三角函数高考常见题型

1、三角函数高考常见题型三角函数题是高考数学试卷的第一道解答题，试题难度一般不大，但其战略意义重大, 所以稳拿该题14分对文理科学生都至关重要。分析近年高考试卷，可以发现，三角解答题 多数喜欢和平面向量综合在一起，且向量为辅，三角为主，主要有以下五类:、运用同角三角函数关系、诱导公式、和、差、倍、半等公式进行化简求值类。例题1. （2012全国卷大纲7）已知为第二象限角，sincos(D)(B)(A)叵3例题2.12012高考真题山东理714 2，sin 2(A)(B)(D)3.201100cos(一4），则 cos(cos(一4(B)(C)5、.39(D)例4.已知向量(cos3x,sin22x

2、),b/ x - x(cos -, sin -), Mx22(1)若|a b|(2)函数 f(x)a b |a b |,若对任意X1,X2 一,恒有 | f (Xi)2f(X2)| t,求t的取值范围。解:(1) Q|a| |b| 1,a bcos2x, | a b |.2 2cos 2x2cos xcosx_/32Qx 2, ,5 x61.2.(2)f(x)【习题1】【2012(A)【20123.12012a b |a b |cos2x2cosx2(cosx 1)2 2Q 1 cosx 0,又 Q|f(xi) f(x2)|高考真题辽宁理7】已知sin(B)高考真题江西理4若tan1 D.2f

3、 (x)maxf(x)maxcos(C)1 tan3,f(x)minf (x)min=4,贝U sin2sin 47o sin17ocos30o局考重庆又5】ocos17(A)彳1(C)一24.12012高考真题四川4】如图,4,(0,(D) 1则tan正方形 ABCD的边长为1,延长使AE连接EC、ED则sinCEDA、3.10B、10.1010C、510D、,5155. (2012考江苏11 )为锐角,cos则sin(2a )的值为12 TOC o 1-5 h z 41,右 sin - 一，则 cos 2 等于3436.已知 a C ( ,), sin (%= 也,则tan2 a=【答案】

4、 253二、运用三角函数性质解题，通常考查正弦、余弦函数的单调性、周期性、对称轴及对称中心。例题1.12012高考真题新课标理9】已知0 ,函数 f(x) sin( x )在(,)上单调递减.则的取值范围是()1 52，4-1(C) (0,2(D) (0, 2cos( x ), 要使函数4【解析】函数f(x) sin( x )的导数为f(x)f(x)sin(2k2k所以2k解得0时，一412,例题2.12012f(x) sin( x-)在(一，)上单调递减，则有 f(x)42-2k ,2cos( x ) 0恒成立,4: 2k45x 45 x 451一，即一422k(Wj考新课标文又一x25 ,

5、选4A.9已知)图像的两条相邻的对称轴，则.5，直线x 和x 是函数44兀(A) 一4兀B)33兀 (D)4【解析】因为T-,T 225是函数图象中相邻的对称轴，所以41,所以f(x) sin(x数的对称轴所以验知此时x5也为对称轴，所以选4A.例题3.函数1 一的图像与函数x-12sinx(A) 2(B) 4解：函数yx-1和函数y 2 sinx(-2 x4)的图像有公共的对称中心(1,0),且函数y 2sin x(-2 x 4)的周期为2,做出两个函数在一是函4x 4)的图像所有交点的横坐标之和(C) 6(D)8在(-2,1)上也有两个交点,同一坐标系内的图像， 在区间(1,4)上有两个交

6、点，根据对称性,故所有交点横坐标之和为4,选B。例题 4 若 m (石sin x,0), n (cos x, sin x),f(x) m (mn) t的图象中，对称中心到对称轴的最小距离为且当x 0,-pt,3f( x)的最大值为值。(1 )求函数f (x)的解析式;(2)若 f(x),32,x0,求实数x的解：由题意得m n (石sin xcos x, sin x)f (x) m (m n) t ( .3sin x,0)(.3 sin x cosx, sin x)3 3 cos2 x2 2(1)对称中心到对称轴的最小距离为1- f (x)的最小正周期Q f(x)max1, f (x).3si

7、n(2x -)0, g时，2x 53,(2)由故2x 3tosin(2x )3f(x)t,3 t。1. 3t 1,t2, f(x)巧sin(2x -)f(x)1.32一或一66得 sin(2x0,得2x3或 3-。一 412.,3 sin x( .3sin x cos x) t 3sin2 x ,3 sin x cos x t- sin 2 x t 3sin(2 x )23【习题2】.已知函数y 4sin(2x)的图像与一条与x轴平行的直线有三个交点， 其中横坐标分别为 4 乂2?3 ( %x2*3),则 x12x2x3.已知函数 f(x) asin x-bcosx(a, b为常数,a 0,

8、xR)的图像关于x一对称,43口则函数y f (-x)是()4(A)偶函数且它的图象关于点(,0)对称(B)偶函数且它的图象关于点(,0)对称2(C)奇函数且它的图象关于点3(,0)对称(D)奇函数且它的图象关于点 (，0)对称 23. (2006年湖南文)设点 P是函数f (x) sin x的图象C的一个对称中心，若点 P到图象C的对称轴上的距离的最小值一，则f(x)的最小正周期是(4A. 2兀B.兀C.一2D.44.(2012年全国卷.理科14)函数ysinx-V3cosx (0 x 2 )取最大值时，x【答案】x5.已知f (x) 2cos( x ) b对于任意实数x都有f(x -) f

9、( x)成立，且f(8)1 ,则实数b的值为【答案】3或1.三、三角函数的图像及性质【例题】1.12012高考浙江文6把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是【例题】2.函数f (x) Asin( x )b的图象如图，则f (x)的解析式和S f(0) f (1) f(2)f (2006)的值分别为(f(x)f(x)f(x)f(x)1 sin 2 x 1 , S 2006 21/1-sin -x1,S2007 2221 .c1sin x1,S2006 2221 sin x 1 , S 2007

10、22【例题3】(2012宁波市十校联考.文科)矩形ABCD中，AB x轴，且矩形ABCD恰好完全覆盖y asinax(a R, a 0)的一个完整周期的图像，当a变化时，矩形ABCD周长的最小值为【例题】4.(江西2009年卷.理科18)如图，函数y 2cos( x )(x图象与y轴交于点(0,J3),且在该点处切线的斜率为2.的值;(2)已知点冗C 一,02点P是该函数图象上一点，点Q(x0,一人 九、R ,0 sCV )的2的中点，当y。x0 冗时,2求x0的值.解：(1)将0，yJ3代入函数y2cos( x )得 cosy 2 sin(2,因此 y 2cos 2x 一 6(2)因为点A

11、,02Q(x0,y)是PA的中点，y所以点P的坐标为 2X0 -，V3又因为点P在y2cos 2x 的图象上，所以 cos 4x0 62666511 一513口2-从而得4x0或4x0.即x0或x066663因为一wX0W ,所以W 4x0【习题3】1.定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f (x)的最小正周期是当 x 0,一时, 2f (x) sin x,则5f ()的值为3(A)(B)(C)(D) 存在区间(a, b)使y cosx为减函数而sinx0y tanx在其定义域内为增函数y cos2x sin( x)既有最大、最小值，又是偶函数 2y sin | 2x 一|最小正

12、周期为兀6以上命题错误的为4.右图为y Asin( x )的图象的一段，求其解析式。解析 法1以M为第一个零点，则 A= 33 , TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark14 o Current Document 2所求解析式为y J3sin(2x)一 2点M (,0)在图象上，由此求得 HYPERLINK l bookmark4 o Current Document 332所求解析式为y 3sin(2x )2 2k .取 3法 2.由题意 A= 33,2,则 y J3sin(2xQ图像过点(二，悯33 V3sin(- HYPERLINK l bookmark34

13、 o Current Document 12633 73sin(-)即7 2k .662 2所求解析式为 y 3sin(2 x )3四、三角函数的定义域、值域、最值问题【例题1】求下列函数的定义域 TOC o 1-5 h z . 一15Z)f(x) lg(sinx-) Jl-2cosx ;【答案】一 2k ,一 2k ) , (k 236y 0 , -sinA=v1 cos A ,33又 5 cos C = sin B= sin( A+C) = sin Acos C+ sinCcos A整理得：tan C=褥.(n )由图辅助三角形知:sin C =cosC1J6.又由正弦定理知：故c V3

14、. sin A sinCsin B , 5cosC 6 TOC o 1-5 h z 115S abc acsin B . 2 352.6 2ABC的面积为：S= 吏.2【例题3】(2011浙江卷.理科18)(本题满分14分)在VABC中，角AB.C所对的边分别为a,b,c.1 , 2 已知 sin A sinC psinB p R ,且 ac b .5(i)当p ,b 1时，求a,c的值；4(n )若角b为锐角，求p的取值范围.5r a c 一4 TOC o 1-5 h z 解：(I)由题设，并利用正弦定理得 41(ac .4a 1r 1解得. 1 或J a 4 ;4I c 1222(n )由

15、余弦定理，b a c -2accosB 2(a c) - 2ac-2accosB_2,_21-212p b -b -b cosB , 22r 231,即 p - -cosB ,由于 0 cosB 1, 2 2【例题4】(2011江西) ABC的角A, B,C的对分另ij是a,b,c一 八，. CsinC cosC 1 sin.2(1)求sin C的值;2. 2,(2)若 a b 4(ab) 8 ,求c的值。C.解：(1)由已知得 sinC sin-2 1 cosC,CC即 sinC(2cosC 1) 2sin22C - C 由 sin 0得2cos 1同边平方得:/ C(2)由 sin 223

16、 sinC 一4C 1 cos222 C2CC2sin ,即sin 一22C cos2，则由sinC3 一士得 cosC4由a2b24(ab)8W :(a 2)2(b 2)2 0,则 a2,b 2由余弦定理得,2b 2abcosC8277,所以c.7 1.【例题5】(2012年宁波高考一模 理科18)已知m (2cosx2V3sinx,1),n (cosx,-y),且满足 m n 0。(1)将y表示为x的函数，并求f(x)的最小正周期;(2)已知a,b,c分别是 ABC的三个内角A,B,C对应的边长,若 f(x) f对所以的x R恒成立，且a 2,求b c的取值范围。解：(1) y f (x)

17、 2sin(2x -) 1, f(x)的最小正周期是A.f (A) 2sin(A由余弦定理a2b22c -2bccosA 彳导， 222(b C)4 b c -bc (b c) -3bc b c 4,4又b c a 2,所以b c的取值范围是(2,4.【习题5】1、在ABC中角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且满足csinA acosC.(1)求角C的大小；(2)求J3sin A cos(B 一)的最大值，并求取得最大值时角A, B的大小。42 (2011年全国大纲卷.理17)在 ABC中角A, B,C所对的边分别是a,b,c已知A C =90。，a c J5b ,求角 C。3、(2012

18、浙江省高考命题研究专家原创卷四.18)在在 ABC中，角A,B,C所对的边分别B,-是 a,b,c,向重 m (2sinB,2 cos2B) ,n (2sin ( ), 1),且 mn。(1)求角B的大小；(2)求sinA cosC的取值范围。14、(2009 年安徽理科.18) 4ABC 中，sin(C A) 1,sin B -. 3(1)求sin A的值；(2)设AC 6 ,求ABC的面积。5、(2012浙江省高考命题研究专家原创卷七.18)在 ABC中角A,B,C所对的边分别是3 3a,b,c,已知 3 tan A tan B tan A tan B 3 ,c J7 , ABC 的面积为2(1)求角C的大小;(2)求a b的值。6、(2012浙江省高考命题研究专家原创卷九.18)在 ABC中角A,B,C所对的边分别是a,b,c,角 B 为锐角，向量 m (2sin(A C), J3), n (2cos2 B 1,cosB),且 m /n .(1)求角B的大小；(2)如果b 1 ,求 A