,整体代人的方法就是其中之一。TOC o 1-5 h z232例4.已知a+a1=0,求a+2a+2007的值.232分析：解法一(整体代人)：由a+a_1=0得a+aa：0所以:32a2a2007322naaa20072解法二(降次)三咙程作为2007实世界相等关系的数学模型，还具有降次的功能。=12007TOC o 1-5 h z+a1=0徨a=1a=2008所以:32a2a200722=a2a2a22007=(1-a)a2a22007_2=a-a2a2007二aa22007=12007二20082,解法三(降次、消兀)：a+a=

43、1(消兀、减项)_2_a2a2007:a3a2a22007二a(a2a)a220072一一一二aa2007=12007二2008例5.(实际应用)A和B两家公司都准备向社会招聘人才，两家公司招聘条件基本相同，只有工资待遇有如下差异：A公司，年薪一万元，每年加工龄工资200元；B公司，半年薪五千元，每半年加工龄工资50元。从收入的角度考虑，选择哪家公司有利？分析：分别列出第一年、第二年、第n年的实际收入(元)第一年：A公司10000;B公司5000+5050=10050第二年：A公司10200;B公司5100+5150=10250第n年：A公司10000+200(n-1);B公司：5000+10

44、0(n-1)+5000+100(n-1)+50=10050+200(n-1)由上可以看出B公司的年收入永远比A公司多50元，如不细心考察很可能选错。例6.三个数a、b、c的积为负数，和为正数，且bc日竺呼b|Cabacbc3,2,贝uax+bx+cx+1的值是解：因为abc0,所以a、b、c中只有一个是负数。不妨设a0,c0则ab0,ac0所以x=-1+1+1-1-1+1=0将x=0代入要求的代数式，得到结果为1。同理，当b0,c0时，即x5,5x-2=3,5x=5,x=12因为x=1符合大前提x5,所以此时方程的解是x=12当5x-2=0时，即x=5,得到矛盾等式0=3,所以此时方程无解TO

45、C o 1-5 h z21当5x-20时，即x5,5x-2=-3,x=5121因为x=5符合大前提x0时，即x1,x-1=-2x+13x=2x=32因为x=3不符合大前提x1,所以此时方程无解当x-1=0时，即x=1,0=-2+1,0=-1,此时方程无解当x-10时，即x1,1-x=-2x+1,x=0因为x=0符合大前提x/2,则/2的余角是(C)1111A.2(/1+/2)B.2/1C.2(/1/2)D.2/21分析：因为/1+/2=180,所以2(/1+/2)=901190-72=2(/1+/2)-Z2=2(/1/2)第六讲：相交线与平行线一、知识框架二、典型例题.下列说法正确的有（B）D

46、对顶角相等；相等的角是对顶角；若两个角不相等则这两个角一定不是对顶角若两个角不是对顶角，则这两个角不相等.A.1个B.2个C.3个D.4个.如图所示，下列说法不正确的是（D）毛A.点B到AC的垂线段是线段AB;B.点C到AB的垂线段是线段ACC.线段AD是点D到BC的垂线段；D.线段BD是点B到AD的垂线段.下列说法正确的有（C）TOC o 1-5 h z在平面内，过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线；在平面内，过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线在平面内，过一点可以任意画一条直线垂直于已知直线在平面内，有且只有一条直线垂直于已知直线.A.1个B.2个C.3个D.4个.一学员驾驶汽

47、车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（A）C.第一次向右拐50第二次向右拐130D.第一次向左拐50第二次向左拐130.如图，若ACLBC于C,CDLAB于D,则下列结论必定成立的是（A.CDADB.ACBDD.CDBD分析：考察垂线段的性质、基本图形一一“双垂直”图形.如图，已知AB/CD,直线EF分别交AB,CD于E,F,EG?平分/BEF,若/则/2=54.如图,AB/EF/CD,EG/BD,则图中与/1相等的角（/1除外）共有（A.第一次向左拐30第二次向右拐30B.第一次向右拐?A.6个B.5个C.4个D.3个.如图，直线11、12、13交于O点，图中出

48、现了几对对顶角，若答案：3对，n(n+1)DCn条直线相需呢？b.如图，在4父4的正方形网格中，N1,212，/34的大小关系是10.如图所示,L1,L2,L3交于点0,/1=/2,/3:/1=8:1,求/4的度数.(方程思想)答案：3611.如图所示，已知AB/CD,分别探索下列四个图形中/的四个关系中任选个加以说明13.已知：如图,12.如图，若AB/EF,ZC=90，求x+y-z度数。分析：如图，添加辅助线AB证出：x+y-z=90F求证：E=F所以.EAP二所以AE/FP所以E=F第七讲：平面直角坐标系一、知识要点：1、特殊位置的点的特征(1)各个象限的点的横、纵坐标符号(2)坐标轴上

49、的点的坐标：x轴上的点的坐标为(x，0)，即纵坐标为0；y轴上的点的坐标为(0，y)，即横坐标为0;2、具有特殊位置的点的坐标特征设P(xi,y1)、Pz-yz)R、P2两点关于x轴对称Uxi=x2,且y1=-y2；PI、P2两点关于y轴对称=x1=X2,且y1=y2；PI、P2两点关于原点轴对称UA=x2,且y1=-y2。3、距离(1)点A(x，y)到轴的距离：点A到x轴的距离为1y|；点A到y轴的距离为|x|；(2)同一坐标轴上两点之间的距离：a(xa,0)、b(xb,0),则AB=|xa-xb|；A(0,yA)、B(0,yB),则AB=|yAyB|；二、典型例题TOC o 1-5 h z

50、1、已知点M的坐标为(x,y),如果xyc,b+ca,c+ab（两点之间线段最短）由上式可变形得到：acb,bac,cba即有：三角形的两边之差小于第三边高由三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。中线：连接三角形的顶点和它对边的中点的线段，称为三角形的中线角平分线三角形一个内角的角平分线与这个角对边的交点和这个角的顶点之间线段称为三角形的角平分线二、典型例题（一）三边关系.已知三角形三边分别为2,a-1,4,那么a的取值范围是（）A.1a5B.2a6C.3a7D.4a6.小颖要制作一个三角形木架，现有两根长度为8m和5m的木棒。如果要求第三根木棒的长度

51、是整数小颖有几种选法？可以是多少？分析：设第三根木棒的长度为x,则3Vx2(AB+AC)分析：因为BD+ADAB、CD+ADAC所以BD+AD+CD+ADAB+AC因为AD是BC边上的中线，BD=CD所以AD+BD2(AB+AC)（二）三角形的高、中线与角平分线问题：（1）观察图形，指出图中出现了哪些高线?（2）图中存在哪些相等角？注意基本图形：双垂直图形.如图，在直角三角形ABC中，ACWAB,AD是斜边上的高，DEAC,DFXAB,A.5分析：B.4C.3D.2垂足分别为E、F,则图中与/C（/C除外）相等的角的个数是（）.如图，/ABC中，/A=40,/B=72,CE平分/ACB,CDX

52、AB于D,DFXCE,求/CDF的度数。分析：/CED=40+34=74所以/CDF=74.一块三角形优良品种试验田，现引进四种不同的种子进行对比试验，需要将这块地分成面积相等的四块，请你设计出四种划分方案供选择，画图说明。ATOC o 1-5 h z./ABC中，/ABC、ZACB的平分线相交于点O。,(1)若/ABC=40,/ACB=50,则/BOC=。/(2)若/ABC+/ACB=116,则/BOC=。/(3)若/A=76,则/BOC=。(4)若/BOC=120,，则/A=o(5)你能找出/A与/BOC之间的数量关系吗?2ZF=2ZA思考题：如图:ZABC与/ACG的平分线交于F1;ZF

53、1BC与/F1CG的平分线交于F2;如此下去,/F2BC与/F2CG的平分线交于F3;探究/Fn与/A的关系(n为自然数)8,已知：BE,CE分别为4ABC的外角ZMBC,/NCB的角平分线，第九讲：与三角形有关的角一、相关定理（一）三角形内角和定理：三角形的内角和为180（二）三角形的外角性质定理：三角形的任意一个外角等于与它不相邻的两个内角和三角形的任意一个外角大于任何一个与它不相邻的内角（三）多边形内角和定理：n边形的内角和为(n-2)180多边形外角和定理：多边形的外角和为二、典型例题360问题1：如何证明三角形的内角和为1801.如图，在4ABC中，/B=/C,/BAD=40分析：/

54、CDE=ZADC-/2/1=ZB+40/1=ZB+402/1=40/1=20-(/1+/C)，且/ADE=2.如图：在ABC中，/C/B,1求证：/EAD=2(/C/B)ADBC于D,AE平分/BAC3.已知：CE是ABC外角/ACD的角平分线,分析:问题2：如何证明n边形的内角和为一2）80口4.多边形内角和与某一个外角的度数总和是1350,求多边形的边数。5.科技馆为某机器人编制一段程序，如果机器人在平地上按照图机器人所走的总路程为（）A.6米B.8米C.12米D.不能确定4中的步骤行走，那么该第十讲：二元一次方程组一、相关知识点二元一次方程的定义：经过整理以后，方程只有两个未知数，未知数

55、的次数都是1,系数都不为0,这样的整式方2、二元一次方程的标准式:axbyc=0a=0,b=0程称为二元一次方程。元一次方程的解的概念:使二元一次方程左右两边的值相等的一对*和y的值，叫做这个方程的一个解。二元一次方程组的定义：方程组中共含有两个未知数，每个方程都是一次方程，这样的方程组称为二元一次方程组。二元一次方程组的解：使二元一次方程组的二个方程左右两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。二、典型例题1.下列方程组中，不是二k次方程组的是（C)A.Mr.4I4-xy=1,cl.xy=0-d.，y=x,x-2y=1.4x=3x，2y-5=0,2.有这样一道题目：判断卜=1是否

56、是方程组件+3丫q=0的解？4-X=3,小明的解答过程是：将x=3,y=1代入方程x+2y5=0,等式成立.所以y=1是方x2y-5=0,程组l2x+3y5=0的解小颖的解答过程是：将x=3,y=1分别代入方程x+2y-5=0和2x+3y-5=中,J_x2y-5=0,得x+2y-5=0,2x+3y-50,所以ly=1不是方禾g组I2x+3y-5=的解你认为上面的解答过程哪个对？为什么?3.若下列三个二元一次方程：3x-y=7;2x+3y=1;y=kx-9有公共解，那么k的取值应是（B）A、k=-4B、k=4C、k=-3D、k=3分析：利用方程3x-y=7和2x+3y=1组成方程组，求出x、y,

57、再代入y=kx-9求出k值。3xy=7解：2x+3y=1x=2将y=1代入y=kx-9,k=46m-3n1=03m2n-10=04.解方程组L方法一：（代入消元法）10-mn二解：由（2）,得24m二一把3代入（3）,得n=3x=2/曰y=1得：J43m=一把（3）代入（1）,得34m二一3n=34m=一3n=3方法二：（加减消元法）TOC o 1-5 h z解：（2）X2:6m+4n-20=0（3）-（1）:7n=21n=34m二一把n=3代入（3）,得3方法三：（整体代入法）23m2n-7n1=03解：由(1)得：由(2)得：3m2n=104把（4）代入（3）,得m把n=3代入（4）,得4

58、m3n=34m=一3n=3f2a3b=13a=8.35,已知方程组13a+5b=30.9的解是是（C）bj2,则方程组2(x+2)-3y-1)=131a(x+2)+5y1)=30.9的解fx=8.3x=10.3x=6.3x=10.3、y=1.2B.、y=2.2C.、y=0.2方法三：（整体代入法）23m2n-10-7n21=03解：由(1由（2）代入（3）,得n=34m=一把n=3代入（2）,得3二13xy4-5二36.解:=1,bx则原方程组可化为4a5b-134a-5b=3解得：b=11x二一2y=1x:y=3:23x-5y=3.解方程组lyx3解：（参数法）y2.设x=3k,y=2k。把

59、x=3k，y=2k代入(2),得：k=-3x=-9y-6.解三元一次方程组x-2yz=8H|(1)r-y=-1川川1(2)x+2z=2y+3川川川方程段(下一个)分析：x=y-1|ll|IHIIH（4）3yz=9|（5）把（4）分别代入（1）、（3）得，1y-2z=4川川1川1由（6）得y=2z-4|川川川II3（2-4）z=96z-12z=97z=21把（7）代入（5）得：z=3y=23-4把z=3代入（7）得：y=2x=1Iy=2i_把y=2代入（4）得：x=21=1.、z=39.字母系数的二元一次方程组(1)当尸为何值时，方附fixc4-ijr=l串=3分析：ax2y=1、3x+y=3有

60、唯一的解(2)X2:6x+2y=6(3)-(1):(6-a)x=55x二当aw6时，方程有唯一的解6a当m为何值时，方程组x2y=1l2x+my=2有无穷多解分析:0.9x=1.1yx=24B1.1x=0.9yxy=24CCC.0.9x=1.1y、x-y=24D1.1x=0.9yy-x=24-2(1)X2:2x+4y=2-(2):(4-m)y=04-m=0即m=4,有无穷多解10,一副三角板按如图方式摆放，且/1的度数比/2的度数大50，若设/1的度数为x,/2的度数为v,则得到的方程组为x=y-50,x=y50,x=y-50,x=y50,Ax+y=180Bx+y=180Cx+y=90Dx+y