量子力学第三章算符和力学量关系

1、关于量子力学第三章算符与力学量的关系第一张，PPT共二十一页，创作于2022年6月一、厄米算符的本征函数的完全性1.复习3.1的两个假定假定1：量子力学中的每个力学量用一个线性厄米算 符表示。假定2：算符 的本征值集合即是测量体系力学量 可能得到的所有量值；体系处在 的属于本 征值 的本征态 时，测力学量 ，得到 确定值 。第二张，PPT共二十一页，创作于2022年6月 但是在任意态 中（非 的本征态），此时 与代表的力学量的 关系如何？这需引进新的假设，适合于一般情况，且不能与假定2相抵触，应包含它。 第三张，PPT共二十一页，创作于2022年6月2. 完全性：若 是满足一定条件 的厄米算符

2、，且它的正交归一的本征函数系 、 对应的本征值为 、 ，则任一函数 可以按 展为级数： 式中 是与x无关的展开系数。我们称本征函数 的这种性质为完全性，或者说 组成完全系。（1） 第四张，PPT共二十一页，创作于2022年6月说明：展开系数 以 左乘 ，且对x的整个区域积分有即： （2） 第五张，PPT共二十一页，创作于2022年6月表示力学量的算符是厄米算符，不管它是否满足完全性关系要求的条件，都可以直接将数学上证明过的定理拿来就用，即假定力学量算符本征函数的正交归一系具有完全性。 第六张，PPT共二十一页，创作于2022年6月3. 展开系数 的物理含义： 设 为归一化的波函数，则根据 是正

3、交归一化的完全函数系，有： 因左边是总几率，所以 有几率的意义。即： 第七张，PPT共二十一页，创作于2022年6月3.1的假定2 例：若 是算符 的一个本征态，例如按假设2，在该态中测得 的几率是 ，其中 也可由（2）式求得。由此特例同样可以看出 具有几率的意义，即 表示了在 态中测量力学量 得到的结果是 的本征值 的几率，于是称 为几率振幅。 则： 第八张，PPT共二十一页，创作于2022年6月二、基本假设（力学量与算符的关系）假设3：在 （ 是 的本征函数）描写的态中，测量体系的力学量 得到 的几率是 ，其中 。 综合假设1-3，可得一个基本假定（基本原理），即量子力学中关于力学量与算符

4、关系的基本假设：第九张，PPT共二十一页，创作于2022年6月基本假设的正确性同薛定谔方程一样，由整个理论与实验结果符合而得到验证。 完全性关系第十张，PPT共二十一页，创作于2022年6月解释： 即： (同理可得二、三维的结果)第十一张，PPT共二十一页，创作于2022年6月三、平均值公式 在 所描写的状态中， 在 态的统计平均值（由几率求平均值）为 证明： (假定 )第十二张，PPT共二十一页，创作于2022年6月说明：a.当 的本征值构成连续谱时， 为：（假定 已归一）证明： 第十三张，PPT共二十一页，创作于2022年6月b. 以上证明中假定 已正交归一化，对没有正交归一化的波函数： 第十四张，PPT共二十一页，创作于2022年6月四、推广 若 的本征值的组成中既有分立谱又有连续谱，则以上结果可表示为：完全性关系： 为在 态中测 得 的几率； 其中： ； ； ； 为在 态中测 得 在范围内的几率； 第十五张，PPT共二十一页，创作于2022年6月说明：当 时为连续谱情况； 时为分立谱的情况； ， 时为一般情况。平均值公式： ； 第十六张，PPT共二十一页，创作于2022年6月第十七张，PPT共二十一页，创作于2022年6月第十八张，PPT共二十一页，创作于2022年6月第十九